Determine the probability density function f(x) if the cumulative distribution function F(x) of a continuous random varianble X is given by F(x) = 1 − e⁻⁵ˣ, x > 0. (i) 1 − e⁻⁵ˣ, x > 0 (ii) 5e⁻⁵ˣ, x > 0 (iii) 1 − 5e⁻⁵ˣ, x > 0 (iv) 0.5 − e⁻⁵ˣ, x > 0

Đáp án đúng: "(ii)". Với biến liên tục, hàm mật độ là đạo hàm của hàm phân phối tích luỹ: f(x) = F′(x). Đạo hàm của F(x) = 1 − e⁻⁵ˣ là f(x) = 5e⁻⁵ˣ với x > 0, đúng biểu thức (ii); đây là mật độ của phân phối mũ với λ = 5, và tích phân của nó từ 0 tới vô cùng bằng 1. Lựa chọn "(i)" chỉ chép lại F(x), tức hàm phân phối chứ chưa lấy đạo hàm. Lựa chọn "(iii)" là 1 − 5e⁻⁵ˣ, giữ hằng số 1 lẽ ra phải mất khi đạo hàm và sai dấu; tại x = 0 nó cho −4, mật độ không thể âm. Lựa chọn "(iv)" là 0.5 − e⁻⁵ˣ, không phải đạo hàm của F và cũng âm khi x gần 0, nên không thể là hàm mật độ.