Let X be a continuous random variable that has the cumulative distribution function given by F(x) = {0, x ≤ 0; 1 − e⁻⁵ˣ, x > 0} Find the density function of X. (i) f(x) = 0, x ≤ 0 and f(x) = 5e⁻⁵ˣ, x > 0. (ii) f(x) = 1, x ≤ 0 and f(x) = 5e⁻⁵ˣ, x > 0. (iii) f(x) = 0, x ≤ 0 and f(x) = 1 − 5e⁻⁵ˣ, x > 0. (iv) f(x) = 1, x ≤ 0 and f(x) = 1 + 5e⁻⁵ˣ, x > 0.

Đáp án đúng: "(i)". Với biến liên tục, hàm mật độ là đạo hàm của hàm phân phối: f(x) = F′(x). Trên x ≤ 0, F(x) = 0 nên f(x) = 0; trên x > 0, F(x) = 1 − e⁻⁵ˣ nên f(x) = 5e⁻⁵ˣ. Đó đúng là biểu thức (i), phân phối mũ với tham số λ = 5; kiểm lại ∫5e⁻⁵ˣdx từ 0 tới vô cùng = 1. "(ii)" có f(x) = 1 trên x ≤ 0, đạo hàm của hằng số 0 phải là 0, và mật độ bằng 1 trên cả nửa trục âm làm tích phân vô hạn. "(iii)" lấy f(x) = 1 − 5e⁻⁵ˣ, không phải đạo hàm của F và còn âm gần 0 (tại x nhỏ nó gần 1 − 5 = −4), vi phạm điều kiện mật độ không âm. "(iv)" vừa có f(x) = 1 trên x ≤ 0 vừa có 1 + 5e⁻⁵ˣ trên x > 0, tích phân toàn trục vô hạn nên không là mật độ. "None of the other choices is correct" sai vì (i) đúng.