Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 1

Đáp án đúng: "6.9 minutes". Thời gian chờ X có phân phối mũ (exponential) với kỳ vọng 3 phút nên λ = 1/3 và P(X > t) = e^(−t/3). Cần t sao cho chỉ 10% khách còn giữ máy: e^(−t/3) = 0.1, suy ra t = 3·ln 10 = 3·2.3026 ≈ 6.9 phút. Giá trị "2.3 minutes" chỉ là ln 10, quên nhân với kỳ vọng 3. Giá trị "3.3 minutes" cho P(X > 3.3) = e^(−1.1) ≈ 0.333, tức còn khoảng một phần ba khách giữ máy, quá xa 10%. Giá trị "13.8 minutes" gấp đôi kết quả đúng, như khi dùng kỳ vọng 6 phút; với 13.8 phút thì chỉ còn khoảng 1% khách giữ máy. Vì 6.9 phút có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.9375". Hai biến cố X < 0 và X > 0.5 rời nhau nên xác suất bằng tổng hai tích phân của hàm mật độ f(x) = 1.5x². Nguyên hàm là 0.5x³, nên P(X < 0) = 0.5·0³ − 0.5·(−1)³ = 0.5 và P(X > 0.5) = 0.5·1³ − 0.5·0.5³ = 0.5 − 0.0625 = 0.4375. Cộng lại được 0.5 + 0.4375 = 0.9375. Giá trị "0.0625" là P(0 < X < 0.5), tức phần bù của biến cố cần tìm, đúng bằng 1 − 0.9375. Giá trị "0.5" chỉ là P(X < 0), quên cộng phần X > 0.5. Giá trị "0.0125" không ứng với khoảng nào của mật độ này: nó thậm chí nhỏ hơn P(0 < X < 0.5) = 0.0625, nên không thể là xác suất của một hợp hai khoảng lớn như vậy.

Đáp án đúng: "0.75". Với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất tại một điểm bằng 0, nên P(X > a) = 1 − F(a) và P(X < b) = F(b). Ở đây F(x) = 0.25x trên đoạn từ 0 tới 4 (X phân phối đều trên (0, 4)), nên P(X > 2) = 1 − 0.25·2 = 0.5 và P(X < 1) = 0.25·1 = 0.25, tổng là 0.5 + 0.25 = 0.75. "0.25" chỉ là P(X < 1), quên phần P(X > 2). "0.5" chỉ là P(X > 2), hoặc nhầm thành F(2), bỏ sót P(X < 1). "1" là tổng toàn bộ xác suất, coi như cộng cả đoạn 1 ≤ X ≤ 2 vốn không thuộc biến cố nào trong hai biến cố; đoạn đó có xác suất 0.25, nên tổng đúng phải là 1 − 0.25 = 0.75.

Đáp án đúng: "2/9". Với biến liên tục, V(X) = E(X²) − [E(X)]². Tính E(X) = ∫₀² x·(x/2) dx = x³/6 từ 0 tới 2 = 8/6 = 4/3; E(X²) = ∫₀² x²·(x/2) dx = x⁴/8 từ 0 tới 2 = 16/8 = 2. Suy ra V(X) = 2 − (4/3)² = 2 − 16/9 = 2/9 ≈ 0.222. "1/3" sai vì đó là phương sai của phân phối đều trên (0, 2), tức (2 − 0)²/12, không phải của mật độ tăng dần f(x) = x/2. "3" sai vì một biến chỉ nhận giá trị trong khoảng dài 2 có phương sai không vượt quá (2/2)² = 1. "4/7" sai vì không ra từ E(X²) − [E(X)]² với các tích phân trên, cũng không phải E(X) = 4/3. "None of the other choices is correct" sai vì 2/9 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "3.8 and 0.808". Với phân phối đều liên tục (continuous uniform) trên [a, b], kỳ vọng E(X) = (a + b)/2 và phương sai V(X) = (b − a)²/12, độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Thay a = 2.4, b = 5.2: E(X) = 7.6/2 = 3.8; V(X) = 2.8²/12 = 7.84/12 ≈ 0.653; σ = √0.653 ≈ 0.808. "3.8 and 0.653" có trung bình đúng nhưng đưa phương sai 0.653 vào chỗ độ lệch chuẩn, quên lấy căn. "0.38 and 0.653" vừa sai trung bình (lệch một chữ số thập phân) vừa nhầm phương sai thành độ lệch chuẩn. Vì cặp 3.8 và 0.808 có trong danh sách nên "None of the others" sai.

Đáp án đúng: "−0.99". Diện tích bên trái điểm a dưới đường cong chuẩn tắc (standard normal curve) chính là hàm phân phối Φ(a) = P(Z < a). Cần tìm a sao cho P(Z < a) = 0.1611; theo số liệu đã cho P(Z < −0.99) = 0.1611 nên a = −0.99. Dấu âm hợp lý vì diện tích nhỏ hơn 0.5 thì a phải nằm bên trái trục đối xứng z = 0. Các giá trị khác ứng với diện tích khác: "−0.88" cho P(Z < −0.88) = 0.1894; "−0.77" cho P(Z < −0.77) = 0.2207; "−0.44" cho P(Z < −0.44) = 0.3230, đều lớn hơn 0.1611 vì càng gần 0 diện tích bên trái càng lớn. Đã có giá trị khớp đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "32.59 ounces". Phân vị thứ 67 của phân phối chuẩn là giá trị x sao cho P(X < x) = 0.67; chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ nên x = μ + z·σ, với z thoả P(Z < z) = 0.67, theo số liệu đã cho z = 0.45. Vậy x = 32.5 + 0.45·0.2 = 32.59 ounces. Phương án "32.63 ounces" là 32.5 + 0.65·0.2, tức phân vị thứ 74, đọc nhầm dòng P(Z < 0.65) = 0.74. Phương án "32.09 ounces" là 32 + 0.45·0.2, lấy nhầm dung tích ghi trên bao (32 ounce) làm trung bình thay cho μ = 32.5. Phương án "32.13 ounces" là 32 + 0.65·0.2, mắc cả hai lỗi trên. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 32.59 ounces đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.1841". Với Poisson trung bình λ = 25, xấp xỉ chuẩn dùng μ = λ = 25 và σ = √λ = 5. Vì X là biến rời rạc, P(X ≤ 20) phải hiệu chỉnh liên tục (continuity correction) thành P(X < 20.5), nên Z = (20.5 − 25)/5 = −0.9 và xác suất là P(Z < −0.9) = 0.1841. Giá trị "0.1586" là P(Z < −1), tức kết quả khi bỏ hiệu chỉnh liên tục và lấy Z = (20 − 25)/5 = −1; cách này làm mất nửa khối xác suất tại X = 20. Giá trị "0.8414" là 1 − 0.1586, xác suất có nhiều hơn 20 xe khi không hiệu chỉnh, sai cả chiều lẫn hiệu chỉnh. Giá trị "0.8159" là 1 − 0.1841, tức xác suất có hơn 20 xe đến, ngược chiều với yêu cầu không quá 20 xe. Vì 0.1841 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "9". Trung vị (median) là giá trị đứng giữa khi dữ liệu đã sắp tăng dần, ở vị trí (n + 1)/2. Sắp lại bảy số: 3, 4, 8, 9, 14, 16, 16; vị trí (7 + 1)/2 = 4 là số 9, nên trung vị là 9 năm, nghĩa là một nửa số nhân viên làm ở công ty không quá 9 năm. "16" là giá trị lớn nhất và cũng là mốt (mode) vì xuất hiện hai lần, không phải giá trị ở giữa. "10" là trung bình cộng (4 + 14 + 3 + 16 + 9 + 8 + 16)/7 = 70/7 = 10; trung bình bị kéo lên bởi hai giá trị 16 nên khác trung vị. "21" vượt quá giá trị lớn nhất 16 của dữ liệu, mà trung vị luôn nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, nên không thể đúng. "None of the other choices is correct" sai vì 9 có mặt. Lưu ý lỗi thường gặp là lấy số thứ tư theo thứ tự in ban đầu (16) mà quên sắp xếp trước.

Đáp án đúng: "72". Mode (yếu vị) là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong dữ liệu. Đếm tần số mười điểm số: 67 xuất hiện 2 lần, 68 một lần, 71 một lần, 72 bốn lần, 73 một lần, 76 một lần, nên 72 có tần số cao nhất và là mode. Giá trị "73" chỉ xuất hiện một lần. Giá trị "76" là điểm lớn nhất, chỉ xuất hiện một lần, liên quan tới giá trị cực đại hay khoảng biến thiên chứ không phải mode. Giá trị "67" là điểm nhỏ nhất và xuất hiện hai lần, nhiều thứ hai nhưng vẫn ít hơn bốn lần của 72. Vì 72 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "Mean = 40.7, Median = 43". Biểu đồ thân và lá (stem-and-leaf) có thân 1 với lá 2, 4; thân 2 với lá 0, 2, 5; thân 4 với lá 1, 3, 3, 7; thân 6 với lá 0, 2, 9; thân 7 với lá 1. Dữ liệu là 12, 14, 20, 22, 25, 41, 43, 43, 47, 60, 62, 69, 71, gồm n = 13 giá trị, tổng 529, nên trung bình x̄ = 529/13 ≈ 40.7. Với n lẻ, trung vị (median) là giá trị thứ (13 + 1)/2 = 7 theo thứ tự tăng, tức 43. Cặp "Mean = 40.7, Median = 43.5" đúng trung bình nhưng lấy trung vị theo kiểu trung bình hai giá trị giữa, chỉ áp dụng khi n chẵn. Cặp "Mean = 43.6, Median = 40" sai cả hai, trung bình 43.6 lớn hơn tổng 529 chia 13. Cặp "Mean = 43.6, Median = 40.5" cũng sai trung bình, còn 40.5 không phải giá trị dữ liệu nào và không phải trung bình của hai giá trị kề nhau ở giữa.

Đáp án đúng: "3". Mốt (mode) là giá trị của biến xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Bảng tần số cho: nhà 1 phòng ngủ có tần số 1, 2 phòng có 18, 3 phòng có 140, 4 phòng có 57, 5 phòng có 11. Tần số lớn nhất là 140, ứng với số phòng ngủ bằng 3, nên mốt là 3. "140" là tần số của mốt chứ không phải mốt; mốt phải là một giá trị của biến (số phòng ngủ), không phải số lần đếm. "4" là giá trị có tần số lớn thứ hai (57 nhà), không phải giá trị phổ biến nhất. "57" là tần số của nhóm 4 phòng, vừa nhầm giá trị với tần số vừa sai nhóm. "None of the other choices is correct" sai vì 3 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0". Biểu đồ hộp cho năm số: nhỏ nhất 10, tứ phân vị dưới Q1 = 15, trung vị 18, tứ phân vị trên Q3 = 20, lớn nhất 22. Phát biểu i) sai vì khoảng 25% dữ liệu nằm dưới Q1 = 15, nên phần nằm trên 15 là khoảng 75%. Phát biểu ii) sai vì trung vị không nhất thiết là một giá trị của dữ liệu: với số quan sát chẵn, trung vị là trung bình hai giá trị giữa, ví dụ 17 và 19 cho 18. Phát biểu iii) sai vì Q3 cũng có thể là giá trị nội suy hoặc trung bình của hai quan sát kề nhau, nên 20 không bắt buộc có mặt. Chỉ hai đầu râu 10 và 22 là chắc chắn có trong dữ liệu. Vì không phát biểu nào đúng, "1" sai vì đòi hỏi ít nhất một trong ba phát biểu đúng chắc chắn; "2" sai vì cần hai phát biểu đúng, chẳng hạn coi trung vị và Q3 luôn là giá trị dữ liệu; "3" sai vì cả ba đều không đúng chắc chắn.

Đáp án đúng: "(i)". Phân phối mẫu (sampling distribution) của trung bình mẫu X̄ từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n luôn có kỳ vọng E(X̄) = μ, nên (i) đúng với mọi tổng thể có trung bình hữu hạn. Độ lệch chuẩn của X̄ là σ/√n (sai số chuẩn), không phải σ, nên (ii) sai trừ trường hợp tầm thường n = 1. Về hình dạng, X̄ chuẩn đúng khi tổng thể chuẩn, còn khi tổng thể không chuẩn thì chỉ xấp xỉ chuẩn khi n đủ lớn theo định lý giới hạn trung tâm; với n nhỏ từ tổng thể lệch mạnh thì không xấp xỉ chuẩn, nên chữ "always" làm (iii) sai. Do đó "(ii)" sai vì nhầm σ với σ/√n, "(iii)" sai vì bỏ điều kiện cỡ mẫu, và "All of them are true." sai vì chỉ có (i) đúng.

Đáp án đúng: "0.0170". Hai tổng thể đều chuẩn nên hiệu hai trung bình mẫu x̄_A − x̄_B có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ_A − μ_B = 3.5 − 3.3 = 0.2 và độ lệch chuẩn √(0.4²/25 + 0.3²/36) = √(0.0064 + 0.0025) = √0.0089 = 0.0943. Biến cố trung bình mẫu công ty thứ nhất hơn công ty thứ hai ít nhất 0.4 năm là x̄_A − x̄_B ≥ 0.4; chuẩn hoá z = (0.4 − 0.2)/0.0943 = 2.12, nên xác suất cần tìm là P(Z ≥ 2.12) = 1 − 0.9830 = 0.0170. "0.9830" là P(Z < 2.12), xác suất hiệu nhỏ hơn 0.4 năm, phần bù của biến cố hỏi. "0" ứng với P(Z < −4), chỉ xuất hiện khi chuẩn hoá sai, và phân phối chuẩn luôn gán xác suất dương cho khoảng [0.4, ∞). "1" là xác suất của biến cố chắc chắn, không thể đúng vì ngưỡng 0.4 nằm trên kỳ vọng 0.2 tới hơn hai độ lệch chuẩn. Đã tính được 0.0170 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.04". Tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu X̄ có phân phối chuẩn với trung bình μ = 1 và độ lệch chuẩn σ/√n = 0.1/√12 = 0.0289. Chuẩn hoá: Z = (0.95 − 1)/0.0289 = −1.73, nên P(X̄ < 0.95) = P(Z < −1.73) = 0.04. Phương án "0.96" là P(Z > −1.73), tức xác suất trung bình mẫu lớn hơn 0.95, ngược chiều câu hỏi. Phương án "0.36" là P(Z < −0.34), ứng với một giá trị z khác, không phải z = −1.73 tính từ sai số chuẩn của trung bình mẫu. Phương án "0.64" là 1 − 0.36, cũng dựa trên z = −0.34 sai đó và lại lấy phần bù. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.04 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "16". Khi σ đã biết, nửa độ dài khoảng tin cậy 95% cho μ là E = z₀.₀₂₅·σ/√n. Muốn E = 50 thì n = (z₀.₀₂₅·σ/E)² = (1.960·100/50)² = 3.92² = 15.3664, và cỡ mẫu luôn làm tròn lên số nguyên kế tiếp để bảo đảm sai số không vượt 50, nên n = 16. Giá trị "11" là (1.645·100/50)² ≈ 10.82 làm tròn lên, tức dùng z₀.₀₅ của khoảng tin cậy 90% thay cho 95%. Giá trị "62" là (1.960·100/25)² ≈ 61.47, xảy ra khi hiểu 50 là cả độ dài khoảng rồi chia đôi thành 25, trong khi câu hỏi cho 50 chính là nửa độ dài. Giá trị "44" là (1.645·100/25)² ≈ 43.3, mắc cả hai lỗi trên cùng lúc.

Đáp án đúng: "(3.41, 5.99)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 10 nhỏ nên dùng khoảng tin cậy t: x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n với 95% thì α/2 = 0.025 và bậc tự do 9, lấy t(0.025, 9) = 2.26 theo dòng gợi ý. Sai số biên: 2.26·1.8/√10 = 2.26·0.5692 = 1.286, nên khoảng là 4.7 ± 1.286 = (3.414, 5.986) ≈ (3.41, 5.99). "(4.81, 6.31)" có tâm 5.56, không phải x̄ = 4.7, nên không thể là khoảng quanh trung bình mẫu. "(1.35, 2.85)" có tâm 2.1, lệch hẳn khỏi 4.7, và trung bình mẫu nằm ngoài khoảng. "(2.11, 5.34)" có tâm 3.725 và không đối xứng quanh 4.7. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng đã có. Nếu dùng nhầm z₀.₀₂₅ = 1.96 sẽ được (3.58, 5.82), hẹp hơn và không có trong danh sách; t được dùng vì s thay cho σ chưa biết.

Đáp án đúng: "1037". Ước lượng tỉ lệ khi chưa có thông tin về p thì dùng p = 0.5 để p(1 − p) lớn nhất, cỡ mẫu n = z(α/2)²·p(1 − p)/E² với z₀.₀₀₅ = 2.575 (độ tin cậy 99%) và sai số E = 0.04: n = 2.575²·0.25/0.0016 = 6.6306·0.25/0.0016 ≈ 1036.04, và cỡ mẫu luôn làm tròn lên số nguyên kế tiếp nên n = 1037. Giá trị "849" ứng với z ≈ 2.33, tức độ tin cậy khoảng 98%, không phải 99%. Giá trị "2073" gần gấp đôi kết quả đúng, như khi dùng 0.5 thay cho p(1 − p) = 0.25. Giá trị "17" quá nhỏ: với 17 người, sai số tối đa 2.575·√(0.25/17) ≈ 0.31, tức 31% chứ không phải 4%. Vì 1037 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "(iii)", tức H₀: μ = 1.6, H₁: μ > 1.6. Lời khẳng định "không vượt quá 1.6 gram" nghĩa là μ ≤ 1.6; muốn kiểm định nó thì giả thuyết đối (alternative hypothesis) H₁ là điều cần có bằng chứng để bác lời khẳng định, tức hàm lượng chất béo trung bình vượt 1.6, còn giả thuyết không H₀ giữ dấu bằng tại mốc biên 1.6. Kiểm định một phía bên phải này chỉ bác H₀ khi x̄ lớn đáng kể. Cặp "(i)" với H₁: μ ≠ 1.6 là kiểm định hai phía, dùng khi chỉ hỏi có khác 1.6 hay không, trong khi lời khẳng định có hướng rõ. Cặp "(ii)" với H₁: μ < 1.6 lại tìm bằng chứng chất béo thấp hơn, tức củng cố chứ không thách thức lời khẳng định. Cặp "(iv)" đặt dấu bất đẳng thức trong H₀ và dấu bằng trong H₁, sai quy ước vì H₀ phải chứa dấu bằng còn H₁ là bất đẳng thức.