Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 1

Đáp án đúng: "0.0498". Thời gian chờ X có phân phối mũ (exponential) với trung bình 20 phút, nên tham số λ = 1/20 mỗi phút và P(X > x) = e^(−λx). Một giờ là 60 phút: P(X > 60) = e^(−60/20) = e^(−3) ≈ 0.0498. "0.9502" là 1 − e^(−3) = P(X ≤ 60), xác suất chờ KHÔNG quá một giờ, ngược với điều câu hỏi cần. "0.0183" là e^(−4), ứng với chờ quá 80 phút hoặc dùng nhầm λ, không khớp với 60/20 = 3. "0.9817" là 1 − e^(−4), vừa dùng sai số mũ vừa lấy phần bù. Lưu ý phân phối mũ có tính không nhớ, nhưng ở đây chỉ cần hàm sống sót e^(−λx) với x = 60.

Đáp án đúng: "(i)". Với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất tại một điểm luôn bằng 0 vì P(X = a) là tích phân của f(x) từ a đến a, một khoảng có độ dài 0. Mật độ f(x) = e⁻ˣ với x > 0 là phân phối mũ với λ = 1, chỉ cho xác suất dương trên các khoảng, nên P(X = 2010) = 0, đúng như mục (i). "(ii)" sai vì xác suất bằng 1 nghĩa là X chắc chắn nhận đúng giá trị 2010, trái với việc X trải liên tục trên cả nửa trục (0, ∞). "(iii)" sai vì 1/e⁻²⁰¹⁰ = e²⁰¹⁰ là một số khổng lồ, vượt xa 1 nên không thể là xác suất; cũng đừng nhầm với giá trị mật độ f(2010) = e⁻²⁰¹⁰, đó là chiều cao đường mật độ tại điểm 2010 chứ không phải xác suất. Mục (i) đúng nên "None of the others" không được chọn. Hệ quả hay dùng: với biến liên tục, P(X ≤ a) = P(X < a), dấu bằng ở cận không làm đổi xác suất.

Đáp án đúng: "0.6". Với biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối tích luỹ F, ta có P(a < X < b) = F(b) − F(a), và xác suất tại một điểm bằng 0 nên dùng dấu < hay ≤ đều cho cùng kết quả. Vì 0 ≤ 3 < 5 nên F(3) = 0.2·3 = 0.6; vì −1 < 0 nên F(−1) = 0. Do đó P(−1 < X < 3) = 0.6 − 0 = 0.6. Phương án "0.8" sai vì nó thế x = −1 vào công thức 0.2x ngoài miền áp dụng của nhánh đó: 0.2·3 − 0.2·(−1) = 0.8. Phương án "0" chỉ là F(−1), hoặc là kết luận nhầm rằng khoảng chứa giá trị âm thì xác suất bằng 0, trong khi phần (0, 3) vẫn mang xác suất. Phương án "1.0" là F(5), toàn bộ xác suất của miền 0 ≤ x < 5, lớn hơn phần khoảng từ 0 tới 3.

Đáp án đúng: "0.8". Với biến ngẫu nhiên liên tục, kỳ vọng (mean) là E(X) = ∫x·f(x)dx trên miền xác định. Ở đây E(X) = ∫ từ 0 đến 1 của x·4x³ dx = ∫ từ 0 đến 1 của 4x⁴ dx = 4/5 = 0.8. Kết quả lệch về phía 1 là hợp lý vì hàm mật độ 4x³ tăng nhanh, dồn khối lượng xác suất về gần đầu phải của khoảng. Giá trị "0.5" là trung điểm của khoảng (0, 1), chỉ đúng khi X phân phối đều; với mật độ 4x³ thì không đối xứng nên kỳ vọng không nằm ở giữa. Giá trị "1" là ∫f(x)dx, tức tổng xác suất bằng 1, đó là điều kiện để f là hàm mật độ chứ không phải kỳ vọng. Giá trị "0.05" quá nhỏ, không phù hợp với một mật độ tập trung về phía x gần 1.

Đáp án đúng: "0.25". Phân phối đều liên tục (continuous uniform) trên [40, 80] có hàm mật độ hằng f(x) = 1/(80 − 40) = 1/40 trên khoảng đó, nên xác suất bằng tỉ lệ độ dài đoạn: P(X < 50) = (50 − 40)/(80 − 40) = 10/40 = 0.25. Nói cách khác, đoạn từ 40 tới 50 chiếm một phần tư toàn khoảng. "1" là xác suất của toàn bộ khoảng [40, 80], chỉ đúng cho P(X < 80), không phải cho P(X < 50). "0.08" quá nhỏ: muốn xác suất bằng 0.08 thì đoạn chỉ dài 0.08·40 = 3.2 đơn vị, tức P(X < 43.2), trong khi đoạn cần tính dài 10. "0.31" lại quá lớn: nó ứng với đoạn dài 0.31·40 = 12.4, tức P(X < 52.4). "None of the other choices is correct" sai vì 0.25 có mặt và đúng bằng 10/40. Để tự kiểm, trung bình của phân phối là (40 + 80)/2 = 60 nên P(X < 60) = 0.5, và 50 nằm giữa 40 với 60 nên kết quả phải đúng một nửa của 0.5.

Đáp án đúng: "0.2295". Chuẩn hoá bằng Z = (X − μ)/σ với μ = 30, σ = 5: cận dưới z = (24 − 30)/5 = −1.2, cận trên z = (28 − 30)/5 = −0.4. Khi đó P(24 < X < 28) = P(−1.2 < Z < −0.4) = P(Z < −0.4) − P(Z < −1.2) = 0.3446 − 0.1151 = 0.2295, đúng các giá trị được cho. Giá trị "0.4295" vượt quá P(Z < −0.4) = 0.3446, trong khi biến cố 24 < X < 28 nằm trọn trong biến cố X < 28 nên xác suất không thể lớn hơn 0.3446. Giá trị "0.6295" còn lớn hơn 0.5, tức hơn nửa phân phối, dù cả khoảng nằm bên trái kỳ vọng 30. Giá trị "0.3295" lệch đúng 0.1 so với hiệu 0.3446 − 0.1151 = 0.2295, không khớp phép trừ hai giá trị gợi ý. Vì 0.2295 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.5000". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (15.2 − 15.2)/0.9 = 0, nên P(X > 15.2) = P(Z > 0) = 1 − P(Z < 0) = 1 − 0.5000 = 0.5000. Điều này cũng thấy ngay từ tính đối xứng: phân phối chuẩn đối xứng quanh trung bình, nên đúng một nửa xác suất nằm phía trên μ. Giá trị "0.0003" là P(Z < −2.9), xác suất của đuôi trái rất xa, không liên quan tới mốc 15.2 vốn nằm ngay ở tâm. Giá trị "0.9998" là P(Z < 3.2), xác suất dưới một mốc cách tâm hơn ba độ lệch chuẩn, cũng không phải mốc cần dùng. Giá trị "1.0000" là P(Z < 4), gần như chắc chắn, hoàn toàn không khớp với một biến cố chỉ chiếm nửa phân phối. Dòng gợi ý đã cho sẵn P(Z < 0) = 0.5000 nên có đáp số trực tiếp, vì vậy "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.9479". Số xe đến trong một giờ là Poisson với λ = 16, nên trung bình và phương sai đều bằng 16, độ lệch chuẩn σ = 4. Xấp xỉ chuẩn có hiệu chỉnh liên tục: P(X ≥ 10) = P(X > 9.5) ≈ P(Z > (9.5 − 16)/4) = P(Z > −1.625) = 1 − 0.0521 = 0.9479, dùng đúng giá trị P(Z < −1.625) = 0.0521 đề cho. "0.0521" là đuôi trái P(Z < −1.625), tức xác suất có ít hơn 10 xe, ngược chiều với "at least ten". "0.9599" bằng 1 − 0.0401, ứng với cận 9 vì (9 − 16)/4 = −1.75, tức hiệu chỉnh sai hướng: biến cố X ≥ 10 phải mở rộng xuống 9.5 chứ không phải 9. "0.0401" là đuôi trái tại z = −1.75, vừa sai cận vừa sai chiều. "None of the other choices is correct" sai vì 0.9479 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "14". Khoảng biến thiên mẫu (sample range) bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất. Bảng gồm 20 số theo bốn hàng: 5, 7, 2, 9, 4; 9, 7, 10, 4, 7; 5, 6, 4, 0, 7; 6, 3, 4, 14, 6. Giá trị lớn nhất là 14 (ô thứ tư hàng cuối), nhỏ nhất là 0 (ô thứ tư hàng ba), nên range = 14 − 0 = 14. "Approximately 3.08" sai vì đó là độ lệch chuẩn mẫu s ≈ 3.086 (chia n − 1 = 19), đo độ phân tán quanh trung bình chứ không phải hiệu cực trị. "5.95" sai vì đó là trung bình mẫu x̄ = 119/20. "1" sai vì range chỉ bằng 1 khi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hơn kém nhau đúng 1 đơn vị, trong khi dữ liệu trải từ 0 tới 14. "None of the other choices is correct" sai vì 14 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "2 and 2.4". Sắp xếp 15 giá trị tăng dần: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6. Với n = 15 lẻ, trung vị (median) là giá trị thứ (15 + 1)/2 = 8, tức là 2. Trung bình (mean) là tổng chia n: tổng = 36, nên x̄ = 36/15 = 2.4. "0 and 2.4" lấy 0 làm trung vị, có lẽ là giá trị đầu dãy chưa sắp xếp hoặc giá trị nhỏ nhất, không phải giá trị đứng giữa. "2 and 2.6" có trung vị đúng nhưng trung bình 2.6 ứng với tổng 39, cộng sai dữ liệu. "0 and 2.6" sai cả hai số. Vì cặp 2 và 2.4 đã có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "69". Biểu đồ thân–lá (stem-and-leaf) ghép thân với từng lá để ra giá trị: thân 23 với các lá 4, 6, 7, 0 cho 234, 236, 237, 230; thân 24 với các lá 9, 3, 7 cho 249, 243, 247; thân 29 với các lá 1, 9, 2 cho 291, 299, 292. Lá trong bảng không được sắp thứ tự nên phải đọc hết từng dòng: giá trị nhỏ nhất là 230 (lá 0 nằm cuối dòng đầu), lớn nhất là 299. Khoảng biến thiên (range) = max − min = 299 − 230 = 69. "96" là đảo hai chữ số của 69 và vượt quá mọi hiệu có thể có giữa hai giá trị trong bảng (lớn nhất chỉ là 69). "68" lệch một đơn vị, chỉ ra được nếu lấy nhầm min là 231 hoặc max là 298, đều không có trong dữ liệu. "87" cũng lớn hơn hiệu lớn nhất 69 nên không thể là khoảng biến thiên của bộ số này. Đã tính được 69 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "(i)". Bảng cho 50 số liệu xếp thành 5 hàng, 10 cột. Tần số (frequency) của một khoảng là số giá trị rơi vào khoảng đó, tính cả cận dưới và loại cận trên. Khoảng 10 ≤ x < 20 có ba giá trị: 13 ở đầu hàng thứ ba, 12 và 15 ở hàng thứ tư. Khoảng 60 ≤ x < 70 cũng có ba giá trị: 63 ở hàng thứ nhất, 64 ở hàng thứ ba và 60 ở đầu hàng thứ tư; các giá trị 71, 72 không được tính vì cận trên 70 bị loại. Hai khoảng cùng có tần số 3, đúng với phát biểu (i). Phương án "(ii)" sai vì khoảng 10 ≤ x < 20 không có nhiều giá trị hơn, nó cũng chỉ có ba giá trị. Phương án "(iii)" sai vì khoảng 60 ≤ x < 70 không vượt trội, nó chỉ có ba giá trị như khoảng kia; ai đếm ra nhiều hơn thường đã gộp nhầm 71 và 72 vào.

Đáp án đúng: "3". Bảng có 20 số khách lái thử: hàng một 5, 7, 2, 9, 4; hàng hai 9, 7, 10, 4, 7; hàng ba 5, 6, 4, 0, 7; hàng bốn 6, 3, 4, 14, 6. Sắp xếp tăng dần được 0, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6 | 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 9, 10, 14. Khoảng tứ phân vị (interquartile range, IQR) là Q3 − Q1. Nửa dưới gồm 10 số đầu, trung vị của nó là trung bình số thứ 5 và thứ 6, tức (4 + 4)/2 = 4 = Q1; nửa trên gồm 10 số sau, trung vị là (7 + 7)/2 = 7 = Q3. Vậy IQR = 7 − 4 = 3. Giá trị "14" là khoảng biến thiên (range) max − min = 14 − 0, không phải IQR. Giá trị "7" chính là Q3, quên trừ Q1. Giá trị "10" là số lớn thứ hai trong dãy, hay khoảng biến thiên khi bỏ giá trị 14, cũng không đo độ trải của 50% số liệu ở giữa như IQR.

Đáp án đúng: "Normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.03g". Phân phối mẫu (sampling distribution) của trung bình mẫu x̄ có kỳ vọng μ = 6.35 g và sai số chuẩn (standard error) σ/√n = 0.5/√280 = 0.0299 ≈ 0.03 g. Vì khối lượng từng đồng xu đã phân phối chuẩn, x̄ là tổ hợp tuyến tính của các biến chuẩn độc lập nên x̄ có phân phối chuẩn đúng, không cần viện tới định lý giới hạn trung tâm. "Approximately normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.03g" có đúng cả hai con số, nhưng chữ "xấp xỉ chuẩn" chỉ cần khi tổng thể không chuẩn và ta phải dựa vào cỡ mẫu lớn theo định lý giới hạn trung tâm; ở đây tổng thể đã chuẩn nên mô tả chính xác là chuẩn đúng, không phải xấp xỉ. "Normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.002g" lấy σ/n = 0.5/280 = 0.0018 ≈ 0.002 g, tức chia cho n thay vì √n. "Approximately normal with a mean of 6.35g and a standard deviation of 0.002g" mắc cùng lỗi chia cho n và thêm chữ xấp xỉ không cần thiết. "None of the other choices is correct" sai vì mô tả đúng đã có.

Đáp án đúng: "a normal with mean 0 and standard deviation 5/6.". Thời gian lắp ráp có phân phối chuẩn với μ = 15, σ² = 4, nên trung bình mẫu X̄ của 16 công nhân ca ngày có phân phối chuẩn với kỳ vọng 15, phương sai 4/16 = 0.25, còn Ȳ của 9 công nhân ca đêm có kỳ vọng 15, phương sai 4/9. Hai mẫu độc lập nên X̄ − Ȳ chuẩn với kỳ vọng 15 − 15 = 0 và phương sai 0.25 + 4/9 = 25/36, độ lệch chuẩn √(25/36) = 5/6. Phương án "a standard normal." sai vì độ lệch chuẩn là 5/6 chứ không bằng 1. Phương án "a normal with mean 0 and standard deviation 25/72." chia đôi phương sai rồi gọi đó là độ lệch chuẩn, sai cả hai bước. Phương án "a normal with mean 15 and variance 5/6." sai kỳ vọng (hiệu hai trung bình cùng 15 phải bằng 0) và lẫn độ lệch chuẩn với phương sai. Vì có kết quả khớp nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.0228". Trung bình mẫu X̄ của tổng thể chuẩn có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ = 3.2 và sai số chuẩn (standard error) σ/√n = 0.8/√64 = 0.8/8 = 0.1. Do đó Z = (3.4 − 3.2)/0.1 = 2 và P(X̄ ≥ 3.4) = 1 − P(Z < 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228. Giá trị "0.0001" bằng 1 − 0.9999, tức đuôi phải tại z = 3.72, ứng với một mốc chuẩn hoá khác hẳn mốc z = 2 tính được ở đây. Giá trị "0.0013" là xác suất đuôi phải của phân phối chuẩn tắc tại z = 3, cũng không phải z của bài. Giá trị "0.4987" là diện tích giữa 0 và 3, vừa sai mốc vừa là xác suất phần giữa chứ không phải phần "this large or larger". Lỗi hay gặp là quên chia σ cho √n, coi Z = (3.4 − 3.2)/0.8 = 0.25, khi đó xác suất sẽ rất lớn chứ không nhỏ như thật. Vì đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "(17.5, 21.7)". Đã biết độ lệch chuẩn tổng thể σ = 5.8 nên khoảng tin cậy cho μ dùng z: x̄ ± z(α/2)·σ/√n. Độ tin cậy 98% cho α = 0.02, α/2 = 0.01, nên dùng z₀.₀₁ = 2.33. Sai số biên = 2.33·5.8/√42 ≈ 2.33·0.895 ≈ 2.085, khoảng là 19.6 ± 2.085 = (17.515, 21.685) ≈ (17.5, 21.7). "(18.3, 20.9)" có bán kính chỉ 1.3, quá hẹp so với sai số biên đúng; ngay cả dùng nhầm z₀.₀₂ = 2.05 cũng cho bán kính 1.83. "(19.1, 20.4)" còn hẹp hơn và không đối xứng quanh x̄ = 19.6, nên không thể là khoảng dạng x̄ ± sai số. "(14.1, 23.2)" quá rộng và cũng lệch tâm. Dùng t(0.01, 41) = 2.42 là không cần vì σ đã biết, và cũng chỉ cho khoảng (17.4, 21.8). "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "(505.88; 528.52)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết nên khoảng tin cậy cho μ là x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n; với độ tin cậy 99% thì α/2 = 0.005 và dùng t(0.005; 19) = 2.861. Tính s/√n = 17.7/√20 = 17.7/4.4721 ≈ 3.9578, sai số = 2.861·3.9578 ≈ 11.32, nên khoảng là 517.2 ± 11.32 = (505.88; 528.52). "(507; 527)" sai vì ứng với việc dùng nhầm t(0.01; 19) = 2.539 (sai số ≈ 10.05, cho khoảng gần 507.15 tới 527.25), tức là khoảng tin cậy 98% chứ không phải 99%. "(512; 525)" sai vì tâm của nó là 518.5, không đối xứng quanh x̄ = 517.2, nên không thể có dạng x̄ ± sai số, và độ rộng cũng quá hẹp. "None of the others" sai vì khoảng đúng có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "1842". Cỡ mẫu để ước lượng tỉ lệ với sai số E là n = (z(α/2)/E)²·p(1 − p). Chủ cửa hàng chưa từng ước lượng tỉ lệ hàng lỗi thời, nên không có giá trị p sơ bộ; ta dùng p = 0.5 vì p(1 − p) lớn nhất bằng 0.25, cho cỡ mẫu an toàn. Độ tin cậy 99% là khoảng hai phía nên dùng z₀.₀₀₅ = 2.575, E = 0.03: n = (2.575/0.03)²·0.25 ≈ 1841.8, làm tròn lên 1842. Tổng thể 100000 món rất lớn so với mẫu nên không cần hiệu chỉnh tổng thể hữu hạn. "1503" là kết quả khi dùng nhầm z₀.₀₁ = 2.326, giá trị dành cho khoảng một phía 99%. "3684" gấp đôi 1842, ứng với dùng p(1 − p) = 0.5 thay vì 0.25. "7368" gấp bốn, ứng với lấy E = 0.015 hoặc bỏ thừa số 0.25. Vì 1842 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "(iii)". Điều muốn chứng minh, lực kéo trung bình nhỏ hơn 25 newton, phải đặt vào giả thuyết đối H₁, còn giả thuyết không H₀ luôn chứa dấu bằng; vì vậy H₀: μ = 25, H₁: μ < 25, một kiểm định một phía bên trái. Chỉ khi bác bỏ H₀ ta mới có bằng chứng thống kê rằng μ < 25, còn không bác bỏ thì chưa kết luận được gì. "(i)" sai vì đặt dấu bằng vào H₁ và bất đẳng thức vào H₀, ngược quy ước, lại theo hướng lớn hơn 25. "(ii)" có dạng hợp lệ (H₀ chứa dấu bằng) nhưng H₁: μ > 25 là để chứng minh lực lớn hơn 25, trái hướng với yêu cầu "below 25 newtons". "(iv)" đảo vai: đưa điều cần chứng minh μ < 25 vào H₀ và để H₁ là đẳng thức, nên không thể dùng mẫu để xác lập điều cần chứng minh.