Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 2

Đáp án đúng: "Fail to reject Ho". Kí hiệu N(μ; 100) cho phương sai σ² = 100 nên σ = 10 đã biết, dùng Z₀ = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (113.5 − 110)/(10/√16) = 3.5/2.5 = 1.4. Kiểm định một phía bên phải với H₁: μ > 110 bác H₀ khi Z₀ > z₀.₀₅ = 1.645; vì 1.4 < 1.645 nên không bác H₀ ở mức 5%, tức chênh lệch 3.5 điểm chưa đủ lớn so với độ biến động của trung bình mẫu. "Reject Ho" sai vì muốn bác H₀ thì x̄ phải vượt 110 + 1.645·2.5 ≈ 114.11; nếu hiểu nhầm 100 là độ lệch chuẩn thì Z₀ chỉ còn 0.14, càng không bác được H₀.

Đáp án đúng: "−2.15". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết, n = 29, nên kiểm định trung bình dùng thống kê t: T₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n), có phân phối t với n − 1 = 28 bậc tự do dưới H₀: μ = 1000. Thay số: s/√n = 30/√29 ≈ 5.571; T₀ = (988 − 1000)/5.571 ≈ −2.15. Dấu âm cho biết trung bình mẫu thấp hơn giá trị nhà sản xuất tuyên bố. "1.96" là giá trị tới hạn z(0.025) của kiểm định hai phía ở mức 0.05, không phải giá trị thống kê tính từ dữ liệu. "3.21" và "−1.32" không ra từ phép thay số: chẳng hạn chia cho s mà quên √n sẽ cho −0.4, không phải các số này. Vì −2.15 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "(i)". Cần kiểm tra tỉ lệ ủng hộ ở nhóm trên 55 tuổi có bằng 70% hay không nên đặt H₀: p = 0.7 và H₁: p ≠ 0.7. Tỉ lệ mẫu p̂ = 684/900 = 0.76, trị thống kê z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) = (0.76 − 0.7)/√(0.7·0.3/900) = 0.06/0.015275 = 3.93. Vì |z₀| = 3.93 > z₀.₀₂₅ = 1.96 (và cũng vượt 1.64 nếu làm một phía) nên bác bỏ H₀: tỉ lệ ủng hộ ở nhóm trên 55 tuổi khác 70%, cụ thể là cao hơn. "(ii)" sai cả trị thống kê 3.03 lẫn kết luận không bác bỏ. "(iii)" có kết luận đúng nhưng z₀ = 8.93 sai, lớn gấp hơn hai lần giá trị thay số đúng. "(iv)" có z₀ = 3.93 đúng nhưng kết luận fail to reject mâu thuẫn, vì 3.93 nằm sâu trong miền bác bỏ, p-value gần như bằng 0.

Đáp án đúng: "1.19". Bảng cho nam: trung bình mẫu 64.5 năm, cỡ mẫu 35, độ lệch chuẩn tổng thể 3.0; nữ: 63.6 năm, cỡ mẫu 39, độ lệch chuẩn tổng thể 3.5. Vì đã biết σ nên dùng kiểm định Z cho hiệu hai trung bình: Z₀ = (x̄₁ − x̄₂)/√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) = (64.5 − 63.6)/√(9/35 + 12.25/39) = 0.9/√(0.2571 + 0.3141) = 0.9/0.7558 = 1.19. Phương án "−2.23" có dấu âm, trái với x̄₁ = 64.5 > x̄₂ = 63.6 khi Population 1 là nam. Phương án "−1.78" cũng âm nên bị loại vì cùng lý do, và độ lớn không khớp. Phương án "2.07" dương nhưng quá lớn, nó đòi mẫu số 0.435 thay vì 0.7558. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 1.19 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "two-sample independent t-test". Hai mẫu xe của hai hãng được lấy độc lập, cỡ mẫu nhỏ (n₁ = 5, n₂ = 8), hai tổng thể chuẩn, phương sai chưa biết nhưng giả thiết bằng nhau, và câu hỏi so sánh hai trung bình. Đó đúng là điều kiện của kiểm định t hai mẫu độc lập với phương sai gộp (pooled t-test): t₀ = (x̄₁ − x̄₂)/(s_p·√(1/n₁ + 1/n₂)) với n₁ + n₂ − 2 = 11 bậc tự do. Phương án "two-sample z-test" chỉ dùng khi biết phương sai tổng thể hoặc cỡ mẫu đủ lớn, ở đây chỉ có độ lệch chuẩn mẫu 7.4 và 8.4 trên cỡ mẫu nhỏ. Phương án "two-sample proportion z-test" dành cho so sánh hai tỷ lệ, trong khi dữ liệu là số dặm trên gallon, biến định lượng. Vì đã có kiểm định phù hợp nên "none of the above" không được chọn.

Đáp án đúng: "(−0.043, 0.063)". Khoảng tin cậy cho hiệu hai tỉ lệ: (p̂₁ − p̂₂) ± z(α/2)·√(p̂₁(1 − p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 − p̂₂)/n₂). Ở đây p̂₁ = 10/200 = 0.05, p̂₂ = 8/200 = 0.04, hiệu bằng 0.01. Sai số chuẩn √(0.05·0.95/200 + 0.04·0.96/200) = √(0.0002375 + 0.000192) = 0.02072. Khoảng hai phía 99% dùng z₀.₀₀₅ = 2.58: biên sai 2.58·0.02072 = 0.0535, nên khoảng là 0.01 ± 0.0535 = (−0.0435, 0.0635) ≈ (−0.043, 0.063). Khoảng chứa 0 nên chưa đủ bằng chứng hai máy khác nhau về tỉ lệ lỗi. "(−0.038, 0.058)" dùng z₀.₀₁ = 2.33, tức khoảng 98% hai phía chứ không phải 99%. "(−0.038, 0.063)" ghép cận dưới của khoảng 98% với cận trên của khoảng 99%, không đối xứng quanh 0.01. "(−0.043, 0.058)" cũng ghép lệch như vậy, theo chiều ngược lại. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng đã có.

Đáp án đúng: "85.18 − 1.51x". Bình phương tối thiểu cho b = Sxy/Sxx và a = ȳ − b·x̄. Với x: 12, 15, 20, 25 và y: 69, 60, 55, 48 thì x̄ = 72/4 = 18, ȳ = 232/4 = 58, Sxx = Σx² − n·x̄² = 1394 − 4·324 = 98, Sxy = Σxy − n·x̄·ȳ = 4028 − 4·18·58 = −148. Do đó b = −148/98 ≈ −1.51 và a = 58 + 1.5102·18 ≈ 85.18, nên ŷ = 85.18 − 1.51x. Độ dốc âm hợp lý vì giá cao thì bán được ít bút. Biểu thức "85.18 + 1.51x" sai dấu độ dốc, cho ra quan hệ đồng biến trái với số liệu. Biểu thức "85.18x − 1.51" đổi chỗ hệ số chặn và độ dốc. Biểu thức "85.18x + 1.51" vừa đổi chỗ vừa sai dấu. Vì có mô hình đúng nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "2.700". Tổng bình phương sai số SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)². Thay x vào ŷ = 1.6 + 1.1x được các giá trị dự báo 1.6, 2.7, 3.8, 6.0, 7.1; phần dư (residual) tương ứng là 1 − 1.6 = −0.6, 3 − 2.7 = 0.3, 4 − 3.8 = 0.2, 7 − 6.0 = 1.0, 6 − 7.1 = −1.1. Bình phương lên được 0.36, 0.09, 0.04, 1.00, 1.21, cộng lại SSE = 2.70. Tổng phần dư bằng −0.6 + 0.3 + 0.2 + 1.0 − 1.1 = −0.2, gần 0 như mong đợi với đường bình phương tối thiểu đã làm tròn hệ số. Giá trị "3.018" lớn hơn tổng các bình phương phần dư thực tế, không khớp phép cộng trên. Giá trị "1.837" lại nhỏ hơn tổng đó, và cũng không phải ước lượng phương sai σ̂² = SSE/(n − 2) = 2.7/3 = 0.9. Giá trị "4.550" quá lớn so với các phần dư đều dưới 1.1 về độ lớn. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "1.18". Từ bảng, điểm Toán X của 5 sinh viên là 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5, nên n = 5, x̄ = 34/5 = 6.8 và Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Cột điểm Tài chính Y không cần dùng thêm vì β̂₀ = 3.18 và σ̂ = 1.43 đã cho. Sai số chuẩn của β̂₀ là √(σ̂²(1/n + x̄²/Sₓₓ)) = √(1.43²·(0.2 + 46.24/13.8)) = 1.43·√3.5507 ≈ 2.695. Với β₀,₀ = 0, T₀ = 3.18/2.695 ≈ 1.18. "1.38" ứng với mẫu số khoảng 2.30, tức sai số chuẩn bị tính nhỏ đi. "1.58" ứng với mẫu số khoảng 2.01, còn lệch xa hơn. "1.78" ứng với mẫu số khoảng 1.79, gần như chỉ còn σ̂ nhân một hệ số nhỏ, bỏ mất phần lớn của số hạng x̄²/Sₓₓ.

Đáp án đúng: "a strong linear relationship and as X increases, Y increases". Hệ số tương quan r đo mức độ và chiều của quan hệ tuyến tính: |r| càng gần 1 thì các điểm càng sát một đường thẳng, dấu của r cho chiều. r dương và gần 1 nghĩa là quan hệ tuyến tính mạnh và đồng biến: X tăng thì Y có xu hướng tăng. "a weak linear relationship and as X increases, Y decreases" sai cả hai mặt: r gần 1 là mạnh chứ không yếu, và r dương là đồng biến chứ không nghịch biến. "a weak linear relationship and as X increases, Y increases" đúng chiều nhưng sai mức độ, vì quan hệ yếu ứng với r gần 0. "a strong linear relationship and as X increases, Y decreases" đúng mức độ nhưng sai chiều; nó mô tả r âm và gần −1. "None of the other choices is correct" sai vì đã có mô tả đúng.