Find the expected value of the random variable X whose probability density function is given by f(x) = {λe^(−λx), x ≥ 0; 0, x < 0.} (i) 1/λ (ii) 2/λ (iii) λ (iv) λ²

Đáp án đúng: "(i)". Hàm mật độ f(x) = λe^(−λx) với x ≥ 0 là phân phối mũ (exponential). Kỳ vọng E(X) = ∫ từ 0 tới vô cùng của x·λe^(−λx) dx; tích phân từng phần cho E(X) = 1/λ, và đó là biểu thức (i). Ý nghĩa: λ là tốc độ xảy ra sự kiện, tốc độ càng lớn thì thời gian chờ trung bình càng ngắn. Biểu thức (iv) trong "(iv)" là λ², không đúng thứ nguyên, vì X đo thời gian còn λ đo nghịch đảo thời gian; còn 1/λ² chính là phương sai, không phải kỳ vọng. Biểu thức (ii) trong "(ii)" là 2/λ, gấp đôi kỳ vọng, đó là kỳ vọng của tổng hai thời gian chờ mũ độc lập chứ không phải của một X. Biểu thức (iii) trong "(iii)" là λ, nhầm tham số tốc độ với thời gian trung bình. Vì 1/λ có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.