Câu hỏi: MAS291 - Chương 8: Khoảng thống kê cho một mẫu

Đáp án đúng: "(17.5, 21.7)". Đã biết độ lệch chuẩn tổng thể σ = 5.8 nên khoảng tin cậy cho μ dùng z: x̄ ± z(α/2)·σ/√n. Độ tin cậy 98% cho α = 0.02, α/2 = 0.01, nên dùng z₀.₀₁ = 2.33. Sai số biên = 2.33·5.8/√42 ≈ 2.33·0.895 ≈ 2.085, khoảng là 19.6 ± 2.085 = (17.515, 21.685) ≈ (17.5, 21.7). "(18.3, 20.9)" có bán kính chỉ 1.3, quá hẹp so với sai số biên đúng; ngay cả dùng nhầm z₀.₀₂ = 2.05 cũng cho bán kính 1.83. "(19.1, 20.4)" còn hẹp hơn và không đối xứng quanh x̄ = 19.6, nên không thể là khoảng dạng x̄ ± sai số. "(14.1, 23.2)" quá rộng và cũng lệch tâm. Dùng t(0.01, 41) = 2.42 là không cần vì σ đã biết, và cũng chỉ cho khoảng (17.4, 21.8). "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "(505.88; 528.52)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết nên khoảng tin cậy cho μ là x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n; với độ tin cậy 99% thì α/2 = 0.005 và dùng t(0.005; 19) = 2.861. Tính s/√n = 17.7/√20 = 17.7/4.4721 ≈ 3.9578, sai số = 2.861·3.9578 ≈ 11.32, nên khoảng là 517.2 ± 11.32 = (505.88; 528.52). "(507; 527)" sai vì ứng với việc dùng nhầm t(0.01; 19) = 2.539 (sai số ≈ 10.05, cho khoảng gần 507.15 tới 527.25), tức là khoảng tin cậy 98% chứ không phải 99%. "(512; 525)" sai vì tâm của nó là 518.5, không đối xứng quanh x̄ = 517.2, nên không thể có dạng x̄ ± sai số, và độ rộng cũng quá hẹp. "None of the others" sai vì khoảng đúng có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "1842". Cỡ mẫu để ước lượng tỉ lệ với sai số E là n = (z(α/2)/E)²·p(1 − p). Chủ cửa hàng chưa từng ước lượng tỉ lệ hàng lỗi thời, nên không có giá trị p sơ bộ; ta dùng p = 0.5 vì p(1 − p) lớn nhất bằng 0.25, cho cỡ mẫu an toàn. Độ tin cậy 99% là khoảng hai phía nên dùng z₀.₀₀₅ = 2.575, E = 0.03: n = (2.575/0.03)²·0.25 ≈ 1841.8, làm tròn lên 1842. Tổng thể 100000 món rất lớn so với mẫu nên không cần hiệu chỉnh tổng thể hữu hạn. "1503" là kết quả khi dùng nhầm z₀.₀₁ = 2.326, giá trị dành cho khoảng một phía 99%. "3684" gấp đôi 1842, ứng với dùng p(1 − p) = 0.5 thay vì 0.25. "7368" gấp bốn, ứng với lấy E = 0.015 hoặc bỏ thừa số 0.25. Vì 1842 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "16". Khi σ đã biết, nửa độ dài khoảng tin cậy 95% cho μ là E = z₀.₀₂₅·σ/√n. Muốn E = 50 thì n = (z₀.₀₂₅·σ/E)² = (1.960·100/50)² = 3.92² = 15.3664, và cỡ mẫu luôn làm tròn lên số nguyên kế tiếp để bảo đảm sai số không vượt 50, nên n = 16. Giá trị "11" là (1.645·100/50)² ≈ 10.82 làm tròn lên, tức dùng z₀.₀₅ của khoảng tin cậy 90% thay cho 95%. Giá trị "62" là (1.960·100/25)² ≈ 61.47, xảy ra khi hiểu 50 là cả độ dài khoảng rồi chia đôi thành 25, trong khi câu hỏi cho 50 chính là nửa độ dài. Giá trị "44" là (1.645·100/25)² ≈ 43.3, mắc cả hai lỗi trên cùng lúc.

Đáp án đúng: "(3.41, 5.99)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 10 nhỏ nên dùng khoảng tin cậy t: x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n với 95% thì α/2 = 0.025 và bậc tự do 9, lấy t(0.025, 9) = 2.26 theo dòng gợi ý. Sai số biên: 2.26·1.8/√10 = 2.26·0.5692 = 1.286, nên khoảng là 4.7 ± 1.286 = (3.414, 5.986) ≈ (3.41, 5.99). "(4.81, 6.31)" có tâm 5.56, không phải x̄ = 4.7, nên không thể là khoảng quanh trung bình mẫu. "(1.35, 2.85)" có tâm 2.1, lệch hẳn khỏi 4.7, và trung bình mẫu nằm ngoài khoảng. "(2.11, 5.34)" có tâm 3.725 và không đối xứng quanh 4.7. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng đã có. Nếu dùng nhầm z₀.₀₂₅ = 1.96 sẽ được (3.58, 5.82), hẹp hơn và không có trong danh sách; t được dùng vì s thay cho σ chưa biết.

Đáp án đúng: "1037". Ước lượng tỉ lệ khi chưa có thông tin về p thì dùng p = 0.5 để p(1 − p) lớn nhất, cỡ mẫu n = z(α/2)²·p(1 − p)/E² với z₀.₀₀₅ = 2.575 (độ tin cậy 99%) và sai số E = 0.04: n = 2.575²·0.25/0.0016 = 6.6306·0.25/0.0016 ≈ 1036.04, và cỡ mẫu luôn làm tròn lên số nguyên kế tiếp nên n = 1037. Giá trị "849" ứng với z ≈ 2.33, tức độ tin cậy khoảng 98%, không phải 99%. Giá trị "2073" gần gấp đôi kết quả đúng, như khi dùng 0.5 thay cho p(1 − p) = 0.25. Giá trị "17" quá nhỏ: với 17 người, sai số tối đa 2.575·√(0.25/17) ≈ 0.31, tức 31% chứ không phải 4%. Vì 1037 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "(2910, 3330)". Độ lệch chuẩn tổng thể σ = 677 đã biết nên khoảng tin cậy 95% cho μ là x̄ ± z(α/2)·σ/√n với z₀.₀₂₅ = 1.96. Tính σ/√n = 677/√40 = 677/6.3246 ≈ 107.04, sai số = 1.96·107.04 ≈ 209.8, nên khoảng là 3120 ± 209.8 = (2910.2, 3329.8) ≈ (2910, 3330). Nếu dùng nhầm t(0.025, 39) = 2.023 sẽ ra khoảng (2903, 3337), không trùng lựa chọn nào. "(3110, 4210)" sai vì tâm là 3660, không đối xứng quanh x̄ = 3120, nên không thể có dạng x̄ ± sai số. "(4812, 5342)" sai vì nằm hẳn trên 3120, không chứa trung bình mẫu. "(1987, 2346)" sai vì nằm hẳn dưới 3120, cũng không chứa trung bình mẫu. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "(2.51, 3.21)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết, n = 15 nhỏ, nên khoảng tin cậy cho μ dùng phân phối t: x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n. Với 90%, α/2 = 0.05, bậc tự do 14, t(0.05, 14) = 1.76; sai số chuẩn s/√n = 0.78/√15 ≈ 0.2014; nửa độ rộng 1.76·0.2014 ≈ 0.354; khoảng là 2.86 ± 0.354 = (2.51, 3.21). Dùng z₀.₀₅ = 1.645 là sai vì σ không biết và mẫu nhỏ. "(2.28, 3.66)" không đối xứng quanh 2.86 (2.86 − 2.28 = 0.58 còn 3.66 − 2.86 = 0.80), nên không thể là khoảng x̄ ± E. "(2.37, 3.56)" và "(2.41, 3.42)" cũng không có tâm 2.86 và nửa độ rộng lớn hơn nhiều so với 0.354. Vì khoảng đúng có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "1041". Ước lượng một tỉ lệ khi chưa có p̂ sơ bộ thì dùng p = 0.5, trường hợp cho p(1 − p) lớn nhất nên bảo đảm sai số với mọi tỉ lệ thật. Độ tin cậy 99% hai phía cho α/2 = 0.005 nên dùng z₀.₀₀₅ = 2.58, và n = (z(α/2)/E)²·p(1 − p) = (2.58/0.04)²·0.25 = 4160.25·0.25 = 1040.06. Cỡ mẫu phải là số nguyên và luôn làm tròn lên để sai số không vượt 0.04, nên n = 1041. "1040" làm tròn xuống, khi đó sai số tối đa nhích quá 0.04 một chút nên không đạt yêu cầu. "849" dùng z₀.₀₁ = 2.33, ứng với độ tin cậy 98% hai phía: (2.33/0.04)²·0.25 = 848.27, làm tròn lên ra 849. "848" vừa dùng nhầm z₀.₀₁ vừa làm tròn xuống. Đã có 1041 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "We are 97% confident that the average total compensation of all CEOs in the Service industry falls in the interval 2181260 to 5836180.". Khoảng tin cậy ước lượng một tham số của tổng thể, ở đây là trung bình μ thu nhập của mọi CEO ngành dịch vụ; 97% là độ tin cậy của phương pháp, nghĩa là nếu lặp lại việc lấy mẫu 18 CEO nhiều lần thì khoảng 97% số khoảng dựng được sẽ chứa μ. "the mean of the sampled CEOs falls in the interval" sai vì trung bình mẫu x̄ đã biết chắc và luôn nằm đúng tâm khoảng, không cần độ tin cậy nào. "97% of them will have total compensations that fall in the interval" sai vì đó là phát biểu về từng cá nhân trong tổng thể, tức một khoảng dung sai, còn khoảng tin cậy chỉ nói về trung bình. "97% of the sampled total compensation values fell between" sai vì nó mô tả tỉ lệ quan sát trong mẫu, trong khi khoảng cho trung bình thường hẹp hơn nhiều so với độ trải của từng giá trị.

Đáp án đúng: "(77.30; 85.70)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 25 nên dùng khoảng tin cậy t: x̄ ± t(0.025, 24)·s/√n. Sai số biên E = 2.06·10.2/√25 = 2.06·2.04 = 4.2024, nên khoảng là 81.5 − 4.2024 = 77.2976 tới 81.5 + 4.2024 = 85.7024, làm tròn (77.30; 85.70). Một khoảng tin cậy cho μ luôn nhận x̄ = 81.5 làm tâm. Khoảng "(56.12, 78.34)" có tâm 67.23 và không chứa 81.5. Khoảng "(87.12, 98.32)" nằm hẳn bên phải x̄, tâm 92.72. Khoảng "(66.35, 69.89)" vừa lệch tâm vừa quá hẹp, rộng chỉ 3.54 so với độ rộng đúng 8.40. Vì có khoảng đúng nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "(71.6%, 86.5%)". Khoảng tin cậy cho tỉ lệ dùng p̂ ± z(α/2)·√(p̂(1−p̂)/n). Ở đây p̂ = 64/81 ≈ 0.7901, sai số chuẩn √(0.7901·0.2099/81) ≈ 0.04525; mức 90% dùng z₀.₀₅ = 1.645 nên biên sai số 1.645·0.04525 ≈ 0.0744. Khoảng là 0.7901 ± 0.0744 = (0.7157, 0.8646), tức khoảng (71.6%, 86.5%). Khoảng "(70.1%, 87.9%)" là kết quả khi dùng 1.96, tức khoảng 95%, rộng hơn mức tin cậy được hỏi. Khoảng "(67.4%, 90.7%)" còn rộng hơn, ứng với hệ số khoảng 2.576 của mức 99%. Khoảng "(73.0%, 85.0%)" quá hẹp, biên sai số chỉ khoảng 6 điểm phần trăm, nhỏ hơn 1.645 lần sai số chuẩn tính được. Có khoảng đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "(189.5, 194.5)". Độ lệch chuẩn tổng thể σ = 8 đã biết và tổng thể chuẩn, nên khoảng tin cậy cho μ dùng z: x̄ ± z(α/2)·σ/√n. Với 95%, z₀.₀₂₅ = 1.96; σ/√n = 8/√40 ≈ 1.265; nửa độ rộng 1.96·1.265 ≈ 2.48; khoảng là 192 ± 2.48 = (189.5, 194.5). Không dùng t vì σ đã biết; nếu dùng nhầm t(0.025, 39) = 2.02 thì ra khoảng (189.4, 194.6), cũng không có trong danh sách. "(188.5, 195.6)" có nửa độ rộng khoảng 3.5, lớn hơn 2.48 và không đối xứng chuẩn quanh 192. "(186.5, 197.5)" có nửa độ rộng 5.5, hơn gấp đôi 2.48, nên không khớp sai số chuẩn 8/√40 với hệ số tin cậy 95%. "(187.3, 196.1)" lệch tâm (192 − 187.3 = 4.7 còn 196.1 − 192 = 4.1), nên không thể là x̄ ± E. Vì khoảng đúng có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "2.797". Khi độ lệch chuẩn tổng thể σ chưa biết, chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s = 0.05 và cỡ mẫu nhỏ n = 25, khoảng tin cậy cho μ dùng phân phối t với n − 1 = 24 bậc tự do: x̄ ± t(α/2; n − 1)·s/√n. Độ tin cậy 99% hai phía cho α/2 = 0.005, nên điểm phần trăm (percentage point) là t(0.005, 24) = 2.797. "2.576" là z₀.₀₀₅, chỉ dùng khi σ đã biết (hoặc mẫu đủ lớn để xấp xỉ chuẩn). "2.326" là z₀.₀₁, ứng với khoảng một phía 99% khi σ đã biết. "2.492" là t(0.01, 24), đúng bậc tự do nhưng ứng với khoảng tin cậy một phía 99% hoặc hai phía 98%. Đã có giá trị đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "1101". Cỡ mẫu để ước lượng tỉ lệ với sai số không quá E ở độ tin cậy 1 − α là n = z²(α/2)·p̂(1 − p̂)/E², dùng p̂ = 0.24 từ nghiên cứu trước. Với 98% thì α/2 = 0.01, z₀.₀₁ = 2.33, E = 0.03: n = 2.33²·0.24·0.76/0.03² = 5.4289·0.1824/0.0009 = 1100.26, làm tròn lên 1101 vì cỡ mẫu phải đủ đảm bảo sai số. Phương án "779" là kết quả khi dùng z = 1.96 của độ tin cậy 95% (778.6 làm tròn lên). Phương án "1448" không khớp công thức với số liệu đã cho. Phương án "3" là con số vô lý vì với độ tin cậy 98% và sai số 0.03 cỡ mẫu phải hơn một nghìn; coi nhầm sai số 3% là 3 thì công thức chỉ cho 5.4289·0.1824/9 ≈ 0.11, cũng không ra 3. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 1101 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "A population parameter is used to estimate a confidence interval.". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. Tham số tổng thể là đại lượng chưa biết; chính khoảng tin cậy được xây dựng từ thống kê mẫu (như x̄ ± sai số biên) để ước lượng tham số đó, nên nói dùng tham số để ước lượng khoảng tin cậy là đảo ngược quan hệ, đây là phát biểu sai cần chọn. Phát biểu "Other things being equal, as the confidence level for a confidence interval increases, the width of the interval increases." là đúng: độ tin cậy cao hơn đòi giá trị tới hạn z hay t lớn hơn, nên sai số biên và độ rộng tăng. Phát biểu "A point estimate consists of a single sample statistic that is used to estimate the true population parameter." cũng đúng: ước lượng điểm là một con số duy nhất tính từ mẫu, như x̄ ước lượng μ hay p̂ ước lượng p. Vì hai phát biểu này đúng nên không được chọn.

Đáp án đúng: "(513.17, 860.33)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 15 nhỏ nên dùng khoảng t: x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n. Mức 98% nên α/2 = 0.01, dùng t(0.01, 14) = 2.624; s/√n = 256.20/√15 ≈ 66.15, biên sai số 2.624·66.15 ≈ 173.58. Khoảng là 686.75 ± 173.58 = (513.17, 860.33). Mọi khoảng tin cậy loại này phải có tâm đúng bằng x̄ = 686.75. Khoảng "(238.23, 326.41)" có tâm khoảng 282.3, không chứa cả trung bình mẫu. Khoảng "(487.31, 563.80)" có tâm khoảng 525.6 và quá hẹp, nằm trọn dưới 686.75. Khoảng "(326.21, 437.90)" có tâm khoảng 382.1, cũng không chứa x̄. Đã có khoảng đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "601". Chưa có ước lượng trước của p nên dùng giá trị bảo thủ p = 0.5, làm p(1 − p) = 0.25 lớn nhất. Cỡ mẫu n = (z(α/2)/E)²·p(1 − p) với độ tin cậy 95% dùng z₀.₀₂₅ = 1.96 và sai số cho phép E = 0.04: n = (1.96/0.04)²·0.25 = 600.25, làm tròn lên thành 601 để sai số không vượt 4%. "420" dùng z₀.₀₅ = 1.64 (ứng với độ tin cậy 90%): (1.64/0.04)²·0.25 = 420.25, lại còn làm tròn xuống. "105" trùng với kết quả dùng 1.64 cùng sai số 0.08, gấp đôi mức cho phép: (1.64/0.08)²·0.25 ≈ 105.06. "747" đòi p(1 − p) ≈ 0.311, vượt trần 0.25 nên không thể ra từ công thức này. "None of the other choices is correct" sai vì 601 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "(74.40, 74.66)". Đường kính chuẩn với σ = 0.25 đã biết nên khoảng tin cậy hai phía 95% cho μ là x̄ ± z₀.₀₂₅·σ/√n. Thay số: σ/√n = 0.25/√15 = 0.25/3.873 = 0.06455, biên sai số 1.960·0.06455 = 0.1265, nên khoảng là 74.53 ± 0.1265 = (74.4035, 74.6565) ≈ (74.40, 74.66). "(74.42, 74.64)" có biên sai số khoảng 0.11, ứng với z₀.₀₅ = 1.645 (1.645·0.06455 = 0.106), tức khoảng tin cậy 90% chứ không phải 95%. "(74.44, 74.62)" có biên chỉ 0.09, tương ứng hệ số khoảng 1.39, độ tin cậy thấp hơn nhiều so với yêu cầu. "(74.38,74.68)" có biên 0.15, ứng với hệ số khoảng 2.32, quá rộng cho mức 95% (gần mức 98%). Vì σ đã biết nên không cần dùng phân phối t dù n = 15 nhỏ.

Đáp án đúng: "(1.55, 3.53)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 10 nhỏ nên dùng khoảng t: x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n. Với 98% thì α/2 = 0.01, dùng t(0.01, 9) = 2.82: nửa độ rộng = 2.82·1.11/√10 = 0.99, nên khoảng là 2.54 ± 0.99 = (1.55, 3.53). Dùng z₀.₀₁ = 2.33 sẽ ra (1.72, 3.36), hẹp hơn mức cần vì bỏ qua sai số khi ước lượng σ. Phương án "(0.67, 1.81)" không chứa x̄ = 2.54, trong khi khoảng tin cậy cho μ luôn có tâm tại x̄. Phương án "(3.11, 4.35)" cũng không chứa x̄. Phương án "(2.12, 3.14)" có tâm 2.63, lệch khỏi 2.54, và nửa độ rộng 0.51 quá hẹp. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng đã có sẵn.