Câu hỏi: MAS291 - Chương 4: Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất

Đáp án đúng: "0.367879". Thời gian chờ X theo phân phối mũ (exponential) với trung bình 2.8 phút, nên tham số λ = 1/2.8 và hàm sống P(X > x) = e^(−λx). Với x bằng đúng trung bình: P(X > 2.8) = e^(−2.8/2.8) = e^(−1) ≈ 0.367879. Với phân phối mũ, tỉ lệ vượt quá trung bình luôn là khoảng 36.8%, dưới 50% vì phân phối lệch phải. "0.632121" bằng 1 − e^(−1), tức P(X ≤ 2.8), tỉ lệ người chờ không quá 2.8 phút, ngược chiều câu hỏi. "0.60810" ứng với λx ≈ 0.497, tức ngưỡng khoảng 1.39 phút, chừng nửa trung bình chứ không phải 2.8 phút. "0.503245" ứng với λx ≈ 0.687, tức ngưỡng khoảng 1.92 phút. "None of the other choices is correct" sai vì 0.367879 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.9655". P(x < X) là xác suất phần đuôi phải, tính bằng tích phân mật độ từ x tới 1: ∫ₓ¹ 1.5t² dt = 0.5t³ từ x tới 1 = 0.5(1 − x³). Đặt 0.5(1 − x³) = 0.05 được x³ = 0.9, nên x = ∛0.9 ≈ 0.9655; kết quả hợp lý vì chỉ 5% xác suất nằm bên phải nên x phải gần cận trên 1. "0.215" sai vì P(X > 0.215) = 0.5(1 − 0.00994) ≈ 0.495, gần một nửa chứ không phải 0.05. "−0.215" sai vì P(X > −0.215) = 0.5(1 + 0.00994) ≈ 0.505. "0.5" sai vì P(X > 0.5) = 0.5(1 − 0.125) = 0.4375, vẫn quá lớn so với 0.05.

Đáp án đúng: "0.805". Vì X liên tục nên P(X < x) = F(x) = 1 − e^(−2x). Giải 1 − e^(−2x) = 0.8: e^(−2x) = 0.2, nên −2x = ln 0.2, x = −ln(0.2)/2 = ln 5/2 ≈ 1.6094/2 ≈ 0.805. Đây là phân vị 80% của phân phối mũ tham số λ = 2. "0.112" là −ln(0.8)/2, nghiệm của e^(−2x) = 0.8, tức giải nhầm P(X > x) = 0.8 thay vì P(X < x) = 0.8. "0.402" bằng một nửa 0.805, ứng với chia ln 5 cho 4 hoặc dùng λ = 4. "0.936" không phải nghiệm của phương trình: với x = 0.936 thì F(x) = 1 − e^(−1.872) ≈ 0.846, khác 0.8.

Đáp án đúng: "0.25". Mật độ f(x) = 2e^(−2x) với x ≥ 0 là phân phối mũ (exponential) có tham số λ = 2, nên E(X) = 1/λ = 0.5 và V(X) = 1/λ² = 1/4 = 0.25. Tính trực tiếp cũng ra như vậy: E(X²) = ∫x²·2e^(−2x)dx = 2/λ² = 0.5, nên V(X) = E(X²) − [E(X)]² = 0.5 − 0.25 = 0.25. "0.5" là kỳ vọng E(X) = 1/λ (và cũng trùng E(X²)), không phải phương sai. "2" là chính tham số λ, tốc độ xảy ra, không phải số đo độ phân tán. "4" là λ², trong khi phương sai phải là nghịch đảo 1/λ². Với phân phối mũ, độ lệch chuẩn bằng kỳ vọng, ở đây cùng bằng 0.5.

Đáp án đúng: "0.50". Mật độ f(x) = 0.1 trên đoạn [20, 30] là phân phối đều liên tục (tổng diện tích 0.1·10 = 1). Tỉ lệ cần hơn 25 giây là P(X > 25) = ∫ từ 25 tới 30 của 0.1 dx = 0.1·(30 − 25) = 0.50; nói cách khác 25 là điểm giữa đoạn nên một nửa diện tích nằm bên phải. Phương án "0.47" nhỏ hơn 0.5, mâu thuẫn với tính đối xứng của phân phối đều quanh 25. Phương án "0.42" cũng không khớp diện tích hình chữ nhật cao 0.1, rộng 5. Phương án "0.16" quá nhỏ, không ứng với phép tính nào. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.50 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.1587". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (16.1 − 15.2)/0.9 = 1, nên P(X > 16.1) = P(Z > 1) = 1 − P(Z < 1) = 1 − 0.8413 = 0.1587. Giá trị "0.8413" là P(Z < 1), tức xác suất X nhỏ hơn 16.1, ngược chiều với yêu cầu lớn hơn. Giá trị "0.1357" và "0.1550" không ứng với Z = 1: chúng là diện tích đuôi phải tại khoảng z = 1.10 và z = 1.015, lệch khỏi 1 − 0.8413 = 0.1587; chia nhầm cho phương sai 0.81 thì z = 0.9/0.81 = 1.11 và đuôi phải chỉ khoảng 0.133, cũng không trùng hai giá trị này. Vì 0.1587 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "31.74%". Cách trung bình hơn một độ lệch chuẩn nghĩa là |Z| > 1, gồm hai đuôi Z < −1 và Z > 1. Với P(Z < 1) = 0.8413, đuôi phải P(Z > 1) = 1 − 0.8413 = 0.1587, đuôi trái bằng nhau do đối xứng, nên P(|Z| > 1) = 2·0.1587 = 0.3174, tức 31.74%. Kết quả này khớp quy tắc thực nghiệm: khoảng 68% dữ liệu nằm trong một độ lệch chuẩn, còn khoảng 32% nằm ngoài. "34.13%" là P(0 < Z < 1) = 0.8413 − 0.5, phần nằm giữa trung bình và một độ lệch chuẩn về một phía. "15.87%" chỉ là một đuôi P(Z > 1), quên đuôi đối xứng bên trái. "68.26%" là P(−1 < Z < 1), phần nằm trong một độ lệch chuẩn, tức ngược lại với câu hỏi. "None of the other choices is correct" sai vì 31.74% có mặt và đúng bằng hai lần đuôi.

Đáp án đúng: "approximately 0". Số người thắt dây an toàn X là nhị thức n = 700, p = 0.8, xấp xỉ chuẩn với μ = np = 560 và σ = √(np(1 − p)) = √112 ≈ 10.583. Có hiệu chỉnh liên tục, P(X ≤ 518) ≈ P(Z < (518.5 − 560)/10.583) = P(Z < −3.92). Số liệu cho P(Z > 3.92) = 0, theo tính đối xứng P(Z < −3.92) cũng bằng 0, nên xác suất xấp xỉ 0: 518 thấp hơn trung bình gần bốn độ lệch chuẩn. Giá trị "approximately 1" là xác suất phía ngược lại, P(X > 518). Giá trị "0.3" là P(Z < −0.52), chỉ đúng nếu thống kê chuẩn hoá bằng −0.52, tức chia độ lệch 41.5 cho một độ lệch chuẩn sai rất lớn. Giá trị "0.7" là 1 − 0.3, cũng dựa trên cùng z sai đó. Vì kết quả xấp xỉ 0 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.0183". Với phân phối mũ tham số λ, hàm sống P(X > x) = e^(−λx). Tỷ lệ quạt bền ít nhất 10,000 giờ là P(X ≥ 10000) = e^(−0.0004·10000) = e^(−4) ≈ 0.0183; thời gian trung bình chỉ 1/λ = 2500 giờ nên chỉ rất ít quạt sống được tới 10,000 giờ. Giá trị "0.9817" là 1 − e^(−4) = P(X < 10000), tỷ lệ quạt hỏng trước 10,000 giờ, ngược chiều. Giá trị "0.0498" là e^(−3), ứng với 7,500 giờ chứ không phải 10,000 giờ. Giá trị "0.9502" là 1 − e^(−3), vừa sai mốc thời gian vừa sai chiều.

Đáp án đúng: "0.68". Đơn vị là 100 giờ nên 120 giờ ứng với x = 1.2, và cần P(X < 1.2) = ∫f(x)dx từ 0 tới 1.2, tách theo hai đoạn của hàm mật độ. Đoạn 0 tới 1: ∫x dx = x²/2 = 0.5. Đoạn 1 tới 1.2: ∫(2 − x)dx = [2x − x²/2] từ 1 tới 1.2 = (2.4 − 0.72) − (2 − 0.5) = 1.68 − 1.5 = 0.18. Cộng lại: 0.5 + 0.18 = 0.68. Mật độ hình tam giác đối xứng quanh 1 nên P(X < 1) = 0.5, và kết quả phải lớn hơn 0.5 một ít. "0.76" xấp xỉ P(X < 1.3), tức xác suất dưới 130 giờ, dùng nhầm cận trên. "0.51" quá gần 0.5, gần như bỏ quên đoạn 1 tới 1.2. "0.89" quá lớn: phần diện tích trên 1.2 là (0.8)²/2 = 0.32, nên phần dưới chỉ còn 0.68. "None of the other choices is correct" sai vì 0.68 có mặt.

Đáp án đúng: "(ii)". Với biến liên tục, hàm mật độ là đạo hàm của hàm phân phối tích luỹ: f(x) = F′(x). Đạo hàm của F(x) = 1 − e⁻⁵ˣ là f(x) = 5e⁻⁵ˣ với x > 0, đúng biểu thức (ii); đây là mật độ của phân phối mũ với λ = 5, và tích phân của nó từ 0 tới vô cùng bằng 1. Lựa chọn "(i)" chỉ chép lại F(x), tức hàm phân phối chứ chưa lấy đạo hàm. Lựa chọn "(iii)" là 1 − 5e⁻⁵ˣ, giữ hằng số 1 lẽ ra phải mất khi đạo hàm và sai dấu; tại x = 0 nó cho −4, mật độ không thể âm. Lựa chọn "(iv)" là 0.5 − e⁻⁵ˣ, không phải đạo hàm của F và cũng âm khi x gần 0, nên không thể là hàm mật độ.

Đáp án đúng: "8". Kỳ vọng của biến liên tục là E(X) = ∫x·f(x)dx = ∫ từ −1 tới 2 của x³/3 dx = [x⁴/12] từ −1 tới 2 = (16 − 1)/12 = 1.25. Tính chất tuyến tính của kỳ vọng cho E(4X + 3) = 4E(X) + 3 = 4·1.25 + 3 = 8. Giá trị "9" đòi E(X) = 1.5, tức tích phân x³/3 bị tính sai. Giá trị "10" đòi E(X) = 1.75, càng lệch xa, sát cận trên 2 của miền, điều không thể vì mật độ vẫn có khối lượng trên đoạn âm. Giá trị "7" đòi E(X) = 1, thấp hơn giá trị tích phân đúng 1.25, như thể mật độ không dồn trọng lượng về phía x = 2. Lưu ý chỉ hằng số 3 được cộng nguyên, còn hệ số 4 nhân vào E(X). Có số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "15". X phân phối đều trên (5, 7) với mật độ 0.5, nên E(X) = (5 + 7)/2 = 6, hay tính tích phân ∫ x·0.5 dx từ 5 tới 7 = 0.25·(49 − 25) = 6. Kỳ vọng có tính tuyến tính: E(aX + b) = a·E(X) + b, nên E(2X + 3) = 2·6 + 3 = 15. "6" là E(X), chưa áp phép biến đổi 2X + 3. "12" là 2E(X), quên cộng hằng số 3. "3" chỉ là hằng số, bỏ hẳn phần 2E(X). "4.4" không ứng với phép tính nào ở đây; ngay cả phương sai Var(2X + 3) = 4·Var(X) = 4·(2²/12) ≈ 1.33 cũng khác. "None of the others" sai vì 15 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.57". Do phân phối chuẩn tắc đối xứng quanh 0, P(−a < Z < a) = 2P(Z < a) − 1. Đặt 2P(Z < a) − 1 = 0.4314 được P(Z < a) = (1 + 0.4314)/2 = 0.7157, đối chiếu dữ kiện P(Z < 0.57) = 0.7157 nên a = 0.57. "0.33" sai vì P(−0.33 < Z < 0.33) = 2·0.6293 − 1 = 0.2586, nhỏ hơn 0.4314. "1.49" sai vì P(−1.49 < Z < 1.49) = 2·0.9319 − 1 = 0.8638, quá lớn. "−0.18" sai vì a phải dương để khoảng (−a, a) có nghĩa, và con số P(Z < −0.18) = 0.4286 chỉ gần 0.4314 về chữ số chứ không phải xác suất của khoảng đối xứng. "None of the other choices is correct" sai vì 0.57 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.7745". X có phân phối chuẩn μ = 4.0, σ = 1.0; chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ: với 2.5 thì Z = (2.5 − 4)/1 = −1.5, với 5.0 thì Z = (5 − 4)/1 = 1. Vậy P(2.5 < X < 5.0) = P(−1.5 < Z < 1) = P(Z < 1) − P(Z < −1.5) = 0.8413 − 0.0668 = 0.7745. Các giá trị P(Z < −0.99), P(Z < −0.55), P(Z < 0.15) đề cho là nhiễu, không dùng tới. "0.2817" bằng P(Z < 1) − P(Z < 0.15) = 0.8413 − 0.5596, còn "0.0943" bằng P(Z < −0.99) − P(Z < −1.5) = 0.1611 − 0.0668, tức lấy nhầm một cận sang giá trị Z nhiễu. "0.4908" không bằng hiệu hay tổng nào của các giá trị đề cho và lệch xa kết quả đúng 0.7745. Vì 0.7745 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.9637". Số cú home run X ~ nhị thức với n = 600, p = 0.03, xấp xỉ chuẩn với μ = np = 18 và σ = √(np(1 − p)) = √17.46 = 4.1785. Nhiều hơn 10 nghĩa là X ≥ 11; vì X rời rạc còn phân phối chuẩn liên tục, mỗi giá trị nguyên k được đại diện bởi đoạn [k − 0.5, k + 0.5], nên hiệu chỉnh liên tục (continuity correction) đặt mốc tại 10.5: z = (10.5 − 18)/4.1785 = −1.795 và P(X > 10) ≈ P(Z > −1.795) = 1 − 0.0363 = 0.9637. "0.9723" là kết quả khi bỏ hiệu chỉnh liên tục, lấy mốc 10: z = (10 − 18)/4.1785 = −1.915, 1 − 0.0277 = 0.9723; con số này ngầm gộp nửa đoạn quanh giá trị 10 vào biến cố, trong khi X = 10 không thuộc nhiều hơn 10, nên nó là xấp xỉ thô hơn và không phải cách tính chuẩn. "0.0363" là P(X ≤ 10) có hiệu chỉnh, phần bù của biến cố hỏi. "0.0277" là phần bù khi bỏ hiệu chỉnh. Đã có 0.9637 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.0667". Khi thời gian giữa các lần đến có phân phối mũ với tham số λ thì trung bình là 1/λ, và λ chính là số lần đến trung bình trên một đơn vị thời gian (quá trình Poisson). Trung bình 15 phút cho λ = 1/15 ≈ 0.0667 lần đến mỗi phút. "0.0718" sai vì ứng với 1/0.0718 ≈ 13.9 phút giữa hai lần đến, không phải 15. "0.0417" sai vì ứng với 1/0.0417 ≈ 24 phút. "0.0641" sai vì ứng với 1/0.0641 ≈ 15.6 phút, gần nhưng không đúng trung bình 15 phút. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0667 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.75". Hàm mật độ f(x) = 1.25 trên (74.6, 75.4) là phân phối đều liên tục (độ rộng 0.8, và 1.25·0.8 = 1 nên đúng là hàm mật độ). Tỉ lệ lưỡi dao đạt quy cách là P(74.7 < X < 75.3) = ∫f(x)dx trên khoảng đó = 1.25·(75.3 − 74.7) = 1.25·0.6 = 0.75. "0.25" là phần bù 1 − 0.75, tỉ lệ KHÔNG đạt quy cách (hai đoạn 74.6–74.7 và 75.3–75.4). "0.125" là 1.25·0.1, xác suất của chỉ một đoạn rìa dài 0.1. "0.5" không khớp với độ dài 0.6 của khoảng quy cách; nó ứng với lấy độ dài 0.4 hoặc nhầm đối xứng thành một nửa.

Đáp án đúng: "0.9817". Mật độ f(x) = 2e⁻²ˣ với x > 0 là phân phối mũ có λ = 2, hàm phân phối tích luỹ F(x) = ∫ từ 0 đến x của 2e⁻²ᵗdt = 1 − e⁻²ˣ. Tại x = 2: F(2) = 1 − e⁻⁴ = 1 − 0.0183 = 0.9817. "0.8647" là 1 − e⁻², tức F(1), quên nhân λ = 2 với x = 2 trong số mũ. "0.1353" là e⁻², phần bù của giá trị nhầm đó, cũng chính là P(X > 1). "0.0183" là e⁻⁴ = P(X > 2), xác suất phần đuôi bên phải chứ không phải giá trị hàm phân phối tích luỹ, vốn tính phần bên trái. Đã có 0.9817 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Kiểm tra trực giác: kỳ vọng 1/λ = 0.5 nên x = 2 gấp bốn lần kỳ vọng, F(2) phải rất gần 1.

Đáp án đúng: "0.0016". Mật độ f(x) = 25e^(−25(x−5)) với x > 5 là phân phối mũ tham số λ = 25 bị tịnh tiến sang phải 5 đơn vị: X = 5 + Y với Y có phân phối mũ λ = 25. Tịnh tiến làm đổi kỳ vọng (E(X) = 5 + 1/25) nhưng không đổi phương sai, nên V(X) = V(Y) = 1/λ² = 1/625 = 0.0016. Phương án "0.04" là 1/λ, tức độ lệch chuẩn (cũng là E(Y)), chưa bình phương. Phương án "0.02" không ứng với đại lượng nào của phân phối này. Phương án "25" là chính tham số λ, không phải phương sai. Phương án "None of the others" sai vì 0.0016 đã có sẵn.