The continuous random variable X has probability density function is f(x) = e⁻ˣ, x > 0. Find P(X=2010). (i) 0 (ii) 1 (iii) 1/e⁻²⁰¹⁰

Đáp án đúng: "(i)". Với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất tại một điểm luôn bằng 0 vì P(X = a) là tích phân của f(x) từ a đến a, một khoảng có độ dài 0. Mật độ f(x) = e⁻ˣ với x > 0 là phân phối mũ với λ = 1, chỉ cho xác suất dương trên các khoảng, nên P(X = 2010) = 0, đúng như mục (i). "(ii)" sai vì xác suất bằng 1 nghĩa là X chắc chắn nhận đúng giá trị 2010, trái với việc X trải liên tục trên cả nửa trục (0, ∞). "(iii)" sai vì 1/e⁻²⁰¹⁰ = e²⁰¹⁰ là một số khổng lồ, vượt xa 1 nên không thể là xác suất; cũng đừng nhầm với giá trị mật độ f(2010) = e⁻²⁰¹⁰, đó là chiều cao đường mật độ tại điểm 2010 chứ không phải xác suất. Mục (i) đúng nên "None of the others" không được chọn. Hệ quả hay dùng: với biến liên tục, P(X ≤ a) = P(X < a), dấu bằng ở cận không làm đổi xác suất.