Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 2

Đáp án đúng: "descriptive statistics.". Thống kê mô tả (descriptive statistics) gồm các phương pháp thu thập, trình bày và tóm tắt một tập dữ liệu, chẳng hạn bảng tần số, biểu đồ, trung bình, độ lệch chuẩn, để mô tả đúng các đặc điểm của chính tập dữ liệu đó. Định nghĩa trong câu hỏi nói rõ mục đích là "describe the various features of that set of data", tức chỉ nói về dữ liệu đang có. "statistical inference." là thống kê suy diễn, dùng dữ liệu mẫu để rút ra kết luận hay ước lượng về tổng thể lớn hơn, kèm mức bất định, nên vượt ra ngoài việc mô tả. "sampling." là việc chọn ra một phần của tổng thể để nghiên cứu, một bước trong thu thập dữ liệu chứ không phải toàn bộ nhóm phương pháp trình bày và mô tả. "the scientific method." là quy trình nghiên cứu chung (đặt câu hỏi, giả thuyết, thử nghiệm, kết luận), không riêng về tổ chức và mô tả số liệu.

Đáp án đúng: "observation.". Quan sát (observation) là cách thu thập dữ liệu bằng việc ghi nhận đối tượng trong môi trường tự nhiên của chúng, nhà nghiên cứu không can thiệp và đối tượng thường không biết mình đang được theo dõi, nhờ vậy hành vi không bị thay đổi bởi sự có mặt của người đo. Lựa chọn "experiments." sai vì trong thí nghiệm nhà nghiên cứu chủ động áp đặt điều kiện hay xử lý (treatment) lên đối tượng rồi đo phản ứng, nên đối tượng không còn ở trạng thái tự nhiên. Lựa chọn "retrospective" chỉ nghiên cứu hồi cứu, dùng dữ liệu hay hồ sơ đã có từ quá khứ chứ không theo dõi đối tượng ngay lúc chúng đang hoạt động. Vì quan sát đúng là phương pháp được mô tả nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "the set of all possible outcomes of an activity or experiment". Không gian mẫu (sample space), ký hiệu S, là tập hợp mọi kết quả có thể của một phép thử; ví dụ tung một con xúc xắc thì S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mỗi tập con của S gọi là một biến cố. Mô tả "a repeatable process, or activity, with a number of possible outcomes" là định nghĩa của phép thử ngẫu nhiên (random experiment), tức chính hoạt động sinh ra kết quả, chứ không phải tập kết quả. Mô tả "a collection of one or more possible outcomes from an activity" là định nghĩa của biến cố (event), một tập con của không gian mẫu, ví dụ biến cố "ra số chẵn" = {2, 4, 6}. Ba khái niệm này đi liền nhau: phép thử sinh ra kết quả, toàn bộ kết quả tạo nên không gian mẫu, còn biến cố là một phần của không gian mẫu đó.

Đáp án đúng: "{BG, GB, GG}". Lấy lần lượt hai điện thoại nên mỗi kết quả là một cặp có thứ tự (máy thứ nhất, máy thứ hai), mỗi máy là G nếu hoạt động tốt, còn lại là máy hỏng; không gian mẫu gồm bốn kết quả GG, GB, BG, BB. Biến cố "ít nhất một máy hoạt động tốt" chứa mọi kết quả có ít nhất một chữ G, tức là tất cả trừ trường hợp cả hai máy đều hỏng, nên tập đúng gồm BG, GB và GG. "{GB}" chỉ là một kết quả (máy đầu tốt, máy sau hỏng), bỏ sót trường hợp máy đầu hỏng máy sau tốt và trường hợp cả hai tốt. "{GG}" là biến cố "cả hai máy đều tốt", hẹp hơn "ít nhất một máy tốt". "{BB}" là biến cố đối của biến cố cần tìm: cả hai máy đều hỏng, không có máy nào tốt.

Đáp án đúng: "0.75". Bốn kết quả đồng khả năng nên mỗi kết quả có xác suất 1/4. Hợp A ∪ B = {a, b, c} gồm 3 kết quả, nên P(A ∪ B) = 3/4 = 0.75; kiểm lại bằng quy tắc cộng P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.5 + 0.5 − 0.25 = 0.75, với A ∩ B = {a}. "1.0" sai vì đó là cộng thẳng 0.5 + 0.5 mà quên trừ phần giao {a}, tức đếm kết quả a hai lần. "0.6" sai vì với bốn kết quả đồng khả năng, xác suất mọi biến cố đều là bội của 0.25, nên không thể bằng 0.6. "0.016" sai vì A ∪ B chứa A nên xác suất của nó ít nhất bằng P(A) = 0.5. "None of the other choices is correct" sai vì 0.75 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.69". Bảng cho tỉ lệ theo hai biến: hàng có con đang học đại học gồm 0.35 (gánh nặng vay quá cao), 0.08 (vừa phải), 0.01 (quá ít); hàng không có con gồm 0.25, 0.2, 0.11. Dùng quy tắc cộng P(D ∪ A) = P(D) + P(A) − P(D ∩ A), với D là có con đang học đại học và A là cho rằng gánh nặng quá cao. P(D) = 0.35 + 0.08 + 0.01 = 0.44; P(A) = 0.35 + 0.25 = 0.60; P(D ∩ A) = 0.35; vậy P = 0.44 + 0.60 − 0.35 = 0.69, cũng bằng 1 trừ hai ô ngoài hợp (0.2 và 0.11). "0.44" chỉ là P(D), bỏ phần người không có con nhưng thấy quá cao. "0.6" chỉ là P(A), bỏ phần người có con nhưng không thấy quá cao. "0.56" là P(không có con) = 0.25 + 0.2 + 0.11, là biến cố khác hẳn.

Đáp án đúng: "0.195". Đây là xác suất có điều kiện khi rút không hoàn lại (without replacement): sau khi chip thứ nhất là chip hỏng, lô còn 149 chip trong đó 29 chip hỏng, nên P(chip thứ hai hỏng | chip thứ nhất hỏng) = 29/149 = 0.1946 ≈ 0.195. Cũng ra kết quả này từ định nghĩa P(H₂|H₁) = P(H₁∩H₂)/P(H₁) = (30/150·29/149)/(30/150). "0.2" là 30/150, xác suất chip thứ nhất hỏng, và cũng là đáp số nếu rút có hoàn lại; ở đây lô đã mất một chip hỏng nên tỉ lệ giảm. "0.039" là 30/150·29/149 = 0.0389, xác suất cả hai chip cùng hỏng, tức xác suất giao chứ không phải xác suất có điều kiện. "0.8" là 120/150, xác suất chip thứ nhất tốt, không liên quan tới câu hỏi.

Đáp án đúng: "0.70". Theo công thức xác suất toàn phần, P(nói thật) = P(nam)·P(nói thật | nam) + P(nữ)·P(nói thật | nữ) = 0.47·0.78 + 0.53·0.63 = 0.3666 + 0.3339 = 0.7005 ≈ 0.70. Đây là trung bình có trọng số của 0.78 và 0.63 nên phải nằm giữa hai số này. Phương án "0.78" chỉ là xác suất nói thật của nam, bỏ qua nhóm nữ chiếm 53%. Phương án "0.49" là tích 0.78·0.63 = 0.4914, coi nhầm như xác suất cả hai cùng nói thật; nó nhỏ hơn 0.63 nên không thể là trung bình có trọng số. Phương án "0.52" cũng nhỏ hơn 0.63, vì thế không thể là xác suất toàn phần của hai nhóm có tỉ lệ nói thật 0.63 và 0.78.

Đáp án đúng: "0.5". Với hai biến cố A, B độc lập thì P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Kết hợp với quy tắc cộng P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ta có 0.7 = 0.4 + P(B) − 0.4·P(B) = 0.4 + 0.6·P(B), suy ra P(B) = 0.3/0.6 = 0.5. Kiểm tra lại: 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7. Giá trị "0.3" là 0.7 − 0.4, đúng khi hai biến cố xung khắc (P(A ∩ B) = 0), trái với giả thiết độc lập vì hai biến cố có xác suất dương thì không thể vừa độc lập vừa xung khắc. Giá trị "0.6" là 1 − P(A), tức xác suất của biến cố đối của A, không liên quan đến B. Giá trị "0.55" cho 0.4 + 0.55 − 0.22 = 0.73, không khớp P(A U B) = 0.7.

Đáp án đúng: "0.4". Dùng định lý Bayes: chọn túi ngẫu nhiên nên P(A) = P(B) = 0.5, với P(W|A) = 15/25 = 0.6 và P(W|B) = 10/25 = 0.4. Xác suất toàn phần lấy được bi trắng là P(W) = 0.5·0.6 + 0.5·0.4 = 0.5. Do đó P(B|W) = P(W|B)·P(B)/P(W) = 0.5·0.4/0.5 = 0.4. Trực giác: túi A chứa nhiều bi trắng hơn, nên khi đã thấy bi trắng thì khả năng nó từ túi B giảm xuống dưới mức 0.5 ban đầu. "0.5" là xác suất tiên nghiệm chọn túi B, bỏ qua thông tin quả bóng là màu trắng. "0.6" là P(A|W), xác suất bi trắng đến từ túi A, tức đảo ngược túi được hỏi. "0.7" vượt cả tỉ lệ bi trắng trong túi A, không ứng với bước nào của Bayes. Lưu ý không nhầm P(B|W) với P(W|B): ở đây hai số tình cờ bằng nhau (0.4) vì P(B) = P(W) = 0.5, nhưng nói chung chúng khác nhau.

Đáp án đúng: "... has a countable infinite range.". Câu hỏi tìm phát biểu KHÔNG đúng về biến ngẫu nhiên liên tục. Biến liên tục nhận giá trị trên cả một khoảng số thực, và một khoảng như vậy là tập vô hạn không đếm được (uncountable); miền giá trị vô hạn đếm được như 0, 1, 2, … là đặc trưng của biến rời rạc như Poisson hay hình học, nên phát biểu này sai và là đáp án. Phát biểu "...takes an infinite number of possible values." đúng vì giữa hai giá trị bất kỳ luôn có vô số giá trị khác. Phát biểu "...is usually about measurement." đúng vì biến liên tục thường đến từ phép đo như chiều dài, thời gian, khối lượng, khác với biến rời rạc thường đến từ phép đếm. Phát biểu "... is quantitative data." đúng vì giá trị của nó là số có ý nghĩa đo lường, thuộc loại dữ liệu định lượng.

Đáp án đúng: "Integers from 1 to 291". Biến ngẫu nhiên X là số chi tiết phải lấy (không hoàn lại) cho tới khi gặp chi tiết không đạt đầu tiên. Ít nhất phải lấy 1 chi tiết, khi chi tiết đầu đã không đạt. Lô có 300 − 10 = 290 chi tiết đạt, nên trường hợp xấu nhất là lấy hết 290 chi tiết đạt trước, và lần thứ 291 chắc chắn ra chi tiết không đạt; vậy miền giá trị là các số nguyên 1, 2, …, 291. Miền "Integers from 0 to 10" và "Integers from 1 to 10" nhầm X với số chi tiết không đạt, trong khi bài đếm số lần lấy. Miền "Integers from 0 to 300" vừa sai cận dưới (không thể lấy 0 chi tiết mà đã gặp chi tiết không đạt) vừa sai cận trên. Miền "Integers from 1 to 300" đúng cận dưới nhưng 300 không thể xảy ra, vì sau 291 lần chắc chắn đã gặp chi tiết không đạt và việc lấy dừng lại.

Đáp án đúng: "0.0486". X rời rạc chỉ nhận các giá trị nguyên 0, 1, 2, 3, 4, nên biến cố 2 ≤ X < 3 chỉ chứa đúng một giá trị là X = 2: P(2 ≤ X < 3) = f(2) = 0.0486. Dấu nhỏ hơn hẳn ở cận trên loại X = 3 khỏi biến cố, còn dấu nhỏ hơn hoặc bằng ở cận dưới giữ X = 2. "0.0522" là f(2) + f(3) = 0.0486 + 0.0036, tức P(2 ≤ X ≤ 3), đã tính nhầm cận trên thành có dấu bằng. "0.7084" là 1 − f(1) = 1 − 0.2916, tức P(X ≠ 1), không phải đoạn cần tìm. "0.6875" không bằng tổng f(x) nào trên đoạn từ 2 tới dưới 3; đoạn đó chỉ chứa một số nguyên nên xác suất không thể vượt f(2). "None of the other choices is correct" sai vì 0.0486 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.2". Hàm phân phối tích luỹ của biến rời rạc là hàm bậc thang: đồ thị cho F(x) = 0 khi x < 1, nhảy lên 0.2 tại x = 1 (chấm rỗng ở mức 0, đoạn ngang mức 0.2 bắt đầu từ 1), giữ 0.2 trên [1, 3), rồi nhảy lên 1 tại x = 3 (chấm rỗng ở mức 0.2). Độ cao bước nhảy là xác suất điểm: P(X = 1) = 0.2 và P(X = 3) = 0.8. Khoảng 0.5 < X < 3 có bất đẳng thức chặt ở 3 nên chỉ chứa giá trị 1, do đó P(0.5 < X < 3) = F(3⁻) − F(0.5) = 0.2 − 0 = 0.2. "0.8" sai vì đó là khối xác suất tại x = 3, điểm bị loại khỏi khoảng. "0.4" sai vì đồ thị không có bước nhảy nào cao 0.4 và không tổ hợp nào của 0.2, 0.8 trong khoảng cho 0.4. "0.6" sai vì chỉ ra khi lấy nhầm hiệu 0.8 − 0.2 giữa hai bước nhảy. "None of the other choices is correct" sai vì 0.2 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "24". X nhận năm giá trị 0, 1, 2, 3, x với xác suất bằng nhau 1/5, nên E(X) = (0 + 1 + 2 + 3 + x)/5 = (6 + x)/5. Cho E(X) = 6 thì 6 + x = 30, suy ra x = 24; kiểm lại: (0 + 1 + 2 + 3 + 24)/5 = 30/5 = 6. "18" là kết quả khi chia cho 4 thay vì 5 (6·4 − 6 = 18), tức quên đếm giá trị 0. "20" cho trung bình (6 + 20)/5 = 5.2, chưa tới 6. "10" và "4" quá nhỏ: với x = 10 trung bình chỉ là 16/5 = 3.2, với x = 4 trung bình là 2. Vì 24 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "5.0". Kỳ vọng của biến rời rạc là E(X) = Σx·f(x) = 1·(1/3) + 4·(1/3) + 10·(1/3) = 15/3 = 5.0; với phân phối đều rời rạc trên một tập giá trị cho trước, kỳ vọng chính là trung bình cộng các giá trị đó. "5.5" là (1 + 10)/2, áp nhầm công thức (a + b)/2 vốn chỉ đúng cho phân phối đều trên các số nguyên liên tiếp từ a tới b, trong khi ở đây X chỉ nhận ba giá trị 1, 4, 10. "6.0" lớn hơn kỳ vọng thật; muốn trung bình bằng 6 thì tổng ba giá trị phải là 18 chứ không phải 15. "4.0" là giá trị giữa (trung vị) của 1, 4, 10, không phải kỳ vọng; giá trị 10 kéo kỳ vọng lên trên trung vị. Đã có 5.0 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.343". Số cú ném phạt thành công trong 3 lần là biến nhị thức với n = 3, p = 0.7, các lần ném coi như độc lập; xác suất ném trúng cả ba là C(3, 3)·0.7³·0.3⁰ = 0.7³ = 0.343. Toàn bộ phân phối gồm P(X = 0) = 0.027, P(X = 1) = 0.189, P(X = 2) = 0.441, P(X = 3) = 0.343. Phương án "0.09" là 0.3², chỉ là xác suất trượt hai lần cụ thể, không liên quan việc trúng cả ba. Phương án "0.213" không trùng với xác suất nào trong bốn giá trị của phân phối trên. Phương án "0.098" cũng không trùng giá trị nào. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.343 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.027". Số lần bắn cho tới lần trúng đầu tiên tuân theo phân phối hình học (geometric) với p = 0.7. Cần ít nhất bốn phát mới trúng lần đầu nghĩa là ba phát đầu đều trượt, nên P(X ≥ 4) = (1 − 0.7)³ = 0.3³ = 0.027. Giá trị "0.0189" là 0.3³·0.7, tức xác suất trúng lần đầu đúng ở phát thứ tư, chỉ là một phần của biến cố ít nhất bốn phát. Giá trị "0.973" là 1 − 0.027, xác suất trúng trong ba phát đầu, là biến cố đối. Giá trị "0.9919" bằng 1 − 0.3⁴, xác suất trúng trong bốn phát đầu, không phải điều câu hỏi cần. Vì 0.027 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "3". Biến siêu bội (hypergeometric) đếm số phần tử thuộc nhóm K khi rút không hoàn lại n phần tử từ N, có kỳ vọng E(X) = n·K/N, tức n nhân tỉ lệ p = K/N. Thay số: E(X) = 6·5/10 = 3. Ý nghĩa: một nửa tổng thể thuộc nhóm quan tâm nên trung bình một nửa trong sáu phần tử rút ra thuộc nhóm đó. Phương sai mới chịu hệ số hiệu chỉnh (N − n)/(N − 1), còn kỳ vọng thì không. "4" ứng với tỉ lệ 4/6, cao hơn tỉ lệ 5/10 của tổng thể. "1" là giá trị nhỏ nhất X có thể nhận (vì chỉ có 5 phần tử ngoài nhóm, rút 6 thì ít nhất 1 thuộc nhóm), không phải trung bình. "2" ứng với tỉ lệ 2/6, thấp hơn 0.5. "None of the other choices is correct" sai vì 3 có mặt.

Đáp án đúng: "0.1539". Số lần sét đánh trong một năm có phân phối Poisson với λ = 3.9, nên P(X = x) = e^(−λ)λˣ/x!. Với x = 2: P(X = 2) = e^(−3.9)·3.9²/2! = 0.020242·15.21/2 ≈ 0.1539. Giá trị "0.2001" là P(X = 3) = e^(−3.9)·3.9³/3!, tính nhầm sang ba lần sét đánh. Giá trị "0.0128" quá nhỏ, thấp hơn cả P(X = 0) = e^(−3.9) ≈ 0.0202, trong khi 2 nằm gần kỳ vọng 3.9 hơn 0 nên phải có xác suất lớn hơn nhiều. Giá trị "0.2617" vượt quá xác suất lớn nhất của phân phối này (khoảng 0.200 tại x = 3), nên không thể là xác suất tại một giá trị nào. Vì 0.1539 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.