Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 1

Đáp án đúng: "The critical value defines the cutoff point(s) beyond which the null hypothesis is rejected.". Giá trị tới hạn (critical value) của kiểm định z là ranh giới của miền bác bỏ: nếu thống kê Z₀ vượt qua nó thì bác H₀. Nó được chọn sao cho xác suất rơi vào miền bác bỏ khi H₀ đúng bằng mức ý nghĩa α, ví dụ z₀.₀₂₅ = 1.96 cho kiểm định hai phía với α = 0.05. "The critical value is always 0 regardless of the significance level." sai: 0 là tâm của phân phối chuẩn tắc, nếu cắt ở 0 thì sẽ bác H₀ một nửa số lần ngay cả khi H₀ đúng. "The critical value can be determined without knowing the significance level." sai vì giá trị tới hạn chính là phân vị z(α) hay z(α/2), không có α thì không xác định được. "The critical value is the same for one-tailed and two-tailed tests at the same significance level." sai: cùng α = 0.05, kiểm định một phía dùng 1.645, còn hai phía chia α làm đôi nên dùng 1.96.

Đáp án đúng: "(ii)". "Không khác năm ngoái" là H₀: μ = 15.4 với H₁: μ ≠ 15.4 (kiểm định hai phía); σ chưa biết nên dùng t₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (14.6 − 15.4)/(2.5/√35) = −0.8/0.42258 ≈ −1.8931, so với t(0.025, 34) = 2.032. Vì |t₀| = 1.8931 < 2.032 nên chưa đủ bằng chứng bác H₀ ở mức α = 0.05, tức t₀ = −1.8931 và fail to reject H₀. "(i)" sai vì giá trị thống kê đúng nhưng kết luận bác H₀ chỉ hợp lệ khi |t₀| vượt 2.032. "(iii)" sai cả dấu lẫn kết luận: x̄ = 14.6 nhỏ hơn μ₀ = 15.4 nên t₀ phải âm, và 1.8931 cũng chưa vượt ngưỡng. "(iv)" có kết luận đúng nhưng sai dấu của thống kê, vì x̄ − μ₀ = −0.8 < 0.

Đáp án đúng: "(iii)". Giả thuyết đối hai phía (two-sided alternative) là H₁ dạng "khác", tức p ≠ p₀, trong khi giả thuyết không H₀ luôn chứa dấu bằng p = p₀; chỉ (iii) H₀: p = p₀; H₁: p ≠ p₀ thoả cả hai điều này. "(i)" có H₁: p > p₀, là đối thuyết một phía bên phải, chỉ bác H₀ khi thống kê lớn. "(ii)" đặt ngược vai trò: H₀: p ≠ p₀ không chứa dấu bằng nên không thể làm giả thuyết không, vì ta cần một giá trị cụ thể p₀ để tính phân phối của thống kê kiểm định. "(iv)" có H₁: p < p₀ là một phía bên trái, và H₀: p > p₀ cũng không đúng dạng vì thiếu dấu bằng. Vì (iii) có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.38". Hai tổng thể chuẩn với độ lệch chuẩn đã biết nên dùng kiểm định Z cho hiệu hai trung bình, H₀: μ₁ = μ₂ và H₁: μ₁ ≠ μ₂ (hai phía vì hỏi hai nhóm có cùng cân nặng hay không). Z₀ = (x̄₁ − x̄₂)/√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) = 0.2/√(0.576²/20 + 0.776²/17) = 0.2/√(0.01659 + 0.03542) = 0.2/0.2281 = 0.877 ≈ 0.88. P-value hai phía = 2[1 − P(Z < 0.88)] = 2(1 − 0.810) = 0.38, lớn hơn α = 0.05 nên không bác H₀. "0.28" nhỏ hơn cả p-value ứng với z = 1 là 2(1 − 0.841) = 0.318, trong khi Z₀ chỉ 0.88 nên p-value phải lớn hơn 0.318. "0.55" đòi P(Z < z) ≈ 0.725, tức z chỉ khoảng 0.60, nhỏ hơn nhiều so với 0.88. "0.47" đòi P(Z < z) ≈ 0.765, tức z khoảng 0.72, cũng không khớp Z₀ đã tính. Nếu làm một phía, p-value chỉ là 0.19, cũng không trùng giá trị nào.

Đáp án đúng: "1.734". Khi giả định hai phương sai bằng nhau, khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂ là (x̄₁ − x̄₂) ± t(0.025, n₁+n₂−2)·sp·√(1/n₁ + 1/n₂), với phương sai gộp sp² = ((n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²)/(n₁+n₂−2) = (25·1.26² + 22·1.76²)/47 = 2.2944, sp = 1.5147. Nửa độ rộng là 2·1.5147·√(1/26 + 1/23) = 2·1.5147·0.2863 = 0.867, nên độ rộng khoảng là 2·0.867 = 1.734; dùng t(0.025, 47) = 2 vì khoảng hai phía. Phương án "0.673" còn nhỏ hơn cả nửa độ rộng 0.867, không khớp cách tính nào của công thức này. Phương án "0.987" cũng không khớp nửa độ rộng lẫn độ rộng. Phương án "1.976" lớn hơn độ rộng đúng; ngay cả khi bỏ giả định phương sai bằng nhau và dùng √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) thì độ rộng cũng chỉ là 1.770.

Đáp án đúng: "(0.044, 0.096)". Coi hai tỷ lệ là hai tỷ lệ mẫu p̂₁ = 0.53 và p̂₂ = 0.46, mỗi tỷ lệ tính trên n = 2020 người, khoảng tin cậy cho p₁ − p₂ là (p̂₁ − p̂₂) ± z₀.₀₅·√(p̂₁(1 − p̂₁)/n + p̂₂(1 − p̂₂)/n). Sai số chuẩn là √(0.53·0.47/2020 + 0.46·0.54/2020) ≈ 0.01569, nhân với z₀.₀₅ = 1.64 được biên sai số ≈ 0.0257, nên khoảng là 0.07 ± 0.0257 = (0.044, 0.096). Khoảng "(0.039, 0.101)" có biên ≈ 0.031 = 1.96·0.01569, tức khoảng 95% chứ không phải 90%. Khoảng "(0.023, 0.105)" lệch tâm, trung điểm 0.064 không bằng p̂₁ − p̂₂ = 0.07. Khoảng "(0.050, 0.088)" có biên chỉ 0.019, quá hẹp so với 1.64·0.01569. Vì đã có khoảng khớp nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "None of the other choices is correct". Hồi quy y theo x dùng β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Với n = 8: Sxx = 32894 − 492²/8 = 32894 − 30258 = 2636; Sxy = 21087 − 492·379/8 = 21087 − 23308.5 = −2221.5; β̂₁ = −2221.5/2636 = −0.8428. Trung bình x̄ = 61.5, ȳ = 47.375, nên β̂₀ = 47.375 + 0.8428·61.5 = 47.375 + 51.829 = 99.204. Vì β̂₁ âm và x̄ dương, tung độ gốc phải lớn hơn ȳ = 47.375. "15.439" nhỏ hơn 47.375 nên trái với dấu của hệ số góc. "21.146" cũng nhỏ hơn ȳ, sai cùng lý do. "63.647" chỉ đúng nếu hệ số góc là −0.2646, khác xa −0.8428 tính từ dữ liệu. "97.871" gần nhất nhưng ứng với hệ số góc −0.821 chứ không phải −0.8428, và lệch 99.204 hơn 1.3 đơn vị, không phải sai số làm tròn. Không giá trị số nào bằng 99.204 nên chọn phương án không có kết quả đúng.

Đáp án đúng: "0.406". Bảng cho điểm tiếng Anh X của năm sinh viên là 5, 6, 7, 4, 9 và điểm tiếng Trung Y là 6, 8, 5, 6, 9. Trung bình x̄ = 31/5 = 6.2, nên Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 1.44 + 0.04 + 0.64 + 4.84 + 7.84 = 14.8. Với σ = 1.56, se(β̂₁) = √(σ²/Sₓₓ) = √(2.4336/14.8) = √0.16443 ≈ 0.406. Giá trị "0.632" chỉ đạt được nếu Sₓₓ ≈ 6.09, giá trị "0.714" ứng với Sₓₓ ≈ 4.77, còn "0.831" ứng với Sₓₓ ≈ 3.52; cả ba đều nhỏ hơn nhiều so với tổng bình phương độ lệch thật 14.8 tính từ bảng, nên không khớp số liệu. Lưu ý chỉ dùng cột X để tính Sₓₓ; cột Y chỉ cần cho Sxy và độ dốc β̂₁ = 7.2/14.8 ≈ 0.486, không tham gia vào sai số chuẩn của độ dốc khi σ đã cho.

Đáp án đúng: "0.38". Kiểm định hệ số chặn (y-intercept) dùng t₀ = (β̂₀ − β₀,₀)/se(β̂₀). Trong bảng, hàng Intercept cho Coefficients = 7.895 và Standard Error = 3.66, còn giá trị giả thuyết là 6.5, nên t₀ = (7.895 − 6.5)/3.66 = 1.395/3.66 ≈ 0.38, so với phân phối t có n − 2 = 48 bậc tự do. Giá trị "2.13" không khớp hàng Intercept: ngay cả thống kê cho giả thuyết hệ số chặn bằng 0 cũng là 7.895/3.66 ≈ 2.16, còn với mốc 6.5 thì chỉ là 0.38. Giá trị "0.73" không suy ra được từ hàng Intercept: muốn ra số này thì sai số chuẩn phải vào khoảng 1.9, chỉ bằng khoảng một nửa con số 3.66 trong bảng. Giá trị "0.11" cũng không khớp, nó đòi hiệu số tử số chỉ khoảng 0.4 thay vì 1.395. Hàng X-Variable 1 với 0.957 và 0.21 là của độ dốc, không dùng ở đây. Có số đúng nên "None of the other choice is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "the change in Y which the model predicts for a unit change in X". Trong mô hình hồi quy tuyến tính đơn Y = β₀ + β₁X + ε, hệ số góc (slope) β₁ là lượng thay đổi của giá trị dự báo E(Y) khi X tăng thêm một đơn vị; ước lượng của nó là β̂₁ = Sxy/Sxx. "the change in X which the model predicts for a unit change in Y" đảo vai hai biến: mô hình hồi quy Y theo X không dự báo X, và hệ số của hồi quy ngược X theo Y nói chung khác 1/β̂₁. "the value of Y for any given value of X" là cả phương trình dự báo ŷ = β̂₀ + β̂₁x chứ không riêng hệ số góc. "the ratio Y/X" sai vì hệ số góc là tỉ số các độ thay đổi ΔY/ΔX; Y/X chỉ trùng với nó khi đường thẳng đi qua gốc toạ độ. "None of the other choices is correct" sai vì đã có mô tả đúng.