Câu hỏi: MAS291 - Chương 7: Phân phối mẫu và ước lượng điểm tham số

Đáp án đúng: "Normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.03g". Phân phối mẫu (sampling distribution) của trung bình mẫu x̄ có kỳ vọng μ = 6.35 g và sai số chuẩn (standard error) σ/√n = 0.5/√280 = 0.0299 ≈ 0.03 g. Vì khối lượng từng đồng xu đã phân phối chuẩn, x̄ là tổ hợp tuyến tính của các biến chuẩn độc lập nên x̄ có phân phối chuẩn đúng, không cần viện tới định lý giới hạn trung tâm. "Approximately normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.03g" có đúng cả hai con số, nhưng chữ "xấp xỉ chuẩn" chỉ cần khi tổng thể không chuẩn và ta phải dựa vào cỡ mẫu lớn theo định lý giới hạn trung tâm; ở đây tổng thể đã chuẩn nên mô tả chính xác là chuẩn đúng, không phải xấp xỉ. "Normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.002g" lấy σ/n = 0.5/280 = 0.0018 ≈ 0.002 g, tức chia cho n thay vì √n. "Approximately normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.002g" mắc cùng lỗi chia cho n và thêm chữ xấp xỉ không cần thiết. "None of the other choices is correct" sai vì mô tả đúng đã có.

Đáp án đúng: "a normal with mean 0 and standard deviation 5/6.". Thời gian lắp ráp có phân phối chuẩn với μ = 15, σ² = 4, nên trung bình mẫu X̄ của 16 công nhân ca ngày có phân phối chuẩn với kỳ vọng 15, phương sai 4/16 = 0.25, còn Ȳ của 9 công nhân ca đêm có kỳ vọng 15, phương sai 4/9. Hai mẫu độc lập nên X̄ − Ȳ chuẩn với kỳ vọng 15 − 15 = 0 và phương sai 0.25 + 4/9 = 25/36, độ lệch chuẩn √(25/36) = 5/6. Phương án "a standard normal." sai vì độ lệch chuẩn là 5/6 chứ không bằng 1. Phương án "a normal with mean 0 and standard deviation 25/72." chia đôi phương sai rồi gọi đó là độ lệch chuẩn, sai cả hai bước. Phương án "a normal with mean 15 and variance 5/6." sai kỳ vọng (hiệu hai trung bình cùng 15 phải bằng 0) và lẫn độ lệch chuẩn với phương sai. Vì có kết quả khớp nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.0228". Trung bình mẫu X̄ của tổng thể chuẩn có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ = 3.2 và sai số chuẩn (standard error) σ/√n = 0.8/√64 = 0.8/8 = 0.1. Do đó Z = (3.4 − 3.2)/0.1 = 2 và P(X̄ ≥ 3.4) = 1 − P(Z < 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228. Giá trị "0.0001" bằng 1 − 0.9999, tức đuôi phải tại z = 3.72, ứng với một mốc chuẩn hoá khác hẳn mốc z = 2 tính được ở đây. Giá trị "0.0013" là xác suất đuôi phải của phân phối chuẩn tắc tại z = 3, cũng không phải z của bài. Giá trị "0.4987" là diện tích giữa 0 và 3, vừa sai mốc vừa là xác suất phần giữa chứ không phải phần "this large or larger". Lỗi hay gặp là quên chia σ cho √n, coi Z = (3.4 − 3.2)/0.8 = 0.25, khi đó xác suất sẽ rất lớn chứ không nhỏ như thật. Vì đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "(i)". Phân phối mẫu (sampling distribution) của trung bình mẫu X̄ từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n luôn có kỳ vọng E(X̄) = μ, nên (i) đúng với mọi tổng thể có trung bình hữu hạn. Độ lệch chuẩn của X̄ là σ/√n (sai số chuẩn), không phải σ, nên (ii) sai trừ trường hợp tầm thường n = 1. Về hình dạng, X̄ chuẩn đúng khi tổng thể chuẩn, còn khi tổng thể không chuẩn thì chỉ xấp xỉ chuẩn khi n đủ lớn theo định lý giới hạn trung tâm; với n nhỏ từ tổng thể lệch mạnh thì không xấp xỉ chuẩn, nên chữ "always" làm (iii) sai. Do đó "(ii)" sai vì nhầm σ với σ/√n, "(iii)" sai vì bỏ điều kiện cỡ mẫu, và "All of them are true." sai vì chỉ có (i) đúng.

Đáp án đúng: "0.0170". Hai tổng thể đều chuẩn nên hiệu hai trung bình mẫu x̄_A − x̄_B có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ_A − μ_B = 3.5 − 3.3 = 0.2 và độ lệch chuẩn √(0.4²/25 + 0.3²/36) = √(0.0064 + 0.0025) = √0.0089 = 0.0943. Biến cố trung bình mẫu công ty thứ nhất hơn công ty thứ hai ít nhất 0.4 năm là x̄_A − x̄_B ≥ 0.4; chuẩn hoá z = (0.4 − 0.2)/0.0943 = 2.12, nên xác suất cần tìm là P(Z ≥ 2.12) = 1 − 0.9830 = 0.0170. "0.9830" là P(Z < 2.12), xác suất hiệu nhỏ hơn 0.4 năm, phần bù của biến cố hỏi. "0" ứng với P(Z < −4), chỉ xuất hiện khi chuẩn hoá sai, và phân phối chuẩn luôn gán xác suất dương cho khoảng [0.4, ∞). "1" là xác suất của biến cố chắc chắn, không thể đúng vì ngưỡng 0.4 nằm trên kỳ vọng 0.2 tới hơn hai độ lệch chuẩn. Đã tính được 0.0170 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.04". Tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu X̄ có phân phối chuẩn với trung bình μ = 1 và độ lệch chuẩn σ/√n = 0.1/√12 = 0.0289. Chuẩn hoá: Z = (0.95 − 1)/0.0289 = −1.73, nên P(X̄ < 0.95) = P(Z < −1.73) = 0.04. Phương án "0.96" là P(Z > −1.73), tức xác suất trung bình mẫu lớn hơn 0.95, ngược chiều câu hỏi. Phương án "0.36" là P(Z < −0.34), ứng với một giá trị z khác, không phải z = −1.73 tính từ sai số chuẩn của trung bình mẫu. Phương án "0.64" là 1 − 0.36, cũng dựa trên z = −0.34 sai đó và lại lấy phần bù. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.04 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "It has a normal distribution with the same mean as the population but with a smaller standard deviation.". Theo định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), khi cỡ mẫu n lớn, phân phối mẫu của trung bình X̄ xấp xỉ chuẩn bất kể hình dạng của tổng thể, có kỳ vọng bằng μ của tổng thể và độ lệch chuẩn σ/√n, nhỏ hơn σ. Phát biểu "It has the same shape and mean as the population, but has a smaller standard deviation." sai ở chỗ hình dạng: X̄ không giữ hình dạng lệch hay đa đỉnh của tổng thể mà tiến về dạng chuẩn. Phát biểu "It has a normal distribution with the same mean and standard deviation as the population." sai vì độ lệch chuẩn của X̄ là σ/√n chứ không phải σ. Phát biểu "It has the same shape, mean, and standard deviation as the population." sai cả về hình dạng lẫn độ phân tán; chỉ có kỳ vọng là giữ nguyên.

Đáp án đúng: "normal with mean 0 and standard deviation 1.6155". Hai tổng thể chuẩn độc lập nên X̄ ~ N(μ, 36/16) và Ȳ ~ N(μ, 9/25), hiệu của hai biến chuẩn độc lập vẫn chuẩn với E(X̄ − Ȳ) = μ − μ = 0 và V(X̄ − Ȳ) = σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂ = 2.25 + 0.36 = 2.61. Độ lệch chuẩn là √2.61 ≈ 1.6155. Lựa chọn "normal with mean 0 and standard deviation 2.61" lấy nhầm phương sai làm độ lệch chuẩn, quên khai căn. Lựa chọn "standard normal." đòi độ lệch chuẩn bằng 1, trong khi ở đây nó bằng 1.6155; chỉ sau khi chia cho 1.6155 thì X̄ − Ȳ mới thành chuẩn tắc. Đã có mô tả đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.0314". X̄ và Ȳ là trung bình của 12 lốp mỗi hãng, lấy độc lập từ cùng N(μ, 3300²), nên X̄ − Ȳ chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai 3300²/12 + 3300²/12, độ lệch chuẩn 3300·√(2/12) ≈ 1347.2. Do đó P(X̄ − Ȳ < −2500) = P(Z < −2500/1347.2) = P(Z < −1.86) = 0.0314. "0.0686" là P(Z < −1.49); dùng z = −1.49 nghĩa là độ lệch chuẩn của hiệu khoảng 1678, không khớp 3300·√(2/12). "0.6860" là P(Z < 0.48), lớn hơn một nửa, mâu thuẫn với biến cố đuôi trái X̄ − Ȳ < −2500 khi kỳ vọng của hiệu bằng 0. "0.3140" bằng 1 − 0.686 = P(Z < −0.48), ứng với z không có cơ sở trong phép chuẩn hoá này. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0314 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.45". Độ lệch chuẩn của trung bình mẫu (standard error) là σ_x̄ = σ/√n; đề cho phương sai σ² = 20 nên σ = √20 = 4.4721, và σ_x̄ = 4.4721/√100 = 4.4721/10 = 0.447 ≈ 0.45. Kỳ vọng μ = 16 chỉ cho biết tâm của phân phối x̄ (E(x̄) = 16), không ảnh hưởng tới độ lệch chuẩn. "0.2" là σ²/n = 20/100, tức phương sai của x̄, quên lấy căn. "0.16" là 16/100, dùng nhầm μ thay cho σ. "0.02" là 20/1000, tức σ²/n đem chia thêm √n = 10 một lần nữa. Đã có 0.45 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Với n = 100, theo định lý giới hạn trung tâm x̄ xấp xỉ chuẩn N(16; 0.2) dù tổng thể có thể không chuẩn.

Đáp án đúng: "0.4562". Hai mẫu độc lập lấy từ tổng thể chuẩn nên X̄₁ − X̄₂ có phân phối chuẩn với trung bình μ₁ − μ₂ = 75 − 70 = 5 và phương sai σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂ = 64/16 + 144/9 = 4 + 16 = 20, độ lệch chuẩn √20 = 4.472. Chuẩn hoá: Z = (5.5 − 5)/4.472 = 0.11, nên P(X̄₁ − X̄₂ > 5.5) = 1 − P(Z < 0.11) = 1 − 0.5438 = 0.4562. Phương án "0.5438" là P(X̄₁ − X̄₂ < 5.5), quên lấy phần bù cho dấu >. Phương án "0.6438" không ứng với bước tính nào. Phương án "1" sai vì 5.5 lớn hơn trung bình 5 nên xác suất vượt 5.5 phải nhỏ hơn 0.5. Phương án "None of the others" sai vì 0.4562 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.0228". Trung bình của 100 điểm có kỳ vọng μ = 79 và sai số chuẩn σ/√n = 5/√100 = 0.5; với n = 100 lớn, theo định lý giới hạn trung tâm x̄ xấp xỉ chuẩn. Chuẩn hoá: Z = (80 − 79)/0.5 = 2, nên P(x̄ > 80) = 1 − P(Z < 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228. Giá trị "0.4772" là 0.9772 − 0.5, tức P(0 < Z < 2), xác suất x̄ nằm giữa 79 và 80 chứ không phải vượt 80. Giá trị "0.3707" và "0.1293" không khớp với Z = 2; lưu ý nếu quên chia cho √n thì Z = (80 − 79)/5 = 0.2 và xác suất vượt 80 là 1 − 0.5793 = 0.4207, đó là xác suất cho một người chơi riêng lẻ chứ không phải cho trung bình của 100 người, và cũng không trùng với hai giá trị này. Vì 0.0228 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "normal with mean 40 and variance 5/16.". Lấy mẫu từ tổng thể chuẩn thì trung bình mẫu X̄ có phân phối chuẩn đúng (không cần định lý giới hạn trung tâm), với E(X̄) = μ = 40 và V(X̄) = σ²/n = 5/16. Lựa chọn "normal with mean 40 and standard deviation 5/16." gán 5/16 cho độ lệch chuẩn, trong khi độ lệch chuẩn đúng là √(5/16) = √5/4 ≈ 0.559. Lựa chọn "normal with mean 40 and variance 5/4" chia phương sai cho √n = 4 thay vì cho n = 16; chính độ lệch chuẩn mới chia cho √n. Lựa chọn "standard normal." đòi trung bình 0 và phương sai 1, chỉ đúng sau khi chuẩn hoá (X̄ − 40)/√(5/16). Có mô tả đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.8767". Trung bình mẫu X̄ của 16 xe lấy từ tổng thể chuẩn nên X̄ chuẩn với kỳ vọng 45 và độ lệch chuẩn σ/√n = 10/4 = 2.5. Chuẩn hoá: z₁ = (39 − 45)/2.5 = −2.4 và z₂ = (48 − 45)/2.5 = 1.2, nên P(39 < X̄ < 48) = P(Z < 1.2) − P(Z < −2.4) = 0.8849 − 0.0082 = 0.8767. "0.3376" nhỏ hơn nhiều so với giá trị đúng và không khớp cách tính nào: ngay cả khi quên chia cho √n (dùng σ = 10, z là −0.6 và 0.3) thì xác suất là 0.6179 − 0.2743 ≈ 0.3436, không phải 0.3376. "0.8151" thấp hơn giá trị đúng, như thể trừ đi một đuôi trái khoảng 0.07 thay vì 0.0082, tức cận 39 bị chuẩn hoá sai. "0.4572" còn nhỏ hơn riêng phần P(−2.4 < Z < 0) = 0.5 − 0.0082 = 0.4918, nên chắc chắn đã bỏ sót cả nửa bên phải. "None of the other choices is correct" sai vì 0.8767 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.6730". Tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu x̄ cũng chuẩn với μ = 15 và σ_x̄ = σ/√n = 6/√4 = 3. Chuẩn hoá: z₁ = (12.6 − 15)/3 = −0.8 và z₂ = (18.6 − 15)/3 = 1.2, nên P(12.6 < x̄ < 18.6) = P(Z < 1.2) − P(Z < −0.8) = 0.8849 − 0.2119 = 0.6730. "0.3270" sai vì đó là 1 − 0.6730, xác suất trung bình rơi ra ngoài khoảng. "0.0968" sai vì đó là 0.2119 − 0.1151, tức P(−1.2 < Z < −0.8), lấy nhầm cặp giá trị z cùng nằm bên trái. "0.4032" sai vì không ra từ hiệu đúng cặp Φ(1.2) và Φ(−0.8); nếu quên chia σ cho √n thì z chỉ là −0.4 và 0.6, cũng không cho 0.4032. "None of the other choices is correct" sai vì 0.6730 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "Normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.07(degree F)". Khi tổng thể có phân phối chuẩn, trung bình mẫu X̄ có phân phối chuẩn đúng (không chỉ xấp xỉ) với mọi cỡ mẫu, kỳ vọng bằng μ = 98 và độ lệch chuẩn σ/√n = 0.5/√50 = 0.0707 ≈ 0.07. Phương án "Normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.01(degree F)" sai vì 0.01 là 0.5/50, chia cho n thay vì √n. Phương án "Approximately normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.07(degree F)" có số liệu đúng nhưng chữ xấp xỉ chỉ cần khi tổng thể không chuẩn và phải dựa vào định lý giới hạn trung tâm. Phương án "Approximately normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.01(degree F)" sai cả hai chỗ. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì mô tả đúng đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.0228". Tổng thể chuẩn nên x̄ phân phối chuẩn với trung bình 3.2 và sai số chuẩn σ/√n = 0.8/√64 = 0.1. Chuẩn hoá Z = (3.4 − 3.2)/0.1 = 2, nên P(x̄ ≥ 3.4) = 1 − P(Z < 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228, cũng bằng P(Z < −2). Giá trị "0.9772" là P(Z < 2), xác suất trung bình mẫu nhỏ hơn 3.4, sai chiều. Giá trị "0.4013" là 1 − 0.5987, ra khi quên chia σ cho √n và tính Z = 0.2/0.8 = 0.25; đó là xác suất một con cá riêng lẻ nặng hơn 3.4 pound chứ không phải trung bình của 64 con. Giá trị "0.5987" là P(Z < 0.25), mắc cả lỗi quên √n lẫn sai chiều. Vì 0.0228 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.9938". Tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu x̄ có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ = 124 và sai số chuẩn σ/√n = 6.4/√64 = 6.4/8 = 0.8. Chuẩn hoá: Z = (126 − 124)/0.8 = 2.5, nên P(x̄ < 126) = P(Z < 2.5) = 0.9938, đúng giá trị dòng gợi ý cho. Trung bình của 64 người dao động ít hơn hẳn từng cá nhân, nên vượt 126 là chuyện rất hiếm. "0.0062" là 1 − 0.9938 = P(x̄ > 126), đuôi ngược với câu hỏi. "0.9762" không ứng với z = 2.5; nó gần P(Z < 2) = 0.9772 trong dòng gợi ý nhưng ngay cả z = 2 cũng không phải giá trị tính được với sai số chuẩn 0.8. "0.0238" là 1 − 0.9762, vừa sai z vừa lấy nhầm đuôi trên. "None of the other choices is correct" sai vì 0.9938 có mặt. Nếu quên chia cho √n, z chỉ là 2/6.4 = 0.31 và kết quả khoảng 0.62, xác suất của một người chứ không phải trung bình mẫu.

Đáp án đúng: "0.28". Ước lượng điểm (point estimate) của tỉ lệ tổng thể p là tỉ lệ mẫu p̂ = x/n, trong đó x là số phần tử có đặc tính quan tâm: p̂ = 14/50 = 0.28. Đây là ước lượng không chệch vì E(p̂) = p, và nó cũng là tâm của khoảng tin cậy p̂ ± z(α/2)·√(p̂(1 − p̂)/n) nếu muốn ước lượng khoảng. "0.72" bằng 1 − p̂ = 36/50, là tỉ lệ người không cao quá 6 feet, ngược đặc tính. "0.50" là giá trị bảo thủ p = 0.5 dùng khi tính cỡ mẫu lúc chưa có dữ liệu, không phải ước lượng từ mẫu đã có. "0.88" bằng 44/50, không khớp số đếm 14. "None of the other choices is correct" sai vì 0.28 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.0021". Chiều cao tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu x̄ của 36 người chuẩn với μ = 69.8 và σ_x̄ = σ/√n = 2.1/6 = 0.35. Chuẩn hoá: Z = (70.8 − 69.8)/0.35 ≈ 2.86, nên P(x̄ > 70.8) = 1 − P(Z < 2.86) = 1 − 0.9979 = 0.0021. Xác suất rất nhỏ vì trung bình của 36 người dao động ít hơn hẳn một người riêng lẻ. "0.9979" sai vì đó là P(x̄ < 70.8), lấy nhầm đuôi trái. "0.6844" sai vì ứng với z = 1/2.1 ≈ 0.48, tức quên chia σ cho √36 và còn lấy đuôi trái. "0.3155" sai vì gần 1 − 0.6844, là xác suất một người riêng lẻ cao hơn 70.8 chứ không phải trung bình của 36 người. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0021 có trong các lựa chọn.