Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 2

Đáp án đúng: "0.45". Phân phối mũ (exponential distribution) có hàm sống sót P(X > x) = e^(−λx). Với λ = 0.00004 và x = 20000 thì λx = 0.8, nên P(X ≥ 20000) = e^(−0.8) ≈ 0.4493, làm tròn 0.45. Thời gian sống trung bình là 1/λ = 25000 giờ, nên xác suất sống quá 20000 giờ dưới một nửa một chút là hợp lý. Giá trị "0.55" là 1 − 0.45, tức xác suất laser hỏng trước 20000 giờ, đúng là phần bù của điều cần tìm. Giá trị "0.65" ứng với λx ≈ 0.43, tức mốc thời gian chỉ khoảng 10800 giờ, không phải 20000. Giá trị "0.74" ứng với λx ≈ 0.3, tức chỉ khoảng 7500 giờ, càng xa mốc bài cho. Đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.75". X phân phối đều trên (0, 2) với mật độ 0.5 (và bằng 0 ngoài khoảng đó). Với biến liên tục, xác suất là diện tích dưới đường mật độ, ở đây là hình chữ nhật cao 0.5, rộng từ 0 tới 1.5: P(X < 1.5) = ∫ 0.5 dx từ 0 tới 1.5 = 0.5·1.5 = 0.75. "0.25" là P(X > 1.5) = 0.5·(2 − 1.5), tức phần bù của biến cố cần tìm. "0.5" là chính giá trị mật độ f(x), hoặc là P(X < 1), không phải diện tích tới 1.5; mật độ không phải xác suất. "0" là xác suất tại đúng một điểm P(X = 1.5) của biến liên tục, không phải xác suất của cả một khoảng. "None of the other choice is correct" sai vì 0.75 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.9817". Với biến liên tục có hàm phân phối F, P(a < X < b) = F(b) − F(a), và xác suất tại từng điểm bằng 0 nên dấu bằng ở hai đầu không quan trọng. Ở đây F(1) = 1 − e^(−4) ≈ 1 − 0.0183 = 0.9817 và F(−1) = 0 vì −1 ≤ 0, nên P(−1 < X < 1) = 0.9817 − 0 = 0.9817. Phần âm của khoảng không đóng góp gì vì X chỉ nhận giá trị dương (đây là phân phối mũ với λ = 4). "0.0183" sai vì đó là e^(−4) = P(X > 1), xác suất phần đuôi bên phải 1. "0.5655" sai vì không khớp với F(1) − F(−1); nó sẽ chỉ ra nếu tham số mũ khoảng 0.83 thay vì 4. "0.4345" sai vì đó là 1 − 0.5655, cũng không xuất phát từ hàm F đã cho. "None of the other choices is correct" sai vì 0.9817 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "1". Kỳ vọng có tính tuyến tính: với mọi hằng số a, b thì E(aX + b) = aE(X) + b, không cần biết phân phối của X. Thay a = 3, b = 1, E(X) = 0: E(3X + 1) = 3·0 + 1 = 1. "3" chỉ là hệ số a, quên rằng a phải nhân với E(X) = 0 nên 3·E(X) = 0. "4" là cộng 3 + 1, coi như E(X) = 1. "2" không ứng với phép thay số nào đúng của công thức tuyến tính. Lưu ý tính tuyến tính này khác với phương sai, nơi V(aX + b) = a²V(X) và hằng số b biến mất. Vì 1 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" sai.

Đáp án đúng: "1.33". Lưu lượng thật X có phân phối đều liên tục (uniform) trên [a, b] = [9.5, 13.5], nên V(X) = (b − a)²/12 = (13.5 − 9.5)²/12 = 16/12 = 1.33 và kỳ vọng E(X) = (9.5 + 13.5)/2 = 11.5. Mức cài đặt 10 gallon mỗi phút không tham gia vào phép tính vì máy thực tế bơm theo khoảng 9.5 tới 13.5. "8.33" là 10²/12, dùng nhầm mức cài đặt 10 thay cho độ dài khoảng b − a = 4. "44.08" là (9.5 + 13.5)²/12 = 529/12, lấy tổng hai đầu mút thay vì hiệu. "0.75" là 3²/12, ứng với một khoảng dài 3 đơn vị chứ không phải 4, nên quá nhỏ. Đã tính được 1.33 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.6554". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (32 − 30)/5 = 0.4, nên P(X < 32) = P(Z < 0.4) = 0.6554 theo số liệu đã cho. Phương án "0.3446" là 1 − 0.6554 = P(X > 32), ngược chiều câu hỏi. Phương án "0.5793" là P(Z < 0.2), ứng với z = 0.2, tức đã chia độ lệch 2 cho 10 thay vì cho σ = 5. Phương án "0.4207" là 1 − 0.5793, mắc cả lỗi z = 0.2 lẫn lỗi lấy phần bù. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.6554 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "68%". Chuẩn hoá bằng Z = (X − μ)/σ với μ = 2.6, σ = 0.4: với X = 2.2 thì Z = (2.2 − 2.6)/0.4 = −1, với X = 3 thì Z = (3 − 2.6)/0.4 = 1. Vậy P(2.2 < X < 3) = P(Z < 1) − P(Z < −1) = 0.8413 − 0.1613 = 0.68, tức 68%. Số liệu cho P(Z < −1) = 0.1613 hơi lệch bảng chuẩn 0.1587; dùng bảng chuẩn thì được 0.6826, vẫn là khoảng 68% theo quy tắc thực nghiệm (empirical rule) một độ lệch chuẩn quanh trung bình. Giá trị "84.13%" là P(Z < 1), chỉ là xác suất GPA dưới 3, quên trừ phần dưới 2.2. Giá trị "99.7%" là tỷ lệ trong ba độ lệch chuẩn, ứng với khoảng 1.4 đến 3.8. Giá trị "89%" không ứng với khoảng nào trong số liệu đã cho. Vì 68% có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "None of the other choices is correct". Poisson với λ = 140 lớn nên xấp xỉ chuẩn với μ = 140 và σ = √140 = 11.83. Vì X rời rạc, P(X < 130) = P(X ≤ 129), hiệu chỉnh liên tục lấy mốc 129.5: z = (129.5 − 140)/11.83 = −0.89, nên P(X < 130) ≈ P(Z < −0.89) = 0.1867, đúng giá trị dòng gợi ý cho. Kết quả phải nhỏ hơn 0.5 vì 130 nằm dưới trung bình. "0.6293" là P(Z < 0.33) trong dòng gợi ý, ứng với một z dương, không phải vùng bên trái trung bình. "0.5122" là giá trị ghi cho P(Z < 0.5) trong dòng gợi ý (bảng chuẩn thực tế là 0.6915), cũng lớn hơn 0.5 nên không thể là xác suất dưới 130. "0.8413" là P(Z < 1), ứng với điểm cao hơn trung bình một độ lệch chuẩn. "0.9332" là P(Z < 1.5), càng xa vùng cần tính. Không phương án số nào bằng 0.1867, nên chọn phương án không có kết quả đúng.

Đáp án đúng: "14.59". Phương sai mẫu s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Trung bình x̄ = (88.2 + 93.8 + 86.5)/3 = 268.5/3 = 89.5. Các độ lệch là −1.3, 4.3 và −3, bình phương lần lượt 1.69, 18.49 và 9, tổng 29.18. Chia cho n − 1 = 2 được s² = 14.59. Giá trị "3.82" là độ lệch chuẩn mẫu s = √14.59, không phải phương sai. Giá trị "18.34" lớn hơn phương sai thật và không khớp công thức: tổng bình phương độ lệch 29.18 chia cho 2 hay cho 3 đều không ra 18.34, và nó cũng khác bình phương độ lệch lớn nhất 4.3² = 18.49. Giá trị "4.26" cũng không khớp; ngay cả phương sai tổng thể chia cho n = 3 cũng chỉ ra 29.18/3 ≈ 9.73, còn phương sai mẫu thì phải chia cho 2 để bù cho việc dùng x̄ thay μ.

Đáp án đúng: "10". Trung bình mẫu (sample mean) x̄ = Σxᵢ/n. Tổng dữ liệu 25 + 11 + 6 + 4 + 2 + 17 + 9 + 6 = 80, có n = 8 giá trị, nên x̄ = 80/8 = 10. Giá trị "8" là số quan sát n, không phải trung bình. Giá trị "7" gần trung vị: sắp xếp được 2, 4, 6, 6, 9, 11, 17, 25, trung vị là (6 + 9)/2 = 7.5; trung vị nhỏ hơn trung bình ở đây vì giá trị 25 kéo trung bình lên (dữ liệu lệch phải). Giá trị "3" quá nhỏ so với tâm dữ liệu, chỉ có hai quan sát 2 và 4 nằm dưới mức này nên nó không thể là trung bình. Mốt (mode) của dữ liệu là 6, cũng khác 10. Đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "20". Đọc biểu đồ thân–lá (stem and leaf): thân 0 với các lá 5, 5, 6 cho các số 5, 5, 6; thân 1 với các lá 1, 4, 6, 2, 3 cho 11, 14, 16, 12, 13; thân 2 với các lá 0, 2, 1 cho 20, 22, 21. Sắp tăng dần 11 số: 5, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22. Tứ phân vị thứ ba nằm ở vị trí 0.75(n + 1) = 0.75·12 = 9, giá trị thứ 9 là 20; đó cũng là trung vị của nửa trên 14, 16, 20, 21, 22. "13" là trung vị Q₂ ở vị trí thứ 6. "6" là tứ phân vị thứ nhất Q₁ ở vị trí thứ 3. "14" là giá trị thứ 7, chưa tới vị trí 9. "15" là trung bình của 14 và 16, ứng với cách chia dãy sai. "22" là giá trị lớn nhất, không phải tứ phân vị.

Đáp án đúng: "12%". Tần suất tương đối (relative frequency) của một khoảng bằng số quan sát rơi vào khoảng đó chia cho tổng số quan sát. Bảng có 5 hàng × 10 cột = 50 giá trị; đếm các số từ 90 tới dưới 100: hàng một có 98 và 97, hàng hai có 96 và 97, hàng ba có 96, hàng bốn không có, hàng năm có 97, tổng cộng 6 giá trị. Vậy tần suất tương đối = 6/50 = 0.12 = 12%. "10%" sai vì ứng với 5/50, tức bỏ sót một trong sáu giá trị. "60%" sai vì lấy nhầm 6 chia cho 10 (số cột) thay vì chia cho 50 quan sát. "50%" sai vì nửa dữ liệu là 25 giá trị, trong khi khoảng này chỉ có 6. "None of the other choices" sai vì 12% có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "Both (i) and (ii)". Ba tứ phân vị (quartiles) chia dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau: Q1 là phân vị thứ 25, Q2 là phân vị thứ 50, Q3 là phân vị thứ 75. Tứ phân vị thứ hai Q2 có khoảng một nửa số quan sát nằm dưới nó, đúng định nghĩa của trung vị (median), nên điểm của người dự tuyển ở Q2 vừa là phân vị thứ 50 vừa là trung vị; cả (i) và (ii) đều đúng. "(i)" chỉ nêu một nửa sự thật, bỏ sót rằng Q2 cũng chính là trung vị. "(ii)" cũng chỉ nêu một nửa, bỏ sót rằng trung vị trùng với phân vị thứ 50. Vì có phương án gồm cả hai ý đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.45". Độ lệch chuẩn của trung bình mẫu (standard error) là σ_x̄ = σ/√n; đề cho phương sai σ² = 20 nên σ = √20 = 4.4721, và σ_x̄ = 4.4721/√100 = 4.4721/10 = 0.447 ≈ 0.45. Kỳ vọng μ = 16 chỉ cho biết tâm của phân phối x̄ (E(x̄) = 16), không ảnh hưởng tới độ lệch chuẩn. "0.2" là σ²/n = 20/100, tức phương sai của x̄, quên lấy căn. "0.16" là 16/100, dùng nhầm μ thay cho σ. "0.02" là 20/1000, tức σ²/n đem chia thêm √n = 10 một lần nữa. Đã có 0.45 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Với n = 100, theo định lý giới hạn trung tâm x̄ xấp xỉ chuẩn N(16; 0.2) dù tổng thể có thể không chuẩn.

Đáp án đúng: "0.4562". Hai mẫu độc lập lấy từ tổng thể chuẩn nên X̄₁ − X̄₂ có phân phối chuẩn với trung bình μ₁ − μ₂ = 75 − 70 = 5 và phương sai σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂ = 64/16 + 144/9 = 4 + 16 = 20, độ lệch chuẩn √20 = 4.472. Chuẩn hoá: Z = (5.5 − 5)/4.472 = 0.11, nên P(X̄₁ − X̄₂ > 5.5) = 1 − P(Z < 0.11) = 1 − 0.5438 = 0.4562. Phương án "0.5438" là P(X̄₁ − X̄₂ < 5.5), quên lấy phần bù cho dấu >. Phương án "0.6438" không ứng với bước tính nào. Phương án "1" sai vì 5.5 lớn hơn trung bình 5 nên xác suất vượt 5.5 phải nhỏ hơn 0.5. Phương án "None of the others" sai vì 0.4562 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.0228". Trung bình của 100 điểm có kỳ vọng μ = 79 và sai số chuẩn σ/√n = 5/√100 = 0.5; với n = 100 lớn, theo định lý giới hạn trung tâm x̄ xấp xỉ chuẩn. Chuẩn hoá: Z = (80 − 79)/0.5 = 2, nên P(x̄ > 80) = 1 − P(Z < 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228. Giá trị "0.4772" là 0.9772 − 0.5, tức P(0 < Z < 2), xác suất x̄ nằm giữa 79 và 80 chứ không phải vượt 80. Giá trị "0.3707" và "0.1293" không khớp với Z = 2; lưu ý nếu quên chia cho √n thì Z = (80 − 79)/5 = 0.2 và xác suất vượt 80 là 1 − 0.5793 = 0.4207, đó là xác suất cho một người chơi riêng lẻ chứ không phải cho trung bình của 100 người, và cũng không trùng với hai giá trị này. Vì 0.0228 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "We are 97% confident that the average total compensation of all CEOs in the Service industry falls in the interval 2181260 to 5836180.". Khoảng tin cậy ước lượng một tham số của tổng thể, ở đây là trung bình μ thu nhập của mọi CEO ngành dịch vụ; 97% là độ tin cậy của phương pháp, nghĩa là nếu lặp lại việc lấy mẫu 18 CEO nhiều lần thì khoảng 97% số khoảng dựng được sẽ chứa μ. "the mean of the sampled CEOs falls in the interval" sai vì trung bình mẫu x̄ đã biết chắc và luôn nằm đúng tâm khoảng, không cần độ tin cậy nào. "97% of them will have total compensations that fall in the interval" sai vì đó là phát biểu về từng cá nhân trong tổng thể, tức một khoảng dung sai, còn khoảng tin cậy chỉ nói về trung bình. "97% of the sampled total compensation values fell between" sai vì nó mô tả tỉ lệ quan sát trong mẫu, trong khi khoảng cho trung bình thường hẹp hơn nhiều so với độ trải của từng giá trị.

Đáp án đúng: "(77.30; 85.70)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 25 nên dùng khoảng tin cậy t: x̄ ± t(0.025, 24)·s/√n. Sai số biên E = 2.06·10.2/√25 = 2.06·2.04 = 4.2024, nên khoảng là 81.5 − 4.2024 = 77.2976 tới 81.5 + 4.2024 = 85.7024, làm tròn (77.30; 85.70). Một khoảng tin cậy cho μ luôn nhận x̄ = 81.5 làm tâm. Khoảng "(56.12, 78.34)" có tâm 67.23 và không chứa 81.5. Khoảng "(87.12, 98.32)" nằm hẳn bên phải x̄, tâm 92.72. Khoảng "(66.35, 69.89)" vừa lệch tâm vừa quá hẹp, rộng chỉ 3.54 so với độ rộng đúng 8.40. Vì có khoảng đúng nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "(71.6%, 86.5%)". Khoảng tin cậy cho tỉ lệ dùng p̂ ± z(α/2)·√(p̂(1−p̂)/n). Ở đây p̂ = 64/81 ≈ 0.7901, sai số chuẩn √(0.7901·0.2099/81) ≈ 0.04525; mức 90% dùng z₀.₀₅ = 1.645 nên biên sai số 1.645·0.04525 ≈ 0.0744. Khoảng là 0.7901 ± 0.0744 = (0.7157, 0.8646), tức khoảng (71.6%, 86.5%). Khoảng "(70.1%, 87.9%)" là kết quả khi dùng 1.96, tức khoảng 95%, rộng hơn mức tin cậy được hỏi. Khoảng "(67.4%, 90.7%)" còn rộng hơn, ứng với hệ số khoảng 2.576 của mức 99%. Khoảng "(73.0%, 85.0%)" quá hẹp, biên sai số chỉ khoảng 6 điểm phần trăm, nhỏ hơn 1.645 lần sai số chuẩn tính được. Có khoảng đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "(ii)". Lời khẳng định "at least 2000 ml" nghĩa là μ ≥ 2000, chứa dấu bằng nên được đặt vào giả thuyết không, viết gọn H₀: μ = 2000; giả thuyết đối là điều cần có bằng chứng để bác lời khẳng định, tức thể tích trung bình thiếu: H₁: μ < 2000 (kiểm định một phía trái). Đó đúng là cặp (ii). "(i)" có H₁: μ > 2000, cùng chiều với lời khẳng định, nên dù bác H₀ cũng không cho thấy chai bị thiếu; cặp này dùng khi lời khẳng định là "nhiều hơn 2000". "(iii)" đặt H₀: μ < 2000 và H₁: μ ≥ 2000, sai vì H₀ phải chứa dấu bằng còn H₁ thì không. "(iv)" có H₀: μ > 2000 không chứa dấu bằng và H₁: μ ≤ 2000 lại chứa dấu bằng, đảo vai trò của hai giả thuyết.