Câu hỏi: MAS291 - Chương 10: Suy diễn thống kê cho hai mẫu

Đáp án đúng: "(iii)". Câu hỏi muốn biết doanh số Internet trung bình có vượt doanh số đặt hàng qua thư hay không, nên điều cần chứng minh là μ₁ > μ₂ và phải đặt ở giả thuyết đối H₁, còn giả thuyết không H₀ luôn chứa dấu bằng: H₀ : μ₁ = μ₂; H₁ : μ₁ > μ₂, đây là kiểm định một phía bên phải. Cặp "(i)" có H₁ : μ₁ ≥ μ₂ chứa cả dấu bằng, chồng lên H₀ nên hai giả thuyết không loại trừ nhau. Cặp "(ii)" đặt H₀ là bất đẳng thức chặt μ₁ < μ₂, không có giá trị cụ thể để tính phân phối của thống kê kiểm định, và H₁ lại chứa dấu bằng. Cặp "(iv)" đảo ngược vai trò: điều muốn chứng minh μ₁ > μ₂ lại nằm ở H₀, còn H₁ chứa dấu bằng, trái nguyên tắc đặt giả thuyết.

Đáp án đúng: "44.3". Khi giả sử hai độ lệch chuẩn tổng thể bằng nhau, phương sai gộp (pooled variance) là sp² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2) = (229·7.4² + 184·5.6²)/413 = (229·54.76 + 184·31.36)/413 = (12540.04 + 5770.24)/413 ≈ 44.33, làm tròn 44.3. Phương sai gộp là trung bình có trọng số (số bậc tự do) của 54.76 và 31.36; nhóm Python đông hơn nên kết quả phải nằm phía trên trung bình thường (54.76 + 31.36)/2 = 43.06. Giá trị "35.7" nằm dưới mức 43.06, tức ngầm đặt trọng số lớn hơn cho nhóm PowerShell ít người hơn, ngược chiều công thức. Giá trị "36.9" mắc cùng lỗi trọng số và còn thấp hơn hẳn 41.44 là tích s₁·s₂. Giá trị "32.5" sát 31.36 của riêng nhóm PowerShell, như thể bỏ gần hết thông tin của 230 sinh viên học Python.

Đáp án đúng: "−0.27". Kiểm định H₀: p₁ = p₂ dùng tỉ lệ gộp p̂ = (x₁ + x₂)/(n₁ + n₂) = 218/766 ≈ 0.2846. Hai tỉ lệ mẫu là p̂₁ = 121/431 ≈ 0.2807 và p̂₂ = 97/335 ≈ 0.2896. Thống kê Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)) = −0.0088/√(0.2846·0.7154·(1/431 + 1/335)) ≈ −0.0088/0.0329 ≈ −0.27. "0.21" sai dấu: p̂₁ nhỏ hơn p̂₂ nên Z₀ phải âm, và độ lớn cũng không khớp. "−0.62" đòi sai số chuẩn chỉ khoảng 0.014, nhỏ hơn nhiều so với 0.0329 tính từ tỉ lệ gộp, tức mẫu số bị tính sai. "−0.45" ứng với sai số chuẩn khoảng 0.0196, cũng không khớp công thức gộp. Hiệu hai tỉ lệ chưa tới 0.01 nên Z₀ rất gần 0, không đủ bằng chứng bác H₀. "None of the other choices is correct" sai vì −0.27 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.38". Hai tổng thể chuẩn với độ lệch chuẩn đã biết nên dùng kiểm định Z cho hiệu hai trung bình, H₀: μ₁ = μ₂ và H₁: μ₁ ≠ μ₂ (hai phía vì hỏi hai nhóm có cùng cân nặng hay không). Z₀ = (x̄₁ − x̄₂)/√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) = 0.2/√(0.576²/20 + 0.776²/17) = 0.2/√(0.01659 + 0.03542) = 0.2/0.2281 = 0.877 ≈ 0.88. P-value hai phía = 2[1 − P(Z < 0.88)] = 2(1 − 0.810) = 0.38, lớn hơn α = 0.05 nên không bác H₀. "0.28" nhỏ hơn cả p-value ứng với z = 1 là 2(1 − 0.841) = 0.318, trong khi Z₀ chỉ 0.88 nên p-value phải lớn hơn 0.318. "0.55" đòi P(Z < z) ≈ 0.725, tức z chỉ khoảng 0.60, nhỏ hơn nhiều so với 0.88. "0.47" đòi P(Z < z) ≈ 0.765, tức z khoảng 0.72, cũng không khớp Z₀ đã tính. Nếu làm một phía, p-value chỉ là 0.19, cũng không trùng giá trị nào.

Đáp án đúng: "1.734". Khi giả định hai phương sai bằng nhau, khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂ là (x̄₁ − x̄₂) ± t(0.025, n₁+n₂−2)·sp·√(1/n₁ + 1/n₂), với phương sai gộp sp² = ((n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²)/(n₁+n₂−2) = (25·1.26² + 22·1.76²)/47 = 2.2944, sp = 1.5147. Nửa độ rộng là 2·1.5147·√(1/26 + 1/23) = 2·1.5147·0.2863 = 0.867, nên độ rộng khoảng là 2·0.867 = 1.734; dùng t(0.025, 47) = 2 vì khoảng hai phía. Phương án "0.673" còn nhỏ hơn cả nửa độ rộng 0.867, không khớp cách tính nào của công thức này. Phương án "0.987" cũng không khớp nửa độ rộng lẫn độ rộng. Phương án "1.976" lớn hơn độ rộng đúng; ngay cả khi bỏ giả định phương sai bằng nhau và dùng √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) thì độ rộng cũng chỉ là 1.770.

Đáp án đúng: "(0.044, 0.096)". Coi hai tỷ lệ là hai tỷ lệ mẫu p̂₁ = 0.53 và p̂₂ = 0.46, mỗi tỷ lệ tính trên n = 2020 người, khoảng tin cậy cho p₁ − p₂ là (p̂₁ − p̂₂) ± z₀.₀₅·√(p̂₁(1 − p̂₁)/n + p̂₂(1 − p̂₂)/n). Sai số chuẩn là √(0.53·0.47/2020 + 0.46·0.54/2020) ≈ 0.01569, nhân với z₀.₀₅ = 1.64 được biên sai số ≈ 0.0257, nên khoảng là 0.07 ± 0.0257 = (0.044, 0.096). Khoảng "(0.039, 0.101)" có biên ≈ 0.031 = 1.96·0.01569, tức khoảng 95% chứ không phải 90%. Khoảng "(0.023, 0.105)" lệch tâm, trung điểm 0.064 không bằng p̂₁ − p̂₂ = 0.07. Khoảng "(0.050, 0.088)" có biên chỉ 0.019, quá hẹp so với 1.64·0.01569. Vì đã có khoảng khớp nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "1.359". Biết σ₁, σ₂ nên dùng z; cận dưới tin cậy (lower confidence bound) một phía mức 98% là μ₁ − μ₂ ≥ (x̄₁ − x̄₂) − z₀.₀₂·√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Thay số: x̄₁ − x̄₂ = 4.3, √(16/20 + 25/20) = √2.05 ≈ 1.4318, nên cận dưới = 4.3 − 2.054·1.4318 ≈ 4.3 − 2.941 = 1.359. Một phía nên toàn bộ α = 0.02 dồn vào một đuôi, dùng z₀.₀₂ chứ không chia đôi. Giá trị "0.97" dùng z₀.₀₁ = 2.326, tức hệ số của khoảng hai phía 98%, áp sai cho cận một phía. Giá trị "0.822" dùng t(0.01, 38) = 2.429, vừa sai mức vừa dùng t khi σ đã biết. Giá trị "1.255" dùng t(0.02, 38) = 2.127, đúng mức một phía nhưng sai phân phối vì σ đã biết thì không cần t. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "(0.627, 1.613)". Hai tổng thể chuẩn có cùng phương sai nên dùng phương sai gộp s_p² = ((n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²)/(n₁ + n₂ − 2) = (11·0.4 + 9·0.5)/20 = 0.445, s_p ≈ 0.6671, với 20 bậc tự do. Khoảng 90% hai phía: (x̄₁ − x̄₂) ± t(0.05, 20)·s_p·√(1/n₁ + 1/n₂) = 1.12 ± 1.725·0.6671·√(1/12 + 1/10) = 1.12 ± 1.725·0.2856 ≈ 1.12 ± 0.493, tức (0.627, 1.613). "(0.742, 1.498)" dùng t(0.1, 20) = 1.325, cho bán kính 0.378, là khoảng 80% chứ không phải 90%. "(0.622, 1.618)" có bán kính 0.498, ứng với sai số chuẩn không gộp √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) ≈ 0.2887, trái giả thiết cùng phương sai. "(0.789, 1.449)" có bán kính chỉ 0.33, hẹp hơn mọi cách tính hợp lý với các phân vị đề cho. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "3.35". Kiểm định H₀: p₁ = p₂ dùng tỷ lệ gộp p̂ = (X₁ + X₂)/(n₁ + n₂) và Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)). Ở đây p̂₁ = 420/500 = 0.84, p̂₂ = 300/400 = 0.75, p̂ = 720/900 = 0.8; mẫu số = √(0.8·0.2·(0.002 + 0.0025)) = √0.00072 ≈ 0.026833, nên Z₀ = 0.09/0.026833 ≈ 3.35. Dùng tỷ lệ gộp vì dưới H₀ hai tỷ lệ bằng nhau. "1.68" sai vì chỉ bằng một nửa 3.35, kiểu nhân đôi mẫu số. "2.98" sai vì không ra từ công thức gộp, cũng không khớp với bản không gộp √(p̂₁(1 − p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 − p̂₂)/n₂), vốn cho khoảng 3.31. "3.02" sai vì cũng không khớp với cả hai cách tính sai số chuẩn. "None of the other choices is correct" sai vì 3.35 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "1.19". Bảng cho nam: trung bình mẫu 64.5 năm, cỡ mẫu 35, độ lệch chuẩn tổng thể 3.0; nữ: 63.6 năm, cỡ mẫu 39, độ lệch chuẩn tổng thể 3.5. Vì đã biết σ nên dùng kiểm định Z cho hiệu hai trung bình: Z₀ = (x̄₁ − x̄₂)/√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) = (64.5 − 63.6)/√(9/35 + 12.25/39) = 0.9/√(0.2571 + 0.3141) = 0.9/0.7558 = 1.19. Phương án "−2.23" có dấu âm, trái với x̄₁ = 64.5 > x̄₂ = 63.6 khi Population 1 là nam. Phương án "−1.78" cũng âm nên bị loại vì cùng lý do, và độ lớn không khớp. Phương án "2.07" dương nhưng quá lớn, nó đòi mẫu số 0.435 thay vì 0.7558. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 1.19 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "two-sample independent t-test". Hai mẫu xe của hai hãng được lấy độc lập, cỡ mẫu nhỏ (n₁ = 5, n₂ = 8), hai tổng thể chuẩn, phương sai chưa biết nhưng giả thiết bằng nhau, và câu hỏi so sánh hai trung bình. Đó đúng là điều kiện của kiểm định t hai mẫu độc lập với phương sai gộp (pooled t-test): t₀ = (x̄₁ − x̄₂)/(s_p·√(1/n₁ + 1/n₂)) với n₁ + n₂ − 2 = 11 bậc tự do. Phương án "two-sample z-test" chỉ dùng khi biết phương sai tổng thể hoặc cỡ mẫu đủ lớn, ở đây chỉ có độ lệch chuẩn mẫu 7.4 và 8.4 trên cỡ mẫu nhỏ. Phương án "two-sample proportion z-test" dành cho so sánh hai tỷ lệ, trong khi dữ liệu là số dặm trên gallon, biến định lượng. Vì đã có kiểm định phù hợp nên "none of the above" không được chọn.

Đáp án đúng: "(−0.043, 0.063)". Khoảng tin cậy cho hiệu hai tỉ lệ: (p̂₁ − p̂₂) ± z(α/2)·√(p̂₁(1 − p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 − p̂₂)/n₂). Ở đây p̂₁ = 10/200 = 0.05, p̂₂ = 8/200 = 0.04, hiệu bằng 0.01. Sai số chuẩn √(0.05·0.95/200 + 0.04·0.96/200) = √(0.0002375 + 0.000192) = 0.02072. Khoảng hai phía 99% dùng z₀.₀₀₅ = 2.58: biên sai 2.58·0.02072 = 0.0535, nên khoảng là 0.01 ± 0.0535 = (−0.0435, 0.0635) ≈ (−0.043, 0.063). Khoảng chứa 0 nên chưa đủ bằng chứng hai máy khác nhau về tỉ lệ lỗi. "(−0.038, 0.058)" dùng z₀.₀₁ = 2.33, tức khoảng 98% hai phía chứ không phải 99%. "(−0.038, 0.063)" ghép cận dưới của khoảng 98% với cận trên của khoảng 99%, không đối xứng quanh 0.01. "(−0.043, 0.058)" cũng ghép lệch như vậy, theo chiều ngược lại. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng đã có.

Đáp án đúng: "(−3.684, −2.116)". Đã biết phương sai hai tổng thể nên dùng khoảng z: (x̄₁ − x̄₂) ± z(α/2)·√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Ở đây x̄₁ − x̄₂ = 89.6 − 92.5 = −2.9, sai số chuẩn √(1.5/15 + 1.2/20) = √(0.1 + 0.06) = 0.4; với độ tin cậy 95% dùng z₀.₀₂₅ = 1.96 nên bán kính 1.96·0.4 = 0.784, khoảng là (−3.684, −2.116). Khoảng nằm hoàn toàn bên âm, cho thấy công thức 2 có chỉ số octane cao hơn. "(−3.556, −2.244)" dùng z₀.₀₅ = 1.64, bán kính 0.656, là khoảng 90% chứ không phải 95%. "(−4.002, −2.778)" có tâm −3.39, lệch khỏi hiệu x̄₁ − x̄₂ = −2.9. "(−2.897, −1.995)" có tâm −2.446, cũng không đối xứng quanh −2.9 nên không thể là khoảng của hiệu này. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "293.5". Khi giả định hai phương sai tổng thể bằng nhau, phương sai gộp (pooled variance) là s_p² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2), tức trung bình có trọng số theo bậc tự do. Thay số: s₁² = 18.75² = 351.5625, s₂² = 14.25² = 203.0625, nên s_p² = (14·351.5625 + 9·203.0625)/23 = (4921.875 + 1827.5625)/23 = 6749.4375/23 ≈ 293.45, làm tròn 293.5. "277.8" sai vì không khớp công thức gộp; ngay cả trung bình cộng không trọng số (351.5625 + 203.0625)/2 ≈ 277.3 cũng không bằng 277.8. "296.2" sai vì không khớp công thức gộp với n₁ + n₂ − 2 = 23 ở mẫu số. "280.6" sai vì cũng không ra từ trọng số 14 và 9, và nhỏ hơn kết quả đúng.

Đáp án đúng: "−0.102". Kiểm định H₀: p₁ = p₂ dùng tỉ lệ gộp p̂ = (x₁ + x₂)/(n₁ + n₂) và Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)). Với hộ có chó: p̂₁ = 13/111 ≈ 0.1171; hộ không có chó: p̂₂ = 23/190 ≈ 0.1211; p̂ = 36/301 ≈ 0.1196. Mẫu số √(0.1196·0.8804·(1/111 + 1/190)) ≈ 0.0388, tử số ≈ −0.0039, nên Z₀ ≈ −0.102; giá trị rất gần 0 cho thấy hai tỉ lệ gần như bằng nhau. "0.000" coi hai tỉ lệ bằng hệt nhau, nhưng 13/111 và 23/190 vẫn lệch nhau một chút. "−0.041" và "−0.173" không ra từ phép thay số đúng: tử số −0.0039 chia cho sai số chuẩn 0.0388 chỉ cho −0.102, và ngay cả khi không gộp tỉ lệ thì kết quả vẫn quanh −0.10. Vì −0.102 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.894". Hai tổng thể chuẩn với độ lệch chuẩn đã biết nên khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂ là (x̄₁ − x̄₂) ± z₀.₀₂₅·√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Sai số chuẩn bằng √(0.576²/20 + 0.776²/17) = √(0.01659 + 0.03542) ≈ 0.2281, biên sai số là 1.96·0.2281 ≈ 0.447, và độ rộng khoảng bằng hai lần biên: 2·0.447 ≈ 0.894. Giá trị "0.789" chỉ đạt được khi dùng sai số chuẩn khoảng 0.201, nhỏ hơn giá trị đúng 0.2281, và không khớp công thức với số liệu đã cho; ngay cả dùng phương sai gộp hai nhóm thì độ rộng cũng là khoảng 0.873. Giá trị "0.687" nhỏ hơn cả độ rộng 90% là 2·1.65·0.2281 ≈ 0.753, nên không thể là độ rộng 95%. Giá trị "0.978" lớn hơn kết quả đúng, ứng với sai số chuẩn khoảng 0.249, không khớp số liệu.

Đáp án đúng: "4.27". Hai tổng thể chuẩn có cùng phương sai nên dùng kiểm định t gộp (pooled t): sp² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2) = (24·2.25 + 29·3.61)/53 = (54 + 104.69)/53 = 2.994, sp = 1.730. Thống kê t₀ = (x̄₁ − x̄₂)/(sp·√(1/n₁ + 1/n₂)) = (20 − 18)/(1.730·√(1/25 + 1/30)) = 2/(1.730·0.2708) = 2/0.4686 = 4.27, với 53 bậc tự do. "−4.27" đúng độ lớn nhưng sai dấu, vì x̄₁ = 20 lớn hơn x̄₂ = 18 nên hiệu dương. "1.63" quá nhỏ, như thể chia hiệu 2 cho một sai số chuẩn khoảng 1.23 thay vì 0.4686; ngay cả quên nhân sp với √(1/n₁ + 1/n₂) cũng chỉ cho 2/1.730 = 1.156, nên con số này không khớp công thức. "−1.63" vừa sai độ lớn vừa sai dấu. "None of the other choices is correct" sai vì 4.27 có mặt. Giá trị lớn như 4.27 cho thấy hai trung bình khác nhau rõ rệt.

Đáp án đúng: "1.87". Kiểm định hai tỉ lệ với H₀ : p₁ = p₂ dùng tỉ lệ gộp. Ở đây p̂₁ = 480/600 = 0.80, p̂₂ = 300/400 = 0.75, tỉ lệ gộp p̂ = (480 + 300)/(600 + 400) = 0.78. Thống kê Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)) = 0.05/√(0.78·0.22·(1/600 + 1/400)) = 0.05/0.02674 ≈ 1.87. Dấu dương vì Maricopa (mẫu thứ nhất) có tỉ lệ ủng hộ cao hơn Pima. Giá trị "−1.87" có cùng độ lớn nhưng ứng với việc lấy p̂₂ − p̂₁, đảo thứ tự hai mẫu so với cách đặt. Giá trị "1.64" là giá trị tới hạn z(0.05) của kiểm định một phía, dùng để so sánh chứ không phải thống kê tính từ dữ liệu. Giá trị "−1.64" là giá trị tới hạn phía trái, cũng không phải thống kê kiểm định.

Đáp án đúng: "0.877". Hai tổng thể chuẩn với độ lệch chuẩn σ₁ = 0.576, σ₂ = 0.776 đã biết, nên kiểm định H₀: μ₁ = μ₂ dùng Z₀ = (x̄₁ − x̄₂)/√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Thay số: σ₁²/n₁ = 0.331776/20 = 0.016589, σ₂²/n₂ = 0.602176/17 = 0.035422, tổng 0.052011, căn bằng 0.22806; Z₀ = (3.4 − 3.2)/0.22806 ≈ 0.877. Mức α = 0.05 chỉ dùng để so sánh sau đó (|Z₀| < 1.96 nên không bác H₀), không ảnh hưởng giá trị thống kê. "0.787" sai vì là hoán vị chữ số của kết quả; ghép nhầm n₁ với σ₂ cũng chỉ ra khoảng 0.898. "0.677" sai vì cần mẫu số khoảng 0.295, lớn hơn mức sai số chuẩn tính được. "0.978" sai vì cần mẫu số khoảng 0.204, nhỏ hơn mức tính được.

Đáp án đúng: "4.752". Khi hai tổng thể chuẩn có cùng phương sai, phương sai gộp (pooled variance) là trung bình có trọng số theo bậc tự do: Sp² = ((n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²)/(n₁ + n₂ − 2). Thay số: (n₁ − 1)s₁² = 14·1.8² = 14·3.24 = 45.36; (n₂ − 1)s₂² = 21·2.4² = 21·5.76 = 120.96; tổng 166.32 chia cho 15 + 22 − 2 = 35 được Sp² = 4.752. "4.738" là (15·3.24 + 22·5.76)/37, dùng nhầm trọng số n thay vì n − 1 và mẫu số n₁ + n₂. "4.495" là 166.32/37, tử số đúng nhưng chia cho n₁ + n₂ = 37 thay vì n₁ + n₂ − 2 = 35. "2.160" là (14·1.8 + 21·2.4)/35 = 75.6/35, tức gộp hai độ lệch chuẩn thay vì hai phương sai; nó nhỏ hơn cả s₁² = 3.24 nên không thể là phương sai gộp. Vì 4.752 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.