Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 1

Đáp án đúng: "descriptive statistics.". Thống kê mô tả (descriptive statistics) là việc thu thập, sắp xếp, tóm tắt và trình bày số liệu để mô tả chính tập dữ liệu đó. Ở đây người ta thu thập và tóm tắt đặc điểm kinh tế xã hội và thể chất của nhân viên một công ty cụ thể, không suy rộng sang tổng thể nào khác, nên đây là thống kê mô tả. Phương án "inferential statistics." sai vì thống kê suy diễn dùng mẫu để rút ra kết luận về tổng thể lớn hơn (ước lượng, kiểm định), còn ở đây chỉ mô tả. Phương án "a parameter." sai vì tham số là một con số mô tả tổng thể, ví dụ tuổi trung bình của toàn bộ nhân viên, chứ không phải một quá trình thu thập và tóm tắt. Phương án "a statistic." sai vì thống kê (statistic) là một con số tính từ mẫu, cũng chỉ là một đại lượng chứ không phải cả hoạt động thu thập và tóm tắt dữ liệu.

Đáp án đúng: "Retrospective study.". Trong cách phân loại cách thu thập dữ liệu kỹ thuật, có ba loại: retrospective study (nghiên cứu hồi cứu) dùng dữ liệu lịch sử đã được ghi lại từ trước, observational study (nghiên cứu quan sát) theo dõi và ghi nhận quá trình đang diễn ra mà không can thiệp, còn designed experiment (thí nghiệm thiết kế) chủ động thay đổi các yếu tố để xem phản ứng. Số liệu thương vong của đại dịch cúm 1918 là hồ sơ quá khứ được thu thập lại để phân tích, nên đây là nghiên cứu hồi cứu. "Observational study" theo nghĩa rộng cũng là không can thiệp, nhưng trong phân loại này nó chỉ việc quan sát và ghi số liệu trong hiện tại, lúc hiện tượng đang xảy ra, trong khi ở đây dữ liệu đã có từ hơn một thế kỷ trước. "An experiment." sai vì không ai gán điều kiện hay can thiệp được vào một trận dịch đã qua. "None of them." sai vì loại hồi cứu mô tả đúng nghiên cứu này.

Đáp án đúng: "4". Mỗi người được chọn chỉ có hai trạng thái là có laptop hoặc không có laptop, và hai người được chọn là hai vị trí phân biệt (người thứ nhất, người thứ hai), nên theo quy tắc nhân không gian mẫu có 2·2 = 4 kết quả: cả hai có, chỉ người thứ nhất có, chỉ người thứ hai có, cả hai không có. Giá trị "1" chỉ đếm một kết quả cụ thể. Giá trị "2" là số trạng thái của một người, chưa nhân cho người thứ hai. Giá trị "3" là số giá trị của biến đếm số người có laptop (0, 1 hoặc 2), gộp hai kết quả chỉ một người có thành một, nên đó là miền giá trị của biến ngẫu nhiên chứ không phải số kết quả của phép thử. Giá trị "5" vượt quá số tổ hợp có thể có của hai người, mỗi người hai trạng thái.

Đáp án đúng: "{copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, zinc}". Tính từng bước: phần bù B′ gồm các phần tử của S không thuộc B, tức {copper, uranium, oxygen, zinc}, nên A ∩ B′ = {copper, zinc}. Phần bù C′ là S bỏ oxygen, tức {copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, zinc}. Hợp (union) của {copper, zinc} với C′ vẫn là C′ vì copper và zinc đã có trong C′, nên kết quả gồm sáu phần tử, chỉ thiếu oxygen. Tập "{nitrogen, potassium, uranium, zinc}" thiếu copper và sodium, trong khi cả hai đều thuộc C′. Tập "{copper, sodium, potassium, uranium, zinc}" bỏ sót nitrogen, mà nitrogen không phải oxygen nên chắc chắn nằm trong C′. Tập "{copper, sodium, nitrogen, uranium, zinc}" bỏ sót potassium vì cùng lý do. Đã có tập đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.07". Bảng cho xác suất đồng thời: mỗi ô là tỉ lệ người có đồng thời một mức khấu trừ bảo hiểm thuê nhà (hàng Basic, Standard, Premium) và một mức khấu trừ bảo hiểm sức khoẻ (cột Minimal, Low, Medium, High). Biến cố "standard renter’s và high health deductible" là giao của hàng Standard với cột High, và ô đó ghi 0.07. "0.40" là tổng cả hàng Standard (0.08 + 0.10 + 0.15 + 0.07), tức xác suất biên của riêng mức Standard, bỏ qua điều kiện về bảo hiểm sức khoẻ. "0.25" là tổng cột Low (0.07 + 0.10 + 0.08), cũng là một xác suất biên nhưng của cột khác. "0.10" là ô Standard–Low (hay Basic–Medium), lệch cột so với yêu cầu. "0.03" là ô Premium–Minimal, sai cả hàng lẫn cột.

Đáp án đúng: "0.90". Gọi A là dùng thuốc hạ huyết áp, B là dùng thuốc hạ cholesterol; "either … or" là biến cố hợp A ∪ B, tính bằng quy tắc cộng P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.52 + 0.43 − 0.05 = 0.90. Phải trừ 0.05 một lần vì nhóm dùng cả hai loại đã được đếm trong cả 52% lẫn 43%. "0.85" sai vì đó là trừ phần giao hai lần (0.95 − 0.10), tức xác suất chỉ dùng đúng một loại thuốc, không phải xác suất dùng ít nhất một loại. "0.14" sai vì không khớp với phép cộng nào của dữ liệu và nhỏ hơn cả P(A) = 0.52, trong khi hợp luôn lớn hơn hoặc bằng từng biến cố. "1" sai vì chỉ đúng khi mọi người cao tuổi đều dùng ít nhất một loại thuốc; ở đây còn 10% không dùng loại nào. "None of the other choices is correct" sai vì 0.90 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.523". Bảng hai chiều cho số lá theo hai biến đổi: đổi màu có và biến đổi kết cấu có là 138, đổi màu có mà kết cấu không là 23, đổi màu không mà kết cấu có là 18, cả hai không là 21; tổng 200 lá. Đây là xác suất có điều kiện P(color | không textural) = P(color ∩ không textural)/P(không textural). Cột kết cấu "no" có 23 + 21 = 44 lá, trong đó 23 lá đổi màu, nên xác suất là 23/44 ≈ 0.523. "0.805" là 161/200, xác suất đổi màu không điều kiện (hàng đổi màu có: 138 + 23 = 161), bỏ qua điều kiện đã biết. "0.22" là 44/200, xác suất không hoàn thành biến đổi kết cấu, tức mẫu số của phép chia chứ chưa phải kết quả. "0.682" không ứng với tỉ số nào trong cột kết cấu "no" (cột này chỉ cho 23/44 và 21/44 ≈ 0.477), và cũng không bằng tỉ số nào giữa các ô và các tổng của bảng.

Đáp án đúng: "0.57". Dùng công thức xác suất toàn phần (total probability): gọi L là biến cố công ty triển khai dự án và I là biến cố giá cổ phiếu tăng, khi đó P(I) = P(I|L)·P(L) + P(I|L')·P(L') = 0.75·0.6 + 0.30·0.4 = 0.45 + 0.12 = 0.57. Hai nhánh triển khai và không triển khai là xung khắc và phủ kín mọi khả năng nên xác suất giá tăng là tổng của chúng. "0.45" chỉ là P(I∩L), phần giá tăng trong nhánh có triển khai, bỏ sót nhánh không triển khai. "0.12" chỉ là P(I∩L'), phần giá tăng khi không triển khai dự án. "0.33" là hiệu 0.45 − 0.12, trừ hai nhánh thay vì cộng, không có ý nghĩa xác suất nào ở đây. Từ kết quả này còn tính được xác suất hậu nghiệm, chẳng hạn P(L|I) = 0.45/0.57 ≈ 0.79 theo Bayes.

Đáp án đúng: "No". Hai biến cố độc lập khi và chỉ khi xác suất giao bằng tích hai xác suất: P(C and D) = P(C)·P(D). Ở đây P(C)·P(D) = 0.5·0.2 = 0.10, trong khi P(C and D) = 0.11 ≠ 0.10, nên C với D không độc lập; tương đương, P(C|D) = 0.11/0.2 = 0.55 khác P(C) = 0.5, tức biết D xảy ra làm thay đổi xác suất của C. Phương án "Yes" sai vì điều kiện tích không thoả, dù hai con số 0.11 và 0.10 khá gần nhau; độc lập đòi hỏi bằng nhau chính xác. Phương án "cannot be determined" sai vì đề đã cho đủ cả P(C), P(D) và xác suất giao, nên kiểm tra được trực tiếp; nó chỉ đúng khi thiếu xác suất giao.

Đáp án đúng: "0.32". Hai biến cố B, C xung khắc và bù nhau nên chúng tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, do đó dùng công thức xác suất toàn phần (law of total probability): P(A) = P(A | B)·P(B) + P(A | C)·P(C) = 0.2·0.6 + 0.5·0.4 = 0.12 + 0.20 = 0.32. Giá trị "0.10" là 0.2·0.5, nhân hai xác suất có điều kiện với nhau mà không gắn trọng số P(B), P(C). Giá trị "0.62" là 0.2·0.6 + 0.5, quên nhân P(A | C) với P(C) = 0.4. Giá trị "0.88" vượt xa mọi tổ hợp hợp lý, trong khi P(A) theo xác suất toàn phần phải nằm giữa 0.2 và 0.5 vì là trung bình có trọng số của hai xác suất có điều kiện. Vì tính ra đúng 0.32 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "The number of goals scored by a hockey team.". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) nhận một tập giá trị đếm được, thường là kết quả của phép đếm 0, 1, 2, …; biến liên tục (continuous) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực, thường là kết quả của phép đo. Số bàn thắng của một đội khúc côn cầu là phép đếm, không thể bằng 2.5 bàn, nên nó là biến rời rạc, tức phát biểu NOT continuous đúng với nó. "The amount of gasoline in a car." là lượng đo bằng lít, có thể là 23.47 lít hay bất kỳ số nào giữa 0 và dung tích bình, nên là biến liên tục. "The time it takes to commute to work." là thời gian đo được tới phần nhỏ của giây, cũng liên tục. "The lifetime of a AAA battery." là tuổi thọ tính bằng giờ, nhận mọi giá trị dương trong một khoảng, nên là biến liên tục. Ba biến đo lường này đều liên tục nên không đáp ứng yêu cầu tìm biến không liên tục.

Đáp án đúng: "[1, 491]". Gọi X là số chi tiết phải lấy (không hoàn lại) cho tới khi gặp chi tiết không đạt đầu tiên. Nhỏ nhất X = 1 khi chi tiết đầu tiên đã không đạt. Lớn nhất xảy ra khi lấy hết 500 − 10 = 490 chi tiết đạt trước, khi đó chi tiết thứ 491 chắc chắn là chi tiết không đạt, nên miền giá trị là các số nguyên từ 1 tới 491. Khoảng "[1, 500]" sai vì không thể lấy tới 500 chi tiết: sau 490 chi tiết đạt thì mọi chi tiết còn lại đều không đạt và quá trình dừng ngay ở lần 491. Khoảng "[1, 10 ]" lẫn số chi tiết không đạt với số lần lấy; con số 10 không giới hạn số lần phải lấy. Vì có miền giá trị đúng nên "None of the other answers is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "f(10) = 0.3, f(5) = 0.6, f(1) = 0.1.". Hàm khối xác suất (probability mass function) f(x) = P(X = x) gán cho mỗi giá trị doanh thu đúng xác suất của kết quả sinh ra nó. Chữ "respectively" ghép theo thứ tự: rất thành công đi với xác suất 0.3 và doanh thu 10, thành công vừa đi với 0.6 và 5, không thành công đi với 0.1 và 1. Vậy f(10) = 0.3, f(5) = 0.6, f(1) = 0.1, tổng bằng 1 như yêu cầu. Bảng "f(10) = 0.6, f(5) = 0.3, f(1) = 0.1." đảo xác suất của hai mức doanh thu cao, gán 0.6 cho mức rất thành công. Bảng "f(10) = 0.1, f(5) = 0.3, f(1) = 0.6." xếp ngược hẳn, cho doanh thu thấp nhất xác suất lớn nhất. Bảng "f(10) = 0.1, f(5) = 0.6, f(1) = 0.3." giữ đúng f(5) nhưng tráo xác suất giữa mức 10 và mức 1. Cả ba đều có tổng 1 nên là hàm khối hợp lệ về hình thức, nhưng không khớp mô tả của bài.

Đáp án đúng: "0.4". Với biến ngẫu nhiên rời rạc, F(x) = P(X ≤ x) là hàm bậc thang, nhảy tại các giá trị có xác suất dương là 0, 1, 3, 4; độ cao mỗi bước nhảy là xác suất tại điểm đó: P(X = 0) = 0.2, P(X = 1) = 0.2, P(X = 3) = 0.3, P(X = 4) = 0.3. Giữa 1 và 3 hàm F không đổi (bằng 0.4), nghĩa là X không nhận giá trị nào trong khoảng đó, nên P(X < 2) = P(X ≤ 1) = F(1) = 0.4. "0.2" là F(0) = P(X ≤ 0), bỏ sót khối xác suất 0.2 tại x = 1. "0.7" là F(3), đã cộng cả P(X = 3) = 0.3 dù 3 không nhỏ hơn 2. "0" là giá trị của F khi x < 0, còn "1" là F(4); cả hai ứng với miền khác chứ không phải x < 2.

Đáp án đúng: "mean: 1.59; standard deviation: 1.09". Với biến rời rạc, E(X) = Σx·f(x) và V(X) = E(X²) − μ². Ở đây E(X) = (0·3 + 1·5 + 2·6 + 3·2 + 4·1)/17 = 27/17 ≈ 1.59; E(X²) = (0 + 5 + 24 + 18 + 16)/17 = 63/17 ≈ 3.71; V(X) = 3.7059 − 1.5882² ≈ 1.1834, nên σ = √1.1834 ≈ 1.09. "mean: 3.72; standard deviation: 2.52" sai vì lấy con số cỡ E(X²) ≈ 3.71 làm trung bình, trong khi trung bình phải là Σx·f(x). "mean: 2.52; standard deviation: 1.93" sai vì trung bình 2.52 không khớp 27/17 ≈ 1.59; X dồn nhiều xác suất ở 0, 1, 2 nên trung bình không thể vượt 2. "mean: 1.59; standard deviation: 3.72" đúng trung bình nhưng sai độ lệch chuẩn: nó dùng E(X²) mà quên trừ μ² và lấy căn. "None of the other choices is correct" sai vì cặp 1.59 và 1.09 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "8". Phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên liên tiếp từ a đến b có E(X) = (a + b)/2. Ở đây X nhận năm giá trị b, b+1, b+2, b+3, b+4 với xác suất bằng nhau 1/5, nên E(X) = (b + (b + 4))/2 = b + 2. Cho E(X) = 10 thì b + 2 = 10, suy ra b = 8; kiểm lại: (8 + 9 + 10 + 11 + 12)/5 = 50/5 = 10. "9" ứng với nhầm E(X) = b + 1, tức lấy giá trị thứ hai làm tâm thay vì giá trị giữa. "5" là 10/2, chia đôi kỳ vọng như thể E(X) = 2b. "4" không thoả: với b = 4 các giá trị 4 tới 8 có trung bình 6. Vì b = 8 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" sai.

Đáp án đúng: "12". Gọi X là số người ủng hộ trong 15 người được chọn; mỗi người ủng hộ với xác suất p = 0.8, độc lập, nên X ~ nhị thức (binomial) với n = 15, p = 0.8. Kỳ vọng (mean) của nhị thức là E(X) = np = 15·0.8 = 12, nghĩa là trung bình 12 trên 15 người ủng hộ; phương sai đi kèm là np(1 − p) = 15·0.8·0.2 = 2.4. "8" là nhầm 80% thành 8 người, quên nhân tỉ lệ với cỡ mẫu 15. "15" là toàn bộ mẫu, chỉ đúng khi p = 1, tức mọi người đều ủng hộ. "10" tương ứng tỉ lệ 10/15 ≈ 0.67, tức khoảng 67% ủng hộ chứ không phải 80%. Đã tính được 12 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.0417". Số phát bắn cần để trúng lần thứ r tuân theo phân phối nhị thức âm (negative binomial): P(X = x) = C(x−1, r−1)·pʳ·(1−p)^(x−r). Muốn phát thứ bảy là lần trúng thứ ba thì sáu phát đầu phải có đúng hai lần trúng và phát thứ bảy trúng: C(6, 2)·0.7³·0.3⁴ = 15·0.343·0.0081 = 0.0417. Phương án "0.0028" là 0.7³·0.3⁴ = 0.00278, quên hệ số C(6, 2) đếm các vị trí của hai lần trúng trước. Phương án "0.1389" là 15·0.7³·0.3³, dùng sai số mũ của xác suất trượt (7 − 3 = 4 lần trượt, không phải 3). Phương án "0.0595" không khớp công thức nhị thức âm, cũng không phải xác suất nhị thức trúng đúng 3 trong 7 phát, vốn là C(7, 3)·0.7³·0.3⁴ = 0.0972. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.0417 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.22". Ví có 5 + 3 + 4 = 12 tờ, rút ngẫu nhiên 3 tờ không hoàn lại, nên số tờ 50,000VND trong 3 tờ tuân theo phân phối siêu bội (hypergeometric). Xác suất có đúng 2 tờ 50,000VND là C(4,2)·C(8,1)/C(12,3) = 6·8/220 = 48/220 ≈ 0.218, làm tròn 0.22. Ở đây C(4,2) chọn 2 trong 4 tờ 50,000VND, C(8,1) chọn 1 tờ trong 8 tờ còn lại, C(12,3) = 220 là tổng số cách rút 3 tờ. Giá trị "0.33" gần bằng tỷ lệ 4/12 tờ 50,000VND, đó là xác suất một tờ rút ra là 50,000VND chứ không phải xác suất có đúng 2 trong 3 tờ. Giá trị "0.15" và "0.26" lệch khỏi C(4,2)·C(8,1)/C(12,3) ≈ 0.218 và không khớp công thức siêu bội; quên nhân C(8,1) chỉ còn 6/220 ≈ 0.027, còn tính như rút có hoàn lại theo nhị thức thì được 3·(1/3)²·(2/3) ≈ 0.222, đều không ra hai con số này. Vì 0.22 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.09". Số lần bị gọi lại tuân theo phân phối Poisson với λ = 4 mỗi tháng, f(x) = e^(−λ)λˣ/x!. "At most once" nghĩa là X ≤ 1, nên P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^(−4)(1 + 4) = 5·0.01832 = 0.0916 ≈ 0.09. Ý nghĩa: với trung bình 4 lần, tháng nào chỉ bị gọi tối đa một lần là chuyện hiếm, chưa tới một phần mười. "0.12" lớn hơn P(X ≤ 1) = 0.0916 nhưng nhỏ hơn P(X ≤ 2) = 0.2381, nên không là xác suất tích luỹ nào của λ = 4; muốn P(X ≤ 1) = 0.12 thì λ phải vào khoảng 3.7. "0.15" gần với P(X = 2) = e^(−4)·4²/2! = 0.1465, là xác suất bị gọi đúng hai lần chứ không phải tối đa một lần. "0.18" chỉ đạt được khi λ khoảng 3.1, tức trung bình nhỏ hơn mức 4 lần đã cho. "None of the other choices is correct" sai vì 0.09 có mặt và khớp phép tính sau khi làm tròn.