Mathematics and Physics grades of 5 students are as below We want to do linear regression analysis on X and Y. Given the standard error of the regression σ̂ = 1.43, the estimated slope β̂₁ = 0.56. Calculate the test statistic for the hypotheses H₀ : β₁ = 0 H₁ : β₁ > 0 Given T₀ = (β̂₁ − β(1,0)) / √(σ̂²/Sₓₓ)

Đáp án đúng: "1.45". Từ bảng điểm của 5 sinh viên, điểm Toán X = 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và điểm Lý Y = 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Ta có x̄ = 34/5 = 6.8 và Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của hệ số góc là se(β̂₁) = √(σ̂²/Sₓₓ) = 1.43/√13.8 = 1.43/3.7148 = 0.3849, nên T₀ = (β̂₁ − 0)/se(β̂₁) = 0.56/0.3849 = 1.4548 ≈ 1.45, so với phân phối t với n − 2 = 3 bậc tự do. "1.66" chỉ ra được nếu √Sₓₓ ≈ 4.24, tức Sₓₓ ≈ 18, lớn hơn tổng bình phương độ lệch thật 13.8. "1.86" đòi Sₓₓ ≈ 22.6, gần như gấp rưỡi giá trị đúng. "2.06" đòi Sₓₓ ≈ 27.7, gấp đôi giá trị đúng. Lưu ý Sₓₓ chỉ dùng cột X; cột Y chỉ cần cho việc ước lượng β̂₁ và σ̂, đã được cho sẵn.