Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 1

Đáp án đúng: "99". Với kiểm định một phía H₀: μ = 12 đối H₁: μ > 12 khi đã biết σ, cỡ mẫu tối thiểu để đạt lực kiểm định (power) 1 − β tại giá trị thật μ là n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², trong đó δ = μ − μ₀ = 12.5 − 12 = 0.5. Thay z₀.₀₅ = 1.645 và z₀.₂ = 0.84 (vì β = 1 − 0.80 = 0.2): n = ((1.645 + 0.84)·2/0.5)² = (9.94)² = 98.80, rồi làm tròn lên 99 vì cỡ mẫu phải nguyên và phải đủ để power không dưới 0.80. Phương án "100" sai vì chỉ ra được khi làm tròn z thành 1.65 và 0.85, khi đó (2.5·2/0.5)² = 100; với đúng số liệu đã cho thì 99 đã đủ. Phương án "25" sai vì quên nhân σ = 2: (2.485/0.5)² = 24.70 rồi làm tròn lên. Phương án "24" mắc cùng lỗi quên σ lại còn làm tròn xuống, nên power thậm chí không đạt 0.80.

Đáp án đúng: "1.740". Kiểm định một mẫu cho trung bình khi tổng thể chuẩn và phương sai chưa biết dùng thống kê t với n − 1 = 18 − 1 = 17 bậc tự do. Đối thuyết H1: μ > 29 là kiểm định đuôi phải (upper-tailed), nên toàn bộ mức ý nghĩa α = 0.05 đặt ở đuôi phải và giá trị tới hạn là t(0.05, 17) = 1.740; bác H₀ khi t₀ > 1.740. Giá trị "2.110" là điểm tới hạn có diện tích đuôi 0.025, dùng cho kiểm định hai phía ở α = 0.05, nên quá khắt khe với kiểm định một phía. Giá trị "−1.740" là điểm tới hạn của kiểm định đuôi trái H1: μ < 29, nằm sai phía. Giá trị "−2.110" vừa sai phía vừa dùng diện tích đuôi 0.025, không ứng với H1: μ > 29.

Đáp án đúng: "−2.415". Kiểm định tỉ lệ một mẫu dùng Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n), trong đó sai số chuẩn tính theo giá trị giả thuyết p₀ = 0.70 chứ không theo p̂. Thay số: √(0.70·0.30/250) = √0.00084 = 0.02898, nên Z₀ = (0.63 − 0.70)/0.02898 = −2.415. Dấu âm phản ánh p̂ nhỏ hơn p₀, khớp hướng đối thuyết H₁: p < 0.70 của kiểm định một phía bên trái. "2.415" đúng độ lớn nhưng sai dấu, vì hiệu 0.63 − 0.70 là số âm. "1.546" sai cả dấu lẫn độ lớn, không ra từ công thức với n = 250. "−1.546" đúng dấu nhưng độ lớn quá nhỏ, tương ứng sai số chuẩn khoảng 0.045 thay vì 0.029. "None of the other choice is correct" sai vì −2.415 có mặt. Nếu lỡ dùng p̂ trong căn, √(0.63·0.37/250) cho Z₀ ≈ −2.292, cũng không phải cách làm chuẩn của kiểm định tỉ lệ.

Đáp án đúng: "(iii)". Câu hỏi muốn biết doanh số Internet trung bình có vượt doanh số đặt hàng qua thư hay không, nên điều cần chứng minh là μ₁ > μ₂ và phải đặt ở giả thuyết đối H₁, còn giả thuyết không H₀ luôn chứa dấu bằng: H₀ : μ₁ = μ₂; H₁ : μ₁ > μ₂, đây là kiểm định một phía bên phải. Cặp "(i)" có H₁ : μ₁ ≥ μ₂ chứa cả dấu bằng, chồng lên H₀ nên hai giả thuyết không loại trừ nhau. Cặp "(ii)" đặt H₀ là bất đẳng thức chặt μ₁ < μ₂, không có giá trị cụ thể để tính phân phối của thống kê kiểm định, và H₁ lại chứa dấu bằng. Cặp "(iv)" đảo ngược vai trò: điều muốn chứng minh μ₁ > μ₂ lại nằm ở H₀, còn H₁ chứa dấu bằng, trái nguyên tắc đặt giả thuyết.

Đáp án đúng: "44.3". Khi giả sử hai độ lệch chuẩn tổng thể bằng nhau, phương sai gộp (pooled variance) là sp² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2) = (229·7.4² + 184·5.6²)/413 = (229·54.76 + 184·31.36)/413 = (12540.04 + 5770.24)/413 ≈ 44.33, làm tròn 44.3. Phương sai gộp là trung bình có trọng số (số bậc tự do) của 54.76 và 31.36; nhóm Python đông hơn nên kết quả phải nằm phía trên trung bình thường (54.76 + 31.36)/2 = 43.06. Giá trị "35.7" nằm dưới mức 43.06, tức ngầm đặt trọng số lớn hơn cho nhóm PowerShell ít người hơn, ngược chiều công thức. Giá trị "36.9" mắc cùng lỗi trọng số và còn thấp hơn hẳn 41.44 là tích s₁·s₂. Giá trị "32.5" sát 31.36 của riêng nhóm PowerShell, như thể bỏ gần hết thông tin của 230 sinh viên học Python.

Đáp án đúng: "−0.27". Kiểm định H₀: p₁ = p₂ dùng tỉ lệ gộp p̂ = (x₁ + x₂)/(n₁ + n₂) = 218/766 ≈ 0.2846. Hai tỉ lệ mẫu là p̂₁ = 121/431 ≈ 0.2807 và p̂₂ = 97/335 ≈ 0.2896. Thống kê Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)) = −0.0088/√(0.2846·0.7154·(1/431 + 1/335)) ≈ −0.0088/0.0329 ≈ −0.27. "0.21" sai dấu: p̂₁ nhỏ hơn p̂₂ nên Z₀ phải âm, và độ lớn cũng không khớp. "−0.62" đòi sai số chuẩn chỉ khoảng 0.014, nhỏ hơn nhiều so với 0.0329 tính từ tỉ lệ gộp, tức mẫu số bị tính sai. "−0.45" ứng với sai số chuẩn khoảng 0.0196, cũng không khớp công thức gộp. Hiệu hai tỉ lệ chưa tới 0.01 nên Z₀ rất gần 0, không đủ bằng chứng bác H₀. "None of the other choices is correct" sai vì −0.27 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "x". Đường hồi quy bình phương tối thiểu có b = Sxy/Sxx và a = ȳ − b·x̄. Với x: 0, 1, 2, 1 và y: 0, 0, 2, 2 ta có x̄ = 1, ȳ = 1; Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = (−1)(−1) + 0 + (1)(1) + 0 = 2; Sxx = Σ(x − x̄)² = 1 + 0 + 1 + 0 = 2. Vậy b = 2/2 = 1 và a = 1 − 1·1 = 0, phương trình là ŷ = x. "2x − 1" sai vì hệ số góc 2 gấp đôi Sxy/Sxx, dù đường này vẫn đi qua điểm trung bình (1, 1). "0.2x + 0.5" sai vì tại x̄ = 1 cho ŷ = 0.7 ≠ ȳ = 1, trong khi đường hồi quy luôn đi qua (x̄, ȳ). "−x + 2.4" sai vì có hệ số góc âm, ngược với Sxy = 2 > 0, và tại x = 1 cho 1.4. "None of the other choices is correct" sai vì ŷ = x có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "The slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−1". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. Trong hồi quy tuyến tính đơn, β̂₁ = Sxy/Sxx; phương sai sai số được ước lượng bằng σ̂² = SSE/(n − 2) vì đã mất hai bậc tự do cho β̂₀ và β̂₁, nên đại lượng chuẩn hoá T = (β̂₁ − β₁)/se(β̂₁) có phân phối t với n − 2 bậc tự do, không bao giờ là n − 1. Phát biểu "The slope of estimated regression line is an unbiased estimator for the slope of population regression line" đúng vì E(β̂₁) = β₁ dưới giả thiết sai số trung bình bằng 0. Phát biểu "The slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−2" nói hơi gọn: nói chặt thì bản thân β̂₁ có phân phối chuẩn khi sai số chuẩn, còn thống kê chuẩn hoá (β̂₁ − β₁)/se(β̂₁) mới có phân phối t(n − 2); tuy nhiên số bậc tự do n − 2 là đúng, nên đây không phải phát biểu sai cần tìm, còn phát biểu ghi n − 1 thì sai ngay ở bậc tự do.

Đáp án đúng: "1.45". Từ bảng điểm của 5 sinh viên, điểm Toán X = 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và điểm Lý Y = 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Ta có x̄ = 34/5 = 6.8 và Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của hệ số góc là se(β̂₁) = √(σ̂²/Sₓₓ) = 1.43/√13.8 = 1.43/3.7148 = 0.3849, nên T₀ = (β̂₁ − 0)/se(β̂₁) = 0.56/0.3849 = 1.4548 ≈ 1.45, so với phân phối t với n − 2 = 3 bậc tự do. "1.66" chỉ ra được nếu √Sₓₓ ≈ 4.24, tức Sₓₓ ≈ 18, lớn hơn tổng bình phương độ lệch thật 13.8. "1.86" đòi Sₓₓ ≈ 22.6, gần như gấp rưỡi giá trị đúng. "2.06" đòi Sₓₓ ≈ 27.7, gấp đôi giá trị đúng. Lưu ý Sₓₓ chỉ dùng cột X; cột Y chỉ cần cho việc ước lượng β̂₁ và σ̂, đã được cho sẵn.

Đáp án đúng: "−0.755". Hệ số tương quan mẫu là r = Sxy/√(Sxx·Syy), với n = 8: Sxx = Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n = 380 − 52²/8 = 42; Syy = Σyᵢ² − (Σyᵢ)²/n = 7007 − 225²/8 = 678.875; Sxy = Σxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ/n = 1335 − 52·225/8 = −127.5. Vậy r = −127.5/√(42·678.875) = −127.5/168.86 = −0.755: tuần tra càng nhiều thì số vụ phạm tội báo cáo càng có xu hướng giảm. Phương án "0.755" có đúng độ lớn nhưng sai dấu, trong khi Sxy âm buộc r âm. Phương án "0.486" vừa dương vừa không khớp độ lớn của phép tính. Phương án "−0.897" có dấu đúng nhưng độ lớn sai, |r| tính được là 0.755. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì −0.755 đã có sẵn.