Câu hỏi: MAS291 - Chương 4: Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất

Đáp án đúng: "0.47". Với phân phối đều liên tục (continuous uniform) trên khoảng (0, 10), hàm mật độ f(x) = 0.1 là hằng số nên xác suất của một khoảng bằng diện tích hình chữ nhật: P(X > 5.3) = ∫ từ 5.3 tới 10 của 0.1 dx = 0.1·(10 − 5.3) = 0.1·4.7 = 0.47. Phần bù P(X < 5.3) = 0.53, và hai giá trị này cộng lại đúng bằng 1. Giá trị "0.21" ứng với độ dài khoảng 2.1, không khớp với khoảng từ 5.3 tới 10. Giá trị "0.49" ứng với độ dài 4.9, cũng không khớp đoạn từ 5.3 tới 10 dài 4.7. Giá trị "0.28" ứng với độ dài 2.8, cũng không phải phần còn lại của khoảng. Vì 0.47 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "95%". Chuẩn hoá hai mốc: Z = (96 − 120)/12 = −2 và Z = (144 − 120)/12 = 2, nên P(96 < X < 144) = P(−2 < Z < 2) = 1 − 2·P(Z < −2) = 1 − 2·0.025 = 0.95. Theo số liệu gợi ý thì đáp số là 95%; bảng chuẩn chính xác cho P(Z < −2) ≈ 0.0228 nên con số thật khoảng 95.4%, khớp quy tắc kinh nghiệm 68–95–99.7 cho khoảng μ ± 2σ. Giá trị "68%" là tỉ lệ trong μ ± 1σ, tức từ 108 tới 132 mmHg, hẹp hơn khoảng được hỏi. Giá trị "99.7%" là tỉ lệ trong μ ± 3σ, tức từ 84 tới 156 mmHg, rộng hơn. Giá trị "99.99%" ứng với khoảng cỡ μ ± 4σ, còn rộng hơn nữa. Vì 95% đã có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.1587". Chuẩn hoá theo Z = (X − μ)/σ = (16 − 12)/4 = 1, nên P(X > 16) = P(Z > 1) = 1 − P(Z < 1) = 1 − 0.8413 = 0.1587, dùng đúng giá trị P(Z < 1) = 0.8413 đề cho. Đây là biến liên tục nên không cần hiệu chỉnh liên tục, và P(X > 16) đúng bằng một đuôi phải tại một độ lệch chuẩn. "0.1687" là P(Z < −0.96), con số đưa vào làm nhiễu; z = −0.96 không ứng với 16 ounce. "0.1521" thấp hơn giá trị đúng, ứng với đuôi phải tại z khoảng 1.03 chứ không phải z = 1. "0.1621" ứng với đuôi phải tại z khoảng 0.99, cũng không khớp phép chuẩn hoá. "None of the other choices is correct" sai vì 0.1587 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.936". X nhị thức với n = 200, p = 0.4 nên μ = np = 80 và σ = √(np(1 − p)) = √48 ≈ 6.928; np và n(1 − p) đều lớn nên xấp xỉ chuẩn dùng được. Có hiệu chỉnh liên tục, P(X ≤ 90) ≈ P(Z ≤ (90.5 − 80)/6.928) = P(Z ≤ 1.516) ≈ P(Z < 1.52) = 0.936. Nếu không hiệu chỉnh thì z = (90 − 80)/6.928 ≈ 1.44, vẫn không dẫn tới 1.66. "0.064" sai vì đó là 1 − 0.936, tức xác suất phần đuôi P(X > 90), ngược chiều câu hỏi. "0.952" sai vì ứng với z = 1.66, không ra từ số liệu này dù có hiệu chỉnh hay không. "0.048" sai vì đó là 1 − 0.952, vừa sai giá trị z vừa lấy nhầm đuôi phải.

Đáp án đúng: "0.45". Phân phối mũ (exponential distribution) có hàm sống sót P(X > x) = e^(−λx). Với λ = 0.00004 và x = 20000 thì λx = 0.8, nên P(X ≥ 20000) = e^(−0.8) ≈ 0.4493, làm tròn 0.45. Thời gian sống trung bình là 1/λ = 25000 giờ, nên xác suất sống quá 20000 giờ dưới một nửa một chút là hợp lý. Giá trị "0.55" là 1 − 0.45, tức xác suất laser hỏng trước 20000 giờ, đúng là phần bù của điều cần tìm. Giá trị "0.65" ứng với λx ≈ 0.43, tức mốc thời gian chỉ khoảng 10800 giờ, không phải 20000. Giá trị "0.74" ứng với λx ≈ 0.3, tức chỉ khoảng 7500 giờ, càng xa mốc bài cho. Đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.75". X phân phối đều trên (0, 2) với mật độ 0.5 (và bằng 0 ngoài khoảng đó). Với biến liên tục, xác suất là diện tích dưới đường mật độ, ở đây là hình chữ nhật cao 0.5, rộng từ 0 tới 1.5: P(X < 1.5) = ∫ 0.5 dx từ 0 tới 1.5 = 0.5·1.5 = 0.75. "0.25" là P(X > 1.5) = 0.5·(2 − 1.5), tức phần bù của biến cố cần tìm. "0.5" là chính giá trị mật độ f(x), hoặc là P(X < 1), không phải diện tích tới 1.5; mật độ không phải xác suất. "0" là xác suất tại đúng một điểm P(X = 1.5) của biến liên tục, không phải xác suất của cả một khoảng. "None of the other choice is correct" sai vì 0.75 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.9817". Với biến liên tục có hàm phân phối F, P(a < X < b) = F(b) − F(a), và xác suất tại từng điểm bằng 0 nên dấu bằng ở hai đầu không quan trọng. Ở đây F(1) = 1 − e^(−4) ≈ 1 − 0.0183 = 0.9817 và F(−1) = 0 vì −1 ≤ 0, nên P(−1 < X < 1) = 0.9817 − 0 = 0.9817. Phần âm của khoảng không đóng góp gì vì X chỉ nhận giá trị dương (đây là phân phối mũ với λ = 4). "0.0183" sai vì đó là e^(−4) = P(X > 1), xác suất phần đuôi bên phải 1. "0.5655" sai vì không khớp với F(1) − F(−1); nó sẽ chỉ ra nếu tham số mũ khoảng 0.83 thay vì 4. "0.4345" sai vì đó là 1 − 0.5655, cũng không xuất phát từ hàm F đã cho. "None of the other choices is correct" sai vì 0.9817 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "1". Kỳ vọng có tính tuyến tính: với mọi hằng số a, b thì E(aX + b) = aE(X) + b, không cần biết phân phối của X. Thay a = 3, b = 1, E(X) = 0: E(3X + 1) = 3·0 + 1 = 1. "3" chỉ là hệ số a, quên rằng a phải nhân với E(X) = 0 nên 3·E(X) = 0. "4" là cộng 3 + 1, coi như E(X) = 1. "2" không ứng với phép thay số nào đúng của công thức tuyến tính. Lưu ý tính tuyến tính này khác với phương sai, nơi V(aX + b) = a²V(X) và hằng số b biến mất. Vì 1 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" sai.

Đáp án đúng: "1.33". Lưu lượng thật X có phân phối đều liên tục (uniform) trên [a, b] = [9.5, 13.5], nên V(X) = (b − a)²/12 = (13.5 − 9.5)²/12 = 16/12 = 1.33 và kỳ vọng E(X) = (9.5 + 13.5)/2 = 11.5. Mức cài đặt 10 gallon mỗi phút không tham gia vào phép tính vì máy thực tế bơm theo khoảng 9.5 tới 13.5. "8.33" là 10²/12, dùng nhầm mức cài đặt 10 thay cho độ dài khoảng b − a = 4. "44.08" là (9.5 + 13.5)²/12 = 529/12, lấy tổng hai đầu mút thay vì hiệu. "0.75" là 3²/12, ứng với một khoảng dài 3 đơn vị chứ không phải 4, nên quá nhỏ. Đã tính được 1.33 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.6554". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (32 − 30)/5 = 0.4, nên P(X < 32) = P(Z < 0.4) = 0.6554 theo số liệu đã cho. Phương án "0.3446" là 1 − 0.6554 = P(X > 32), ngược chiều câu hỏi. Phương án "0.5793" là P(Z < 0.2), ứng với z = 0.2, tức đã chia độ lệch 2 cho 10 thay vì cho σ = 5. Phương án "0.4207" là 1 − 0.5793, mắc cả lỗi z = 0.2 lẫn lỗi lấy phần bù. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.6554 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "68%". Chuẩn hoá bằng Z = (X − μ)/σ với μ = 2.6, σ = 0.4: với X = 2.2 thì Z = (2.2 − 2.6)/0.4 = −1, với X = 3 thì Z = (3 − 2.6)/0.4 = 1. Vậy P(2.2 < X < 3) = P(Z < 1) − P(Z < −1) = 0.8413 − 0.1613 = 0.68, tức 68%. Số liệu cho P(Z < −1) = 0.1613 hơi lệch bảng chuẩn 0.1587; dùng bảng chuẩn thì được 0.6826, vẫn là khoảng 68% theo quy tắc thực nghiệm (empirical rule) một độ lệch chuẩn quanh trung bình. Giá trị "84.13%" là P(Z < 1), chỉ là xác suất GPA dưới 3, quên trừ phần dưới 2.2. Giá trị "99.7%" là tỷ lệ trong ba độ lệch chuẩn, ứng với khoảng 1.4 đến 3.8. Giá trị "89%" không ứng với khoảng nào trong số liệu đã cho. Vì 68% có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "None of the other choices is correct". Poisson với λ = 140 lớn nên xấp xỉ chuẩn với μ = 140 và σ = √140 = 11.83. Vì X rời rạc, P(X < 130) = P(X ≤ 129), hiệu chỉnh liên tục lấy mốc 129.5: z = (129.5 − 140)/11.83 = −0.89, nên P(X < 130) ≈ P(Z < −0.89) = 0.1867, đúng giá trị dòng gợi ý cho. Kết quả phải nhỏ hơn 0.5 vì 130 nằm dưới trung bình. "0.6293" là P(Z < 0.33) trong dòng gợi ý, ứng với một z dương, không phải vùng bên trái trung bình. "0.5122" là giá trị ghi cho P(Z < 0.5) trong dòng gợi ý (bảng chuẩn thực tế là 0.6915), cũng lớn hơn 0.5 nên không thể là xác suất dưới 130. "0.8413" là P(Z < 1), ứng với điểm cao hơn trung bình một độ lệch chuẩn. "0.9332" là P(Z < 1.5), càng xa vùng cần tính. Không phương án số nào bằng 0.1867, nên chọn phương án không có kết quả đúng.

Đáp án đúng: "0.556744". Phân phối mũ (exponential distribution) với trung bình 4 phút có tham số λ = 1/4, và P(X > x) = e^(−λx). Do đó P(2 < X < 12) = e^(−2/4) − e^(−12/4) = e^(−0.5) − e^(−3) = 0.606531 − 0.049787 = 0.556744. Phương án "0.049787" là e^(−3) = P(X > 12), chỉ là xác suất mất hơn 12 phút. Phương án "0.606531" là e^(−0.5) = P(X > 2), chưa trừ phần vượt quá 12 phút. Phương án "0.656318" là tổng 0.606531 + 0.049787, cộng nhầm thay vì trừ. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.556744 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.75". Hàm mật độ phải thoả ∫f(x)dx = 1 trên miền xác định. Tính ∫ từ 0 đến 2 của (2x − x²)dx = [x² − x³/3] từ 0 đến 2 = 4 − 8/3 = 4/3. Từ A·4/3 = 1 suy ra A = 3/4 = 0.75; ngoài ra 2x − x² ≥ 0 trên (0, 2) nên f không âm, đúng là hàm mật độ. Giá trị "4" làm tổng xác suất bằng 4·4/3 ≈ 5.33, vượt xa 1. Giá trị "2" cho tổng 2·4/3 ≈ 2.67, cũng không phải hàm mật độ. Giá trị "3.5" làm tổng xác suất bằng 3.5·4/3 ≈ 4.67, vượt 1. Vì 0.75 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Với biến liên tục, hàm mật độ là đạo hàm của hàm phân phối: f(x) = F′(x). Trên x ≤ 0, F(x) = 0 nên f(x) = 0; trên x > 0, F(x) = 1 − e⁻⁵ˣ nên f(x) = 5e⁻⁵ˣ. Đó đúng là biểu thức (i), phân phối mũ với tham số λ = 5; kiểm lại ∫5e⁻⁵ˣdx từ 0 tới vô cùng = 1. "(ii)" có f(x) = 1 trên x ≤ 0, đạo hàm của hằng số 0 phải là 0, và mật độ bằng 1 trên cả nửa trục âm làm tích phân vô hạn. "(iii)" lấy f(x) = 1 − 5e⁻⁵ˣ, không phải đạo hàm của F và còn âm gần 0 (tại x nhỏ nó gần 1 − 5 = −4), vi phạm điều kiện mật độ không âm. "(iv)" vừa có f(x) = 1 trên x ≤ 0 vừa có 1 + 5e⁻⁵ˣ trên x > 0, tích phân toàn trục vô hạn nên không là mật độ. "None of the other choices is correct" sai vì (i) đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Hàm mật độ f(x) = λe^(−λx) với x ≥ 0 là phân phối mũ (exponential). Kỳ vọng E(X) = ∫ từ 0 tới vô cùng của x·λe^(−λx) dx; tích phân từng phần cho E(X) = 1/λ, và đó là biểu thức (i). Ý nghĩa: λ là tốc độ xảy ra sự kiện, tốc độ càng lớn thì thời gian chờ trung bình càng ngắn. Biểu thức (iv) trong "(iv)" là λ², không đúng thứ nguyên, vì X đo thời gian còn λ đo nghịch đảo thời gian; còn 1/λ² chính là phương sai, không phải kỳ vọng. Biểu thức (ii) trong "(ii)" là 2/λ, gấp đôi kỳ vọng, đó là kỳ vọng của tổng hai thời gian chờ mũ độc lập chứ không phải của một X. Biểu thức (iii) trong "(iii)" là λ, nhầm tham số tốc độ với thời gian trung bình. Vì 1/λ có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.2". Biến ngẫu nhiên đều liên tục (continuous uniform) trên [30, 80] có mật độ f(x) = 1/(80 − 30) = 1/50 trên khoảng đó. Do đó P(X < 40) = (40 − 30)/50 = 10/50 = 0.2, tức tỉ lệ độ dài đoạn [30, 40] trên độ dài toàn khoảng. Giá trị "0.8" là P(X > 40) = 40/50, phần bù của biến cố cần tìm. Giá trị "1" chỉ đúng với biến cố X < 80 hoặc rộng hơn, không phải X < 40. Giá trị "0.7" không ứng với mốc 40: nó là xác suất của một đoạn dài 35 đơn vị, chẳng hạn X < 65. Có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "37.3". Cần tìm m sao cho P(X < m) = 0.10. Đề cho P(Z < −1.28) = 0.1, nên m ứng với z = −1.28; từ Z = (X − μ)/σ suy ra m = μ + z·σ = 45 − 1.28·6 = 37.32 ≈ 37.3. Kết quả hợp lý vì 10% khách ở ít thời gian nhất phải nằm dưới trung bình 45 phút, cách trung bình khoảng 1.28 độ lệch chuẩn. "47.3" nằm trên trung bình 45 nên xác suất ở dưới nó phải lớn hơn 0.5, không thể là 0.10. "27.3" cách trung bình 17.7 phút, khoảng 2.95 độ lệch chuẩn, ứng với xác suất đuôi chỉ cỡ 0.0016. "17.3" còn xa hơn, cách trung bình 27.7 phút, khoảng 4.6 độ lệch chuẩn, xác suất gần như bằng 0. "None of the other choices is correct" sai vì 37.3 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.6915". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (48 − 45)/6 = 0.5, nên P(X < 48) = P(Z < 0.5) = 0.6915 theo dữ kiện đã cho. Giá trị P(Z < 0.6) = 0.6854 trong dữ kiện nhỏ hơn P(Z < 0.5), điều không thể với hàm phân phối tăng (bảng chuẩn cho khoảng 0.7257), nhưng không ảnh hưởng vì phép tính chỉ cần z = 0.5. "0.7512" sai vì đó là giá trị ứng với z = 0.7, tức khoảng 49.2 phút chứ không phải 48. "0.8756" sai vì ứng với z = 1.2, tức 52.2 phút, hoặc chia nhầm 3 cho 2.5 thay vì cho 6. "0.6954" sai vì không ứng với giá trị z nào trong dữ kiện, chỉ là một số gần 0.6915. "None of the other choices is correct" sai vì 0.6915 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.335". Số nam châm lỗi X có phân phối nhị thức n = 300, p = 0.08, nên μ = np = 24 và σ = √(np(1 − p)) = √22.08 ≈ 4.699. "Lớn hơn 24 và nhỏ hơn 30" nghĩa là X = 25, 26, 27, 28, 29; với hiệu chỉnh liên tục, P(25 ≤ X ≤ 29) ≈ P(24.5 < X < 29.5) = P(0.11 < Z < 1.17) vì (24.5 − 24)/4.699 ≈ 0.11 và (29.5 − 24)/4.699 ≈ 1.17. Dùng số liệu cho: 0.879 − 0.544 = 0.335. "0.311" là 0.855 − 0.544, dùng cận trên 29 không hiệu chỉnh (Z ≈ 1.06), lẫn lộn cách hiệu chỉnh hai đầu. "0.121" là 1 − 0.879, xác suất X vượt 29.5, không phải khoảng giữa. "0.145" là 1 − 0.855, cũng là phần đuôi phải. Vì 0.335 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.