Câu hỏi: MAS291 - Chương 9: Kiểm định giả thuyết cho một mẫu

Đáp án đúng: "(iii)". Điều muốn chứng minh, lực kéo trung bình nhỏ hơn 25 newton, phải đặt vào giả thuyết đối H₁, còn giả thuyết không H₀ luôn chứa dấu bằng; vì vậy H₀: μ = 25, H₁: μ < 25, một kiểm định một phía bên trái. Chỉ khi bác bỏ H₀ ta mới có bằng chứng thống kê rằng μ < 25, còn không bác bỏ thì chưa kết luận được gì. "(i)" sai vì đặt dấu bằng vào H₁ và bất đẳng thức vào H₀, ngược quy ước, lại theo hướng lớn hơn 25. "(ii)" có dạng hợp lệ (H₀ chứa dấu bằng) nhưng H₁: μ > 25 là để chứng minh lực lớn hơn 25, trái hướng với yêu cầu "below 25 newtons". "(iv)" đảo vai: đưa điều cần chứng minh μ < 25 vào H₀ và để H₁ là đẳng thức, nên không thể dùng mẫu để xác lập điều cần chứng minh.

Đáp án đúng: "99". Với kiểm định một phía H₀: μ = 12 đối H₁: μ > 12 khi đã biết σ, cỡ mẫu tối thiểu để đạt lực kiểm định (power) 1 − β tại giá trị thật μ là n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², trong đó δ = μ − μ₀ = 12.5 − 12 = 0.5. Thay z₀.₀₅ = 1.645 và z₀.₂ = 0.84 (vì β = 1 − 0.80 = 0.2): n = ((1.645 + 0.84)·2/0.5)² = (9.94)² = 98.80, rồi làm tròn lên 99 vì cỡ mẫu phải nguyên và phải đủ để power không dưới 0.80. Phương án "100" sai vì chỉ ra được khi làm tròn z thành 1.65 và 0.85, khi đó (2.5·2/0.5)² = 100; với đúng số liệu đã cho thì 99 đã đủ. Phương án "25" sai vì quên nhân σ = 2: (2.485/0.5)² = 24.70 rồi làm tròn lên. Phương án "24" mắc cùng lỗi quên σ lại còn làm tròn xuống, nên power thậm chí không đạt 0.80.

Đáp án đúng: "1.740". Kiểm định một mẫu cho trung bình khi tổng thể chuẩn và phương sai chưa biết dùng thống kê t với n − 1 = 18 − 1 = 17 bậc tự do. Đối thuyết H1: μ > 29 là kiểm định đuôi phải (upper-tailed), nên toàn bộ mức ý nghĩa α = 0.05 đặt ở đuôi phải và giá trị tới hạn là t(0.05, 17) = 1.740; bác H₀ khi t₀ > 1.740. Giá trị "2.110" là điểm tới hạn có diện tích đuôi 0.025, dùng cho kiểm định hai phía ở α = 0.05, nên quá khắt khe với kiểm định một phía. Giá trị "−1.740" là điểm tới hạn của kiểm định đuôi trái H1: μ < 29, nằm sai phía. Giá trị "−2.110" vừa sai phía vừa dùng diện tích đuôi 0.025, không ứng với H1: μ > 29.

Đáp án đúng: "−2.415". Kiểm định tỉ lệ một mẫu dùng Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n), trong đó sai số chuẩn tính theo giá trị giả thuyết p₀ = 0.70 chứ không theo p̂. Thay số: √(0.70·0.30/250) = √0.00084 = 0.02898, nên Z₀ = (0.63 − 0.70)/0.02898 = −2.415. Dấu âm phản ánh p̂ nhỏ hơn p₀, khớp hướng đối thuyết H₁: p < 0.70 của kiểm định một phía bên trái. "2.415" đúng độ lớn nhưng sai dấu, vì hiệu 0.63 − 0.70 là số âm. "1.546" sai cả dấu lẫn độ lớn, không ra từ công thức với n = 250. "−1.546" đúng dấu nhưng độ lớn quá nhỏ, tương ứng sai số chuẩn khoảng 0.045 thay vì 0.029. "None of the other choice is correct" sai vì −2.415 có mặt. Nếu lỡ dùng p̂ trong căn, √(0.63·0.37/250) cho Z₀ ≈ −2.292, cũng không phải cách làm chuẩn của kiểm định tỉ lệ.

Đáp án đúng: "(iii)", tức H₀: μ = 1.6, H₁: μ > 1.6. Lời khẳng định "không vượt quá 1.6 gram" nghĩa là μ ≤ 1.6; muốn kiểm định nó thì giả thuyết đối (alternative hypothesis) H₁ là điều cần có bằng chứng để bác lời khẳng định, tức hàm lượng chất béo trung bình vượt 1.6, còn giả thuyết không H₀ giữ dấu bằng tại mốc biên 1.6. Kiểm định một phía bên phải này chỉ bác H₀ khi x̄ lớn đáng kể. Cặp "(i)" với H₁: μ ≠ 1.6 là kiểm định hai phía, dùng khi chỉ hỏi có khác 1.6 hay không, trong khi lời khẳng định có hướng rõ. Cặp "(ii)" với H₁: μ < 1.6 lại tìm bằng chứng chất béo thấp hơn, tức củng cố chứ không thách thức lời khẳng định. Cặp "(iv)" đặt dấu bất đẳng thức trong H₀ và dấu bằng trong H₁, sai quy ước vì H₀ phải chứa dấu bằng còn H₁ là bất đẳng thức.

Đáp án đúng: "The critical value defines the cutoff point(s) beyond which the null hypothesis is rejected.". Giá trị tới hạn (critical value) của kiểm định z là ranh giới của miền bác bỏ: nếu thống kê Z₀ vượt qua nó thì bác H₀. Nó được chọn sao cho xác suất rơi vào miền bác bỏ khi H₀ đúng bằng mức ý nghĩa α, ví dụ z₀.₀₂₅ = 1.96 cho kiểm định hai phía với α = 0.05. "The critical value is always 0 regardless of the significance level." sai: 0 là tâm của phân phối chuẩn tắc, nếu cắt ở 0 thì sẽ bác H₀ một nửa số lần ngay cả khi H₀ đúng. "The critical value can be determined without knowing the significance level." sai vì giá trị tới hạn chính là phân vị z(α) hay z(α/2), không có α thì không xác định được. "The critical value is the same for one-tailed and two-tailed tests at the same significance level." sai: cùng α = 0.05, kiểm định một phía dùng 1.645, còn hai phía chia α làm đôi nên dùng 1.96.

Đáp án đúng: "(ii)". "Không khác năm ngoái" là H₀: μ = 15.4 với H₁: μ ≠ 15.4 (kiểm định hai phía); σ chưa biết nên dùng t₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (14.6 − 15.4)/(2.5/√35) = −0.8/0.42258 ≈ −1.8931, so với t(0.025, 34) = 2.032. Vì |t₀| = 1.8931 < 2.032 nên chưa đủ bằng chứng bác H₀ ở mức α = 0.05, tức t₀ = −1.8931 và fail to reject H₀. "(i)" sai vì giá trị thống kê đúng nhưng kết luận bác H₀ chỉ hợp lệ khi |t₀| vượt 2.032. "(iii)" sai cả dấu lẫn kết luận: x̄ = 14.6 nhỏ hơn μ₀ = 15.4 nên t₀ phải âm, và 1.8931 cũng chưa vượt ngưỡng. "(iv)" có kết luận đúng nhưng sai dấu của thống kê, vì x̄ − μ₀ = −0.8 < 0.

Đáp án đúng: "(iii)". Giả thuyết đối hai phía (two-sided alternative) là H₁ dạng "khác", tức p ≠ p₀, trong khi giả thuyết không H₀ luôn chứa dấu bằng p = p₀; chỉ (iii) H₀: p = p₀; H₁: p ≠ p₀ thoả cả hai điều này. "(i)" có H₁: p > p₀, là đối thuyết một phía bên phải, chỉ bác H₀ khi thống kê lớn. "(ii)" đặt ngược vai trò: H₀: p ≠ p₀ không chứa dấu bằng nên không thể làm giả thuyết không, vì ta cần một giá trị cụ thể p₀ để tính phân phối của thống kê kiểm định. "(iv)" có H₁: p < p₀ là một phía bên trái, và H₀: p > p₀ cũng không đúng dạng vì thiếu dấu bằng. Vì (iii) có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.09". Sai lầm loại I (type I error) là bác H₀ khi H₀ đúng, nên α = P(x̄ < 4.85) + P(x̄ > 5.15) khi μ = 5. Tổng thể chuẩn nên x̄ có độ lệch chuẩn σ/√n = 0.25/√8 = 0.0884; chuẩn hoá hai cận: z = (5.15 − 5)/0.0884 = 1.697 và z = (4.85 − 5)/0.0884 = −1.697. Vậy α = 2·(1 − P(Z < 1.697)) = 2·(1 − 0.955) = 0.09. Phương án "0.045" chỉ là xác suất ở một đuôi, trong khi miền bác bỏ nằm ở cả hai phía vì H₁: μ ≠ 5. Phương án "0.91" là 1 − α, xác suất x̄ rơi vào miền chấp nhận khi H₀ đúng. Phương án "0.955" là P(Z < 1.697), giá trị đọc bảng chưa được chuyển thành xác suất đuôi.

Đáp án đúng: "(iv)". Đối thuyết H₁: μ ≠ 0.80 là kiểm định hai phía (two-tailed), nên mức ý nghĩa α = 0.05 chia đều hai đuôi, mỗi đuôi 0.025, và với x̄ xấp xỉ chuẩn thì miền bác bỏ là |z₀| > z₀.₀₂₅ = 1.96. Phương án "(i)" là z₀ < −1.645, miền bác bỏ của kiểm định đuôi trái H₁: μ < 0.80 ở α = 0.05, chỉ xét một phía. Phương án "(ii)" là z₀ > 1.96, chỉ có đuôi phải nên bỏ sót trường hợp x̄ nhỏ hơn hẳn 0.80, và mức ý nghĩa thực tế khi đó chỉ còn 0.025. Phương án "(iii)" là |z₀| > 1.645, có đủ hai phía nhưng dùng z₀.₀₅ ở mỗi đuôi nên tổng mức ý nghĩa là 0.10 chứ không phải 0.05. Vì đã có miền bác bỏ đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "−1.874". Đây là kiểm định t một mẫu vì tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 15 nhỏ: H₀: μ = 29 với đối thuyết H₁: μ < 29 (công ty nói tăng ít nhất 29 kWh, kỹ thuật viên nghi thấp hơn). Thống kê t₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (26 − 29)/(6.2/√15) = −3/1.6008 = −1.874, với n − 1 = 14 bậc tự do. "1.874" đúng độ lớn nhưng sai dấu; x̄ = 26 nhỏ hơn μ₀ = 29 nên tử số âm và t₀ phải âm. "1.240" vừa sai dấu vừa sai độ lớn; nó bằng 6.2/5, một phép chia không có trong công thức, chứ không phải chênh lệch chuẩn hoá. "−1.240" đúng dấu nhưng độ lớn cũng chỉ là con số 6.2/5 đó, không phải hiệu −3 chia cho sai số chuẩn 1.6008. Dấu của t₀ quan trọng vì với kiểm định một phía bên trái, ta so t₀ với −t(α; 14); giá trị dương sẽ không bao giờ nằm trong miền bác bỏ.

Đáp án đúng: "0.0594". Đây là kiểm định một tỉ lệ một phía trái: H₀ : p = 0.15, H₁ : p < 0.15. Thống kê kiểm định Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) = (0.1222 − 0.15)/√(0.15·0.85/400) = −0.0278/0.01785 ≈ −1.56. Với đối thuyết phía trái, p-value = P(Z < −1.56) = 1 − P(Z < 1.56) = 1 − 0.9406 = 0.0594. Giá trị "0.1190" là P(Z < −1.18), ứng với một thống kê kiểm định khác, không phải −1.56 tính từ số liệu này. Giá trị "−1.56" là chính thống kê kiểm định Z₀; p-value là xác suất nên không thể âm. Giá trị "0.9406" là P(Z < 1.56), tức diện tích phía phải của −1.56, là p-value của đối thuyết p > 0.15 chứ không phải p < 0.15.

Đáp án đúng: "(ii)". Lời khẳng định "at least 2000 ml" nghĩa là μ ≥ 2000, chứa dấu bằng nên được đặt vào giả thuyết không, viết gọn H₀: μ = 2000; giả thuyết đối là điều cần có bằng chứng để bác lời khẳng định, tức thể tích trung bình thiếu: H₁: μ < 2000 (kiểm định một phía trái). Đó đúng là cặp (ii). "(i)" có H₁: μ > 2000, cùng chiều với lời khẳng định, nên dù bác H₀ cũng không cho thấy chai bị thiếu; cặp này dùng khi lời khẳng định là "nhiều hơn 2000". "(iii)" đặt H₀: μ < 2000 và H₁: μ ≥ 2000, sai vì H₀ phải chứa dấu bằng còn H₁ thì không. "(iv)" có H₀: μ > 2000 không chứa dấu bằng và H₁: μ ≤ 2000 lại chứa dấu bằng, đảo vai trò của hai giả thuyết.

Đáp án đúng: "Fail to reject Ho". Kí hiệu N(μ; 100) cho phương sai σ² = 100 nên σ = 10 đã biết, dùng Z₀ = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (113.5 − 110)/(10/√16) = 3.5/2.5 = 1.4. Kiểm định một phía bên phải với H₁: μ > 110 bác H₀ khi Z₀ > z₀.₀₅ = 1.645; vì 1.4 < 1.645 nên không bác H₀ ở mức 5%, tức chênh lệch 3.5 điểm chưa đủ lớn so với độ biến động của trung bình mẫu. "Reject Ho" sai vì muốn bác H₀ thì x̄ phải vượt 110 + 1.645·2.5 ≈ 114.11; nếu hiểu nhầm 100 là độ lệch chuẩn thì Z₀ chỉ còn 0.14, càng không bác được H₀.

Đáp án đúng: "−2.15". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết, n = 29, nên kiểm định trung bình dùng thống kê t: T₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n), có phân phối t với n − 1 = 28 bậc tự do dưới H₀: μ = 1000. Thay số: s/√n = 30/√29 ≈ 5.571; T₀ = (988 − 1000)/5.571 ≈ −2.15. Dấu âm cho biết trung bình mẫu thấp hơn giá trị nhà sản xuất tuyên bố. "1.96" là giá trị tới hạn z(0.025) của kiểm định hai phía ở mức 0.05, không phải giá trị thống kê tính từ dữ liệu. "3.21" và "−1.32" không ra từ phép thay số: chẳng hạn chia cho s mà quên √n sẽ cho −0.4, không phải các số này. Vì −2.15 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "(i)". Cần kiểm tra tỉ lệ ủng hộ ở nhóm trên 55 tuổi có bằng 70% hay không nên đặt H₀: p = 0.7 và H₁: p ≠ 0.7. Tỉ lệ mẫu p̂ = 684/900 = 0.76, trị thống kê z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) = (0.76 − 0.7)/√(0.7·0.3/900) = 0.06/0.015275 = 3.93. Vì |z₀| = 3.93 > z₀.₀₂₅ = 1.96 (và cũng vượt 1.64 nếu làm một phía) nên bác bỏ H₀: tỉ lệ ủng hộ ở nhóm trên 55 tuổi khác 70%, cụ thể là cao hơn. "(ii)" sai cả trị thống kê 3.03 lẫn kết luận không bác bỏ. "(iii)" có kết luận đúng nhưng z₀ = 8.93 sai, lớn gấp hơn hai lần giá trị thay số đúng. "(iv)" có z₀ = 3.93 đúng nhưng kết luận fail to reject mâu thuẫn, vì 3.93 nằm sâu trong miền bác bỏ, p-value gần như bằng 0.

Đáp án đúng: "a one-tailed test should be utilized.". Câu hỏi chỉ quan tâm thu nhập trung bình có vượt 25,000 đô hay không, nên cặp giả thuyết là H₀: μ ≤ 25,000 và H₁: μ > 25,000. Đối thuyết có hướng (một chiều lớn hơn) thì dùng kiểm định một phía (one-tailed), miền bác bỏ đặt toàn bộ ở đuôi phải. Phương án "a two-tailed test should be utilized." sai vì kiểm định hai phía dành cho đối thuyết μ ≠ 25,000, tức quan tâm sự khác biệt theo cả hai chiều. Phương án "either a one-tailed or two-tailed test could be used with equivalent results." sai vì cùng mức ý nghĩa, hai loại kiểm định có giá trị tới hạn khác nhau (ví dụ 1.645 so với 1.96 khi α = 0.05) nên có thể cho kết luận khác nhau. Vì đã có phát biểu đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "Z-test (using normal distribution) of a population mean". Giả thuyết H₀: μ = 675 là về trung bình doanh thu ngày, nên cần kiểm định trung bình, không phải tỉ lệ. Độ lệch chuẩn tổng thể σ = 75 được cho từ số liệu 5 năm và coi như đã biết, cỡ mẫu n = 46 lớn, nên dùng Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) với phân phối chuẩn; ở đây Z = (625 − 675)/(75/√46) ≈ −4.52. "t-test (using Student distribution) of population mean" dùng khi σ chưa biết và phải thay bằng s của mẫu; câu hỏi đã cho σ nên không cần t. "Z-test (using normal distribution) of a population proportion" sai vì dữ liệu là số tiền liên tục chứ không phải tỉ lệ thành công hay thất bại. "t-test (using Student distribution) of a population proportion" sai cả hai mặt: kiểm định tỉ lệ dùng Z với xấp xỉ chuẩn, không dùng t, và biến ở đây cũng không phải tỉ lệ.

Đáp án đúng: "3.64". Cỡ mẫu n = 100 lớn nên dùng thống kê kiểm định cho trung bình Z₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (60 − 52)/(22/√100) = 8/2.2 ≈ 3.64. Giá trị dương vì trung bình mẫu 60 lớn hơn giá trị giả thuyết 52; đem so với giá trị tới hạn 1.96 của kiểm định hai phía ở α = 0.05 thì |3.64| > 1.96 nên bác bỏ H₀. Giá trị "−3.64" sai dấu, như khi lấy μ₀ − x̄ thay vì x̄ − μ₀. Giá trị "1.96" là giá trị tới hạn z(0.025), dùng để so sánh với thống kê kiểm định chứ không phải chính thống kê kiểm định. Giá trị "−1.96" là giá trị tới hạn phía trái, cũng không tính từ số liệu mẫu. Vì 3.64 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.018". Thống kê kiểm định tỉ lệ là Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1−p₀)/n) với p̂ = 770/1000 = 0.77: Z₀ = (0.77 − 0.8)/√(0.8·0.2/1000) = −0.03/0.012649 ≈ −2.37. Đối thuyết H₁: p ≠ 0.8 là hai phía nên P-value = 2·P(Z > |Z₀|) = 2·P(Z > 2.37) = 2·0.009 = 0.018; vì 0.018 < 0.05 nên bác H₀. Giá trị "0.009" là xác suất một đuôi, chỉ đúng nếu đối thuyết là một phía. Giá trị "−2.37" là chính thống kê Z₀ chứ không phải P-value, vốn không thể âm. Giá trị "0.991" là P(Z < 2.37), tức phần lớn phân phối, ngược với ý nghĩa đuôi. Giá trị "0" là P(Z < −5.04), ứng với một mốc chuẩn hoá khác, không phải −2.37 của bài.