Câu hỏi: MAS291 - Chương 4: Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất

Đáp án đúng: "0.0498". Thời gian chờ X có phân phối mũ (exponential) với trung bình 20 phút, nên tham số λ = 1/20 mỗi phút và P(X > x) = e^(−λx). Một giờ là 60 phút: P(X > 60) = e^(−60/20) = e^(−3) ≈ 0.0498. "0.9502" là 1 − e^(−3) = P(X ≤ 60), xác suất chờ KHÔNG quá một giờ, ngược với điều câu hỏi cần. "0.0183" là e^(−4), ứng với chờ quá 80 phút hoặc dùng nhầm λ, không khớp với 60/20 = 3. "0.9817" là 1 − e^(−4), vừa dùng sai số mũ vừa lấy phần bù. Lưu ý phân phối mũ có tính không nhớ, nhưng ở đây chỉ cần hàm sống sót e^(−λx) với x = 60.

Đáp án đúng: "(i)". Với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất tại một điểm luôn bằng 0 vì P(X = a) là tích phân của f(x) từ a đến a, một khoảng có độ dài 0. Mật độ f(x) = e⁻ˣ với x > 0 là phân phối mũ với λ = 1, chỉ cho xác suất dương trên các khoảng, nên P(X = 2010) = 0, đúng như mục (i). "(ii)" sai vì xác suất bằng 1 nghĩa là X chắc chắn nhận đúng giá trị 2010, trái với việc X trải liên tục trên cả nửa trục (0, ∞). "(iii)" sai vì 1/e⁻²⁰¹⁰ = e²⁰¹⁰ là một số khổng lồ, vượt xa 1 nên không thể là xác suất; cũng đừng nhầm với giá trị mật độ f(2010) = e⁻²⁰¹⁰, đó là chiều cao đường mật độ tại điểm 2010 chứ không phải xác suất. Mục (i) đúng nên "None of the others" không được chọn. Hệ quả hay dùng: với biến liên tục, P(X ≤ a) = P(X < a), dấu bằng ở cận không làm đổi xác suất.

Đáp án đúng: "0.6". Với biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối tích luỹ F, ta có P(a < X < b) = F(b) − F(a), và xác suất tại một điểm bằng 0 nên dùng dấu < hay ≤ đều cho cùng kết quả. Vì 0 ≤ 3 < 5 nên F(3) = 0.2·3 = 0.6; vì −1 < 0 nên F(−1) = 0. Do đó P(−1 < X < 3) = 0.6 − 0 = 0.6. Phương án "0.8" sai vì nó thế x = −1 vào công thức 0.2x ngoài miền áp dụng của nhánh đó: 0.2·3 − 0.2·(−1) = 0.8. Phương án "0" chỉ là F(−1), hoặc là kết luận nhầm rằng khoảng chứa giá trị âm thì xác suất bằng 0, trong khi phần (0, 3) vẫn mang xác suất. Phương án "1.0" là F(5), toàn bộ xác suất của miền 0 ≤ x < 5, lớn hơn phần khoảng từ 0 tới 3.

Đáp án đúng: "0.8". Với biến ngẫu nhiên liên tục, kỳ vọng (mean) là E(X) = ∫x·f(x)dx trên miền xác định. Ở đây E(X) = ∫ từ 0 đến 1 của x·4x³ dx = ∫ từ 0 đến 1 của 4x⁴ dx = 4/5 = 0.8. Kết quả lệch về phía 1 là hợp lý vì hàm mật độ 4x³ tăng nhanh, dồn khối lượng xác suất về gần đầu phải của khoảng. Giá trị "0.5" là trung điểm của khoảng (0, 1), chỉ đúng khi X phân phối đều; với mật độ 4x³ thì không đối xứng nên kỳ vọng không nằm ở giữa. Giá trị "1" là ∫f(x)dx, tức tổng xác suất bằng 1, đó là điều kiện để f là hàm mật độ chứ không phải kỳ vọng. Giá trị "0.05" quá nhỏ, không phù hợp với một mật độ tập trung về phía x gần 1.

Đáp án đúng: "0.25". Phân phối đều liên tục (continuous uniform) trên [40, 80] có hàm mật độ hằng f(x) = 1/(80 − 40) = 1/40 trên khoảng đó, nên xác suất bằng tỉ lệ độ dài đoạn: P(X < 50) = (50 − 40)/(80 − 40) = 10/40 = 0.25. Nói cách khác, đoạn từ 40 tới 50 chiếm một phần tư toàn khoảng. "1" là xác suất của toàn bộ khoảng [40, 80], chỉ đúng cho P(X < 80), không phải cho P(X < 50). "0.08" quá nhỏ: muốn xác suất bằng 0.08 thì đoạn chỉ dài 0.08·40 = 3.2 đơn vị, tức P(X < 43.2), trong khi đoạn cần tính dài 10. "0.31" lại quá lớn: nó ứng với đoạn dài 0.31·40 = 12.4, tức P(X < 52.4). "None of the other choices is correct" sai vì 0.25 có mặt và đúng bằng 10/40. Để tự kiểm, trung bình của phân phối là (40 + 80)/2 = 60 nên P(X < 60) = 0.5, và 50 nằm giữa 40 với 60 nên kết quả phải đúng một nửa của 0.5.

Đáp án đúng: "0.2295". Chuẩn hoá bằng Z = (X − μ)/σ với μ = 30, σ = 5: cận dưới z = (24 − 30)/5 = −1.2, cận trên z = (28 − 30)/5 = −0.4. Khi đó P(24 < X < 28) = P(−1.2 < Z < −0.4) = P(Z < −0.4) − P(Z < −1.2) = 0.3446 − 0.1151 = 0.2295, đúng các giá trị được cho. Giá trị "0.4295" vượt quá P(Z < −0.4) = 0.3446, trong khi biến cố 24 < X < 28 nằm trọn trong biến cố X < 28 nên xác suất không thể lớn hơn 0.3446. Giá trị "0.6295" còn lớn hơn 0.5, tức hơn nửa phân phối, dù cả khoảng nằm bên trái kỳ vọng 30. Giá trị "0.3295" lệch đúng 0.1 so với hiệu 0.3446 − 0.1151 = 0.2295, không khớp phép trừ hai giá trị gợi ý. Vì 0.2295 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.5000". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (15.2 − 15.2)/0.9 = 0, nên P(X > 15.2) = P(Z > 0) = 1 − P(Z < 0) = 1 − 0.5000 = 0.5000. Điều này cũng thấy ngay từ tính đối xứng: phân phối chuẩn đối xứng quanh trung bình, nên đúng một nửa xác suất nằm phía trên μ. Giá trị "0.0003" là P(Z < −2.9), xác suất của đuôi trái rất xa, không liên quan tới mốc 15.2 vốn nằm ngay ở tâm. Giá trị "0.9998" là P(Z < 3.2), xác suất dưới một mốc cách tâm hơn ba độ lệch chuẩn, cũng không phải mốc cần dùng. Giá trị "1.0000" là P(Z < 4), gần như chắc chắn, hoàn toàn không khớp với một biến cố chỉ chiếm nửa phân phối. Dòng gợi ý đã cho sẵn P(Z < 0) = 0.5000 nên có đáp số trực tiếp, vì vậy "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.9479". Số xe đến trong một giờ là Poisson với λ = 16, nên trung bình và phương sai đều bằng 16, độ lệch chuẩn σ = 4. Xấp xỉ chuẩn có hiệu chỉnh liên tục: P(X ≥ 10) = P(X > 9.5) ≈ P(Z > (9.5 − 16)/4) = P(Z > −1.625) = 1 − 0.0521 = 0.9479, dùng đúng giá trị P(Z < −1.625) = 0.0521 đề cho. "0.0521" là đuôi trái P(Z < −1.625), tức xác suất có ít hơn 10 xe, ngược chiều với "at least ten". "0.9599" bằng 1 − 0.0401, ứng với cận 9 vì (9 − 16)/4 = −1.75, tức hiệu chỉnh sai hướng: biến cố X ≥ 10 phải mở rộng xuống 9.5 chứ không phải 9. "0.0401" là đuôi trái tại z = −1.75, vừa sai cận vừa sai chiều. "None of the other choices is correct" sai vì 0.9479 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "6.9 minutes". Thời gian chờ X có phân phối mũ (exponential) với kỳ vọng 3 phút nên λ = 1/3 và P(X > t) = e^(−t/3). Cần t sao cho chỉ 10% khách còn giữ máy: e^(−t/3) = 0.1, suy ra t = 3·ln 10 = 3·2.3026 ≈ 6.9 phút. Giá trị "2.3 minutes" chỉ là ln 10, quên nhân với kỳ vọng 3. Giá trị "3.3 minutes" cho P(X > 3.3) = e^(−1.1) ≈ 0.333, tức còn khoảng một phần ba khách giữ máy, quá xa 10%. Giá trị "13.8 minutes" gấp đôi kết quả đúng, như khi dùng kỳ vọng 6 phút; với 13.8 phút thì chỉ còn khoảng 1% khách giữ máy. Vì 6.9 phút có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.9375". Hai biến cố X < 0 và X > 0.5 rời nhau nên xác suất bằng tổng hai tích phân của hàm mật độ f(x) = 1.5x². Nguyên hàm là 0.5x³, nên P(X < 0) = 0.5·0³ − 0.5·(−1)³ = 0.5 và P(X > 0.5) = 0.5·1³ − 0.5·0.5³ = 0.5 − 0.0625 = 0.4375. Cộng lại được 0.5 + 0.4375 = 0.9375. Giá trị "0.0625" là P(0 < X < 0.5), tức phần bù của biến cố cần tìm, đúng bằng 1 − 0.9375. Giá trị "0.5" chỉ là P(X < 0), quên cộng phần X > 0.5. Giá trị "0.0125" không ứng với khoảng nào của mật độ này: nó thậm chí nhỏ hơn P(0 < X < 0.5) = 0.0625, nên không thể là xác suất của một hợp hai khoảng lớn như vậy.

Đáp án đúng: "0.75". Với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất tại một điểm bằng 0, nên P(X > a) = 1 − F(a) và P(X < b) = F(b). Ở đây F(x) = 0.25x trên đoạn từ 0 tới 4 (X phân phối đều trên (0, 4)), nên P(X > 2) = 1 − 0.25·2 = 0.5 và P(X < 1) = 0.25·1 = 0.25, tổng là 0.5 + 0.25 = 0.75. "0.25" chỉ là P(X < 1), quên phần P(X > 2). "0.5" chỉ là P(X > 2), hoặc nhầm thành F(2), bỏ sót P(X < 1). "1" là tổng toàn bộ xác suất, coi như cộng cả đoạn 1 ≤ X ≤ 2 vốn không thuộc biến cố nào trong hai biến cố; đoạn đó có xác suất 0.25, nên tổng đúng phải là 1 − 0.25 = 0.75.

Đáp án đúng: "2/9". Với biến liên tục, V(X) = E(X²) − [E(X)]². Tính E(X) = ∫₀² x·(x/2) dx = x³/6 từ 0 tới 2 = 8/6 = 4/3; E(X²) = ∫₀² x²·(x/2) dx = x⁴/8 từ 0 tới 2 = 16/8 = 2. Suy ra V(X) = 2 − (4/3)² = 2 − 16/9 = 2/9 ≈ 0.222. "1/3" sai vì đó là phương sai của phân phối đều trên (0, 2), tức (2 − 0)²/12, không phải của mật độ tăng dần f(x) = x/2. "3" sai vì một biến chỉ nhận giá trị trong khoảng dài 2 có phương sai không vượt quá (2/2)² = 1. "4/7" sai vì không ra từ E(X²) − [E(X)]² với các tích phân trên, cũng không phải E(X) = 4/3. "None of the other choices is correct" sai vì 2/9 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "3.8 and 0.808". Với phân phối đều liên tục (continuous uniform) trên [a, b], kỳ vọng E(X) = (a + b)/2 và phương sai V(X) = (b − a)²/12, độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Thay a = 2.4, b = 5.2: E(X) = 7.6/2 = 3.8; V(X) = 2.8²/12 = 7.84/12 ≈ 0.653; σ = √0.653 ≈ 0.808. "3.8 and 0.653" có trung bình đúng nhưng đưa phương sai 0.653 vào chỗ độ lệch chuẩn, quên lấy căn. "0.38 and 0.653" vừa sai trung bình (lệch một chữ số thập phân) vừa nhầm phương sai thành độ lệch chuẩn. Vì cặp 3.8 và 0.808 có trong danh sách nên "None of the others" sai.

Đáp án đúng: "−0.99". Diện tích bên trái điểm a dưới đường cong chuẩn tắc (standard normal curve) chính là hàm phân phối Φ(a) = P(Z < a). Cần tìm a sao cho P(Z < a) = 0.1611; theo số liệu đã cho P(Z < −0.99) = 0.1611 nên a = −0.99. Dấu âm hợp lý vì diện tích nhỏ hơn 0.5 thì a phải nằm bên trái trục đối xứng z = 0. Các giá trị khác ứng với diện tích khác: "−0.88" cho P(Z < −0.88) = 0.1894; "−0.77" cho P(Z < −0.77) = 0.2207; "−0.44" cho P(Z < −0.44) = 0.3230, đều lớn hơn 0.1611 vì càng gần 0 diện tích bên trái càng lớn. Đã có giá trị khớp đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "32.59 ounces". Phân vị thứ 67 của phân phối chuẩn là giá trị x sao cho P(X < x) = 0.67; chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ nên x = μ + z·σ, với z thoả P(Z < z) = 0.67, theo số liệu đã cho z = 0.45. Vậy x = 32.5 + 0.45·0.2 = 32.59 ounces. Phương án "32.63 ounces" là 32.5 + 0.65·0.2, tức phân vị thứ 74, đọc nhầm dòng P(Z < 0.65) = 0.74. Phương án "32.09 ounces" là 32 + 0.45·0.2, lấy nhầm dung tích ghi trên bao (32 ounce) làm trung bình thay cho μ = 32.5. Phương án "32.13 ounces" là 32 + 0.65·0.2, mắc cả hai lỗi trên. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 32.59 ounces đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.1841". Với Poisson trung bình λ = 25, xấp xỉ chuẩn dùng μ = λ = 25 và σ = √λ = 5. Vì X là biến rời rạc, P(X ≤ 20) phải hiệu chỉnh liên tục (continuity correction) thành P(X < 20.5), nên Z = (20.5 − 25)/5 = −0.9 và xác suất là P(Z < −0.9) = 0.1841. Giá trị "0.1586" là P(Z < −1), tức kết quả khi bỏ hiệu chỉnh liên tục và lấy Z = (20 − 25)/5 = −1; cách này làm mất nửa khối xác suất tại X = 20. Giá trị "0.8414" là 1 − 0.1586, xác suất có nhiều hơn 20 xe khi không hiệu chỉnh, sai cả chiều lẫn hiệu chỉnh. Giá trị "0.8159" là 1 − 0.1841, tức xác suất có hơn 20 xe đến, ngược chiều với yêu cầu không quá 20 xe. Vì 0.1841 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.095089". Thời gian X giữa hai lần khách đến có phân phối mũ (exponential) với trung bình 8.5 phút, tức tham số λ = 1/8.5 mỗi phút, và hàm sống là P(X ≥ x) = e^(−λx). Do đó P(X ≥ 20) = e^(−20/8.5) = e^(−2.3529) = 0.095089. Việc một khách vừa đến không làm đổi phép tính nhờ tính chất không nhớ (memoryless) của phân phối mũ: đồng hồ coi như bắt đầu từ 0. "0.904911" là P(X < 20) = 1 − e^(−20/8.5), xác suất khách tiếp theo đến trong vòng 20 phút, phần bù của biến cố hỏi. "0.653770" là e^(−8.5/20), đảo vai trò của trung bình và mốc thời gian trong số mũ. "0.346230" là 1 − e^(−8.5/20), vừa đảo số mũ vừa lấy phần bù. Đã tính được 0.095089 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.3125". Với hàm mật độ f(x), xác suất trên một khoảng bằng tích phân của mật độ trên khoảng đó: P(2 < X < 4) = ∫ từ 2 tới 4 của 1.25/x² dx = 1.25·[−1/x] từ 2 tới 4 = 1.25·(1/2 − 1/4) = 1.25·0.25 = 0.3125. Kiểm tra mật độ hợp lệ: 1.25·(1 − 1/5) = 1. Phương án "0.4621" không khớp tích phân này; nó lớn hơn hẳn phần diện tích dưới đường mật độ từ 2 tới 4. Phương án "0.9532" gần bằng toàn bộ xác suất, trong khi P(1 < X < 2) = 1.25·(1 − 1/2) = 0.625 đã chiếm phần lớn, nên phần từ 2 tới 4 không thể gần 1. Phương án "0.5189" cũng không khớp phép tính. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.3125 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.135". F(x) = 1 − e^(−0.5x) là CDF của phân phối mũ với λ = 0.5, nên P(X > x) = e^(−0.5x). Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, P(X > 10 | X > 6) = P(X > 10)/P(X > 6) = e^(−5)/e^(−3) = e^(−2) ≈ 0.135. Đây cũng là tính chất không nhớ (memoryless property) của phân phối mũ: đã vượt 6 thì xác suất vượt thêm 4 đơn vị nữa bằng P(X > 4) = e^(−2). Giá trị "0.049" là e^(−3) = P(X > 6), quên chia cho điều kiện. Giá trị "0.993" là 1 − e^(−5) = P(X ≤ 10), là xác suất không điều kiện và sai chiều bất đẳng thức. Giá trị "0.004" còn nhỏ hơn cả e^(−5) ≈ 0.0067 = P(X > 10), không ứng với phép chia P(X > 10)/P(X > 6) nào.

Đáp án đúng: "0.22". Phương sai V(X) = E(X²) − [E(X)]², với E(X) = ∫x·f(x)dx và E(X²) = ∫x²·f(x)dx trên (0, 2). Ở đây E(X) = ∫x·x/2 dx = x³/6 từ 0 tới 2 = 8/6 = 4/3 ≈ 1.333; E(X²) = ∫x²·x/2 dx = x⁴/8 từ 0 tới 2 = 16/8 = 2. Vậy V(X) = 2 − (4/3)² = 2 − 16/9 = 2/9 ≈ 0.22. Kiểm tra mật độ hợp lệ: ∫x/2 dx từ 0 tới 2 = 4/4 = 1. "0.47" là √(2/9) ≈ 0.471, tức độ lệch chuẩn chứ không phải phương sai. "0.33" bằng 1/3, không xuất hiện ở bước nào của phép tính đúng; nó chỉ là phần lẻ của E(X) = 1.333. "0.58" xấp xỉ √(1/3) = 0.577, cũng không phải phương sai của mật độ này. Lỗi hay gặp là quên bình phương E(X) hoặc lấy căn ở cuối, khiến kết quả chuyển thành độ lệch chuẩn.