Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 1

Đáp án đúng: "The set of microwave ovens produced by the manufacturer.". Tổng thể (population) là toàn bộ tập đối tượng mà ta muốn rút ra kết luận, còn mẫu (sample) là phần nhỏ được đo thực tế để suy luận cho tổng thể. Ở đây nhà sản xuất phải giám sát bức xạ của mọi lò vi sóng do chính mình làm ra, nên tổng thể là toàn bộ lò của nhà sản xuất này. "The subset of 42 microwave ovens whose emission were measured." chính là mẫu chứ không phải tổng thể: 42 chiếc được chọn ra để đo, và từ số đo của chúng người ta suy ra kết luận cho cả dây chuyền. "The set of microwave ovens produced by all manufacturers." mở rộng quá phạm vi: dữ liệu chỉ lấy từ sản phẩm của một hãng nên kết luận chỉ áp dụng cho hãng đó; muốn nói về lò của mọi hãng thì phải chọn mẫu từ tất cả các hãng.

Đáp án đúng: "Observational study". Nghiên cứu quan sát (observational study) là nghiên cứu mà người làm chỉ ghi nhận các biến như chúng vốn xảy ra, không chủ động gán điều kiện cho đối tượng; ở đây nhóm nghiên cứu chọn 6 thành phố có sẵn mức ô nhiễm khác nhau rồi theo dõi sức khoẻ 8000 người trong 20 năm, mức ô nhiễm không do họ quyết định, nên đây là nghiên cứu quan sát theo hướng tiến cứu (theo dõi về phía trước). "An experiment." sai vì thí nghiệm (experiment) đòi hỏi người nghiên cứu chủ động áp đặt mức của nhân tố, chẳng hạn phân ngẫu nhiên đối tượng vào môi trường ô nhiễm hay không, điều không hề xảy ra ở đây. "Retrospective" sai vì nghiên cứu hồi cứu (retrospective) dùng dữ liệu đã ghi nhận trong quá khứ, còn ở đây dữ liệu được thu thập trong 20 năm tiếp theo kể từ lúc chọn đối tượng. "None of them." sai vì đã có một loại nghiên cứu mô tả đúng tình huống này.

Đáp án đúng: "9". Theo quy tắc nhân (multiplication rule), Fred có 3 cách lấy kẹo (lemon drop, cherry drop, lollipop) và Ed cũng có 3 cách, độc lập với Fred vì mỗi người có túi riêng; cặp kẹo được ăn là cặp có thứ tự (kẹo của Fred, kẹo của Ed), nên số cặp là 3·3 = 9, gồm cả các cặp hai người ăn cùng loại. "27" là 3³, chỉ đúng khi có ba lượt chọn độc lập, trong khi ở đây chỉ có hai người mỗi người lấy một viên. "12" không ra từ phép đếm đúng nào: quy tắc nhân cho hai lượt 3 khả năng chỉ có thể là 9. "6" là 3·2, ứng với tình huống hai người lấy hai viên khác nhau từ chung một túi, nhưng ở đây mỗi người có túi riêng nên Ed vẫn còn đủ 3 khả năng. Vì 9 đã có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "{1, 2, 3, 4, 5, 6}". Không gian mẫu (sample space) là tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử, liệt kê đủ và không thừa. Con xúc xắc chuẩn hình lập phương có sáu mặt mang từ 1 đến 6 chấm, mỗi lần gieo có đúng một mặt ngửa lên, nên S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} gồm sáu phần tử đồng khả năng. "{0, 1, 2, 3, 4, 5}" sai vì không có mặt nào mang số 0 và lại thiếu mặt 6 chấm. "{1, 2, 3, 4}" chỉ có bốn kết quả, giống xúc xắc tứ diện chứ không phải hình lập phương, bỏ sót hai mặt 5 và 6. "{1, 2, 3, 4, 6}" bỏ sót mặt 5 chấm nên không đầy đủ. "{1, 2, 3, 4, 5}" thiếu mặt 6 chấm. Một tập thiếu kết quả sẽ làm tổng xác suất các biến cố sơ cấp nhỏ hơn 1, nên chỉ tập sáu phần tử từ 1 đến 6 là không gian mẫu đúng.

Đáp án đúng: "1/4". Hộp có tất cả 7 + 5 + 4 = 16 quả bóng, rút ngẫu nhiên một quả nên mỗi quả có cùng khả năng được rút; theo định nghĩa xác suất cổ điển, P(bóng đen) = số kết cục thuận lợi / số kết cục có thể = 4/16 = 1/4. Phương án "1/3" sai vì nó coi ba màu là ba kết cục đồng khả năng, bỏ qua việc số bóng của mỗi màu khác nhau. Phương án "5/16" là xác suất rút được bóng trắng (5 quả trên 16), không phải bóng đen. Phương án "7/16" là xác suất rút được bóng đỏ (7 quả trên 16). Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị đúng 1/4 đã có sẵn trong các phương án.

Đáp án đúng: "0.63". Gọi M là biến cố sinh viên là nam, J là biến cố có việc làm ngoài trường; câu hỏi cần P(M ∪ J), dùng quy tắc cộng (addition rule) cho hai biến cố không xung khắc: P(M ∪ J) = P(M) + P(J) − P(M ∩ J) = 0.45 + 0.33 − 0.15 = 0.63. Phải trừ 0.15 vì những sinh viên vừa là nam vừa có việc làm đã bị đếm hai lần. Giá trị "0.93" là 0.45 + 0.33 + 0.15, cộng thêm phần giao thay vì trừ đi. Giá trị "0.37" là 1 − 0.63, tức xác suất sinh viên không phải nam và cũng không có việc làm ngoài trường, là phần bù chứ không phải hợp. Giá trị "0.47" không ứng với công thức nào đúng: nó lệch khỏi kết quả 0.45 + 0.33 − 0.15 = 0.63, và cũng không phải xác suất đúng một trong hai biến cố, vốn là 0.63 − 0.15 = 0.48. Vì đã tính ra đúng một con số có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "59.5%". Đây là xác suất có điều kiện P(B|A) = P(A∩B)/P(A), với A là sự kiện đậu bài thứ nhất và B là sự kiện đậu bài thứ hai: P(A∩B) = 0.25, P(A) = 0.42 nên P(B|A) = 0.25/0.42 = 0.5952, tức khoảng 59.5%. Điều kiện "given that he passed the first test" thu hẹp không gian mẫu về nhóm 42% đã đậu bài một, nên phải chia cho 0.42 chứ không chia cho cả lớp. "40.3%" nhỏ hơn hẳn kết quả và không suy ra được từ 0.25 với 0.42 theo công thức có điều kiện. "50.2%" gần như chỉ đoán một nửa, không dựa vào số liệu đã cho. "55.4%" lệch kết quả 0.5952 khoảng bốn điểm phần trăm, quá xa để là sai số làm tròn và không khớp phép chia 0.25/0.42. "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 59.5% có mặt và trùng đúng phép tính. Lưu ý 0.42 − 0.25 = 0.17 lại là tỉ lệ đậu bài một nhưng trượt bài hai, không phải thứ câu hỏi cần.

Đáp án đúng: "0.0557". Đây là bài xác suất toàn phần (law of total probability): gọi M là biến cố chọn được nam, F là chọn được nữ, S là người đó hút xì gà; khi đó P(S) = P(M)·P(S|M) + P(F)·P(S|F) = 0.51·0.09 + 0.49·0.02 = 0.0459 + 0.0098 = 0.0557. Giá trị "0.00298" còn nhỏ hơn cả nhánh nữ P(F∩S) = 0.0098, trong khi P(S) là tổng của hai nhánh dương nên không thể nhỏ hơn từng nhánh. Giá trị "0.00367" nhỏ hơn nhánh nam P(M∩S) = 0.0459 hơn mười lần, nghĩa là đã bỏ mất phần lớn số người hút xì gà là nam. Giá trị "0.00287" chỉ bằng khoảng một phần hai mươi kết quả đúng và không khớp cách tính sai thường gặp nào: đổi nhầm phần trăm thành phần nghìn cho 0.51·0.009 + 0.49·0.002 = 0.00557, còn nhân hai tỉ lệ hút xì gà 0.09·0.02 chỉ ra 0.0018. Vì 0.0557 có mặt trong các lựa chọn nên "None of the other choices is correct." không đúng.

Đáp án đúng: "P(A) = P(B) = 1/2". Hai biến cố độc lập (independent) thì P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.25, còn công thức cộng cho P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) nên P(A) + P(B) = 0.75 + 0.25 = 1. Hai số có tổng 1 và tích 0.25 là nghiệm kép của t² − t + 0.25 = 0, tức t = 1/2, nên P(A) = P(B) = 0.5. Cặp "P(A) = 1/3, P(B) = 3/4" có tích đúng 0.25 nhưng tổng 13/12, cho P(A∪B) = 13/12 − 1/4 = 5/6 ≈ 0.833 chứ không phải 0.75. Cặp "P(A) = 3/5, P(B) = 5/12." cũng có tích 0.25 nhưng tổng 61/60, cho P(A∪B) ≈ 0.767, lệch giả thiết. Cặp "P(A) = 0.8, P(B) = 0.25" có tích chỉ 0.2, nên P(A∩B) ≠ 0.25, vi phạm ngay điều kiện độc lập. Vì đã có cặp nghiệm đúng nên "None of the other choices is correct." không được chọn.

Đáp án đúng: "0.191". Đây là bài toán Bayes với ba cách đi làm. Theo công thức xác suất toàn phần, P(đúng giờ) = 0.5·0.97 + 0.2·0.90 + 0.3·0.93 = 0.485 + 0.18 + 0.279 = 0.944. Khi đó P(đi bộ | đúng giờ) = P(đi bộ ∩ đúng giờ)/P(đúng giờ) = 0.18/0.944 ≈ 0.191. Điều kiện là "on time" nên phải dùng tỉ lệ đúng giờ 0.90, 0.97, 0.93 chứ không dùng thẳng 10%, 3%, 7%. "0.375" là P(đi xe buýt | trễ) = 0.021/0.056, vừa đổi điều kiện sang trễ vừa nhầm cách đi. "0.296" là P(đi xe buýt | đúng giờ) = 0.279/0.944, đúng điều kiện nhưng lấy nhầm tử số của xe buýt thay vì đi bộ. "0.625" bằng 1 − 0.375, tức xác suất không đi xe buýt khi đã trễ, không liên quan gì tới điều kiện đúng giờ.

Đáp án đúng: "Continuous". Biến ngẫu nhiên liên tục (continuous) nhận giá trị trên cả một khoảng số thực và thường sinh ra từ phép đo, còn biến rời rạc (discrete) chỉ nhận hữu hạn hoặc đếm được giá trị và thường sinh ra từ phép đếm. Thời gian giữa hai lần taxi đến là đại lượng đo được, có thể là 2.5 phút, 2.53 phút hay bất kỳ số dương nào trong khoảng (0, ∞), nên X là biến liên tục; trong mô hình chuẩn, thời gian chờ giữa các lần đến thường được mô tả bằng phân phối mũ. "Discrete" sai vì đó là kiểu của đại lượng đếm, chẳng hạn số taxi đến giao lộ trong một giờ (thường mô hình bằng Poisson); việc ghi thời gian làm tròn tới phút chỉ là cách ghi chép, không làm đổi bản chất liên tục của thời gian chờ.

Đáp án đúng: "X can take an infinite number of values {0, 1, 2, 3, ...}.". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. X đếm số lần tung đồng xu cho tới khi ra mặt ngửa đầu tiên, tính cả lần ra ngửa, nên ít nhất phải tung 1 lần; X = 0 là không thể, vì vậy tập giá trị {0, 1, 2, 3, ...} sai. Đây là biến ngẫu nhiên hình học (geometric) với P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p, x = 1, 2, 3, .... Phát biểu "X is a discrete random variable." đúng vì X chỉ nhận giá trị nguyên rời rạc. Phát biểu "X can take an infinite number of values {1, 2, 3, ...}." đúng vì về lý thuyết có thể ra sấp mãi trước khi ra ngửa, nên không có chặn trên. Phát biểu "X has a countable range of values." đúng vì tập {1, 2, 3, ...} vô hạn nhưng đếm được, đúng đặc trưng của biến rời rạc; ba phát biểu này đúng nên không được chọn.

Đáp án đúng: "f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 3/8, f(3) = 1/4, f(4) = 1/16". Mỗi xe bán ra có túi khí với xác suất p = 0.5, độc lập giữa các xe, nên X ~ nhị thức (binomial) với n = 4, p = 0.5 và f(x) = C(4,x)(0.5)ˣ(0.5)⁴⁻ˣ = C(4,x)/16. Thay số C(4,0) = 1, C(4,1) = 4, C(4,2) = 6, C(4,3) = 4, C(4,4) = 1 được 1/16, 4/16 = 1/4, 6/16 = 3/8, 1/4, 1/16; tổng bằng 1 và phân phối đối xứng quanh x = 2 như mọi nhị thức có p = 0.5. "f(0) = 1/16, f(1) = 3/4, f(2) = 1/8, f(3)=1/16, f(4) = 1/16" sai vì f(1) = 3/4 quá lớn, cộng lại được 17/16 vượt 1 nên không phải phân phối xác suất. "f(0) = 1/16, f(1) = 1/2, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/4" tuy tổng bằng 1 nhưng không đối xứng: với p = 0.5 phải có f(4) = f(0) và f(3) = f(1). "f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/2" sai vì xác suất lớn nhất phải rơi vào x = 2 (6 cách chọn trên 16) chứ không phải x = 4 (chỉ 1 cách). Đã có phân phối đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.75". Hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function) của biến ngẫu nhiên rời rạc là F(x) = P(X ≤ x) = Σ f(t) lấy trên mọi t ≤ x. Ở đây f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 0.25, tổng bằng 1 nên đúng là một hàm khối xác suất, và F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 3·0.25 = 0.75. Phương án "0.25" chỉ là f(2) = P(X = 2), tức nhầm hàm khối xác suất với hàm tích luỹ. Phương án "0.50" là F(1) = f(0) + f(1), cũng là P(X < 2): kết quả này quên cộng xác suất tại chính điểm x = 2. Phương án "1" là F(3), tổng của mọi xác suất, chỉ đạt được khi x ≥ 3. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 0.75 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "1.4619". Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc tính theo V(X) = E(X²) − [E(X)]². Trước hết E(X) = Σx·f(x) = 0·0.10 + 1·0.37 + 2·0.16 + 3·0.26 + 4·0.11 = 0.37 + 0.32 + 0.78 + 0.44 = 1.91. Tiếp theo E(X²) = Σx²·f(x) = 0 + 0.37 + 4·0.16 + 9·0.26 + 16·0.11 = 0.37 + 0.64 + 2.34 + 1.76 = 5.11. Vậy V(X) = 5.11 − 1.91² = 5.11 − 3.6481 = 1.4619. Các giá trị "1.5432", "1.5467" và "1.5466" đều lớn hơn kết quả khoảng 0.08, không khớp với E(X²) − [E(X)]² khi tính đủ chữ số, nên không phải phương sai của phân phối này. Giá trị "1.2233" cũng không phải độ lệch chuẩn, vì √1.4619 ≈ 1.2091. Giá trị "0.6578" quá nhỏ, không khớp với bất kỳ bước nào của phép tính E(X²) − [E(X)]² với số liệu đã cho.

Đáp án đúng: "7.5 and 4.61". Với phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên a = 0 tới b = 15, kỳ vọng μ = (a + b)/2 = (0 + 15)/2 = 7.5 và phương sai σ² = ((b − a + 1)² − 1)/12 = (16² − 1)/12 = 255/12 = 21.25, nên σ = √21.25 = 4.61. Kiểm lại bằng định nghĩa σ² = Σ(x − μ)²·f(x) với f(x) = 1/16 cho mỗi giá trị cũng ra 21.25. "7.5 and 5.65" đúng trung bình nhưng 5.65² ≈ 31.9, lớn hơn nhiều so với 21.25. "15 and 3.99" lấy cận trên 15 làm trung bình, trong khi trung bình của phân phối đối xứng phải nằm giữa 0 và 15. "7.5 and 3.76" đúng trung bình nhưng 3.76² ≈ 14.1, quá nhỏ. "None of the other choices is correct" sai vì cặp 7.5 và 4.61 đã có. Lưu ý công thức (b − a)²/12 chỉ dành cho phân phối đều liên tục; ở đây X rời rạc với 16 giá trị nên dùng ((b − a + 1)² − 1)/12.

Đáp án đúng: "0.034". Số người tự nhận là fan bóng đá am hiểu trong 13 người chọn ngẫu nhiên, độc lập, là biến nhị thức (binomial) với n = 13, p = 0.65, nên P(X = 5) = C(13,5)·0.65⁵·0.35⁸ = 1287·0.11603·0.000225 ≈ 0.0336, làm tròn 0.034. Kết quả nhỏ là hợp lý vì kỳ vọng np = 8.45, còn 5 nằm khá xa phía dưới. Giá trị "0.215" chính là P(X = 8) = C(13,8)·0.65⁸·0.35⁵, gần đỉnh phân phối, không phải tại X = 5. Giá trị "0.385" lớn hơn cả xác suất lớn nhất mà một giá trị đơn lẻ của phân phối này có thể đạt, nên không thể là P(X = 5). Giá trị "0.650" chỉ là xác suất p của một người, không phải xác suất đúng năm người trong mười ba. Vì 0.034 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.7". Phân phối hình học (geometric distribution) với X là số lần thử tới lần thành công đầu tiên có hàm xác suất f(x) = (1 − p)^(x−1)·p, x = 1, 2, 3, … Biến cố X > 1 nghĩa là lần thử đầu thất bại, nên P(X > 1) = 1 − P(X = 1) = 1 − 0.3 = 0.7 (tổng quát P(X > k) = (1 − p)^k). Giá trị "0.3" chính là P(X = 1) = p, tức xác suất thành công ngay lần đầu, là phần bù của điều cần tìm. Giá trị "0.4" không ứng với biểu thức nào của mô hình: nó bằng 0.7 − 0.3, một phép trừ không có nghĩa xác suất. Giá trị "0.6" cũng không xuất hiện, vì với p = 0.3 thì xác suất thất bại một lần là 0.7 chứ không phải 0.6. Nếu định nghĩa X là số lần thất bại trước lần thành công đầu thì P(X > 1) = 0.7² = 0.49, cũng không nằm trong danh sách, nên với cách định nghĩa chuẩn của môn học đáp số là 0.7 và "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.1591". Kiểm tra 7 hoá đơn rút không hoàn lại từ 12 hoá đơn (3 có lỗi, 9 không lỗi) nên số hoá đơn lỗi X trong mẫu theo phân phối siêu bội (hypergeometric): P(X = x) = C(3, x)·C(9, 7 − x)/C(12, 7). Tìm đủ cả 3 lỗi nghĩa là X = 3: P(X = 3) = C(3,3)·C(9,4)/C(12,7) = 1·126/792 ≈ 0.1591. "0.1996" lớn hơn giá trị đúng và không ứng với tỉ số tổ hợp nào cho X = 3; ngay cả cách coi nhầm là nhị thức với p = 3/12 cũng chỉ cho khoảng 0.173. "0.8327" quá lớn và không khớp biến cố nào của phân phối này: P(X ≤ 2) = 1 − 0.1591 ≈ 0.8409, P(X ≥ 1) = 1 − 36/792 ≈ 0.9545, trong khi tìm đủ cả 3 lỗi chỉ ứng với 126 trong 792 tổ hợp. "0.0031" quá nhỏ và cũng không bằng xác suất nào của X: giá trị nhỏ nhất là P(X = 0) = 36/792 ≈ 0.0455. "None of the other choices is correct" sai vì 0.1591 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.1798". Số cá voi thấy trong một chuyến có phân phối Poisson với λ = 4.3, nên dùng f(x) = e^(−λ)λˣ/x!. Thay x = 3: e^(−4.3) ≈ 0.013569, 4.3³ = 79.507, 3! = 6, suy ra P(X = 3) = 0.013569·79.507/6 ≈ 0.1798. "0.3596" sai vì đúng bằng gấp đôi 0.1798, tức chỉ chia 4.3³ cho 3 thay vì cho 3! = 6. "0.5394" sai vì là gấp ba 0.1798, tức chỉ chia cho 2 thay vì cho 3! = 6. "0.3057" sai vì không ứng với P(X = 3) và cũng không phải xác suất tích luỹ: P(X ≤ 3) = 0.0136 + 0.0583 + 0.1254 + 0.1798 ≈ 0.3772. "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 0.1798 có trong các lựa chọn.