Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 4

Đáp án đúng: "0.0183". Với phân phối mũ tham số λ, hàm sống P(X > x) = e^(−λx). Tỷ lệ quạt bền ít nhất 10,000 giờ là P(X ≥ 10000) = e^(−0.0004·10000) = e^(−4) ≈ 0.0183; thời gian trung bình chỉ 1/λ = 2500 giờ nên chỉ rất ít quạt sống được tới 10,000 giờ. Giá trị "0.9817" là 1 − e^(−4) = P(X < 10000), tỷ lệ quạt hỏng trước 10,000 giờ, ngược chiều. Giá trị "0.0498" là e^(−3), ứng với 7,500 giờ chứ không phải 10,000 giờ. Giá trị "0.9502" là 1 − e^(−3), vừa sai mốc thời gian vừa sai chiều.

Đáp án đúng: "0.68". Đơn vị là 100 giờ nên 120 giờ ứng với x = 1.2, và cần P(X < 1.2) = ∫f(x)dx từ 0 tới 1.2, tách theo hai đoạn của hàm mật độ. Đoạn 0 tới 1: ∫x dx = x²/2 = 0.5. Đoạn 1 tới 1.2: ∫(2 − x)dx = [2x − x²/2] từ 1 tới 1.2 = (2.4 − 0.72) − (2 − 0.5) = 1.68 − 1.5 = 0.18. Cộng lại: 0.5 + 0.18 = 0.68. Mật độ hình tam giác đối xứng quanh 1 nên P(X < 1) = 0.5, và kết quả phải lớn hơn 0.5 một ít. "0.76" xấp xỉ P(X < 1.3), tức xác suất dưới 130 giờ, dùng nhầm cận trên. "0.51" quá gần 0.5, gần như bỏ quên đoạn 1 tới 1.2. "0.89" quá lớn: phần diện tích trên 1.2 là (0.8)²/2 = 0.32, nên phần dưới chỉ còn 0.68. "None of the other choices is correct" sai vì 0.68 có mặt.

Đáp án đúng: "(ii)". Với biến liên tục, hàm mật độ là đạo hàm của hàm phân phối tích luỹ: f(x) = F′(x). Đạo hàm của F(x) = 1 − e⁻⁵ˣ là f(x) = 5e⁻⁵ˣ với x > 0, đúng biểu thức (ii); đây là mật độ của phân phối mũ với λ = 5, và tích phân của nó từ 0 tới vô cùng bằng 1. Lựa chọn "(i)" chỉ chép lại F(x), tức hàm phân phối chứ chưa lấy đạo hàm. Lựa chọn "(iii)" là 1 − 5e⁻⁵ˣ, giữ hằng số 1 lẽ ra phải mất khi đạo hàm và sai dấu; tại x = 0 nó cho −4, mật độ không thể âm. Lựa chọn "(iv)" là 0.5 − e⁻⁵ˣ, không phải đạo hàm của F và cũng âm khi x gần 0, nên không thể là hàm mật độ.

Đáp án đúng: "8". Kỳ vọng của biến liên tục là E(X) = ∫x·f(x)dx = ∫ từ −1 tới 2 của x³/3 dx = [x⁴/12] từ −1 tới 2 = (16 − 1)/12 = 1.25. Tính chất tuyến tính của kỳ vọng cho E(4X + 3) = 4E(X) + 3 = 4·1.25 + 3 = 8. Giá trị "9" đòi E(X) = 1.5, tức tích phân x³/3 bị tính sai. Giá trị "10" đòi E(X) = 1.75, càng lệch xa, sát cận trên 2 của miền, điều không thể vì mật độ vẫn có khối lượng trên đoạn âm. Giá trị "7" đòi E(X) = 1, thấp hơn giá trị tích phân đúng 1.25, như thể mật độ không dồn trọng lượng về phía x = 2. Lưu ý chỉ hằng số 3 được cộng nguyên, còn hệ số 4 nhân vào E(X). Có số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "15". X phân phối đều trên (5, 7) với mật độ 0.5, nên E(X) = (5 + 7)/2 = 6, hay tính tích phân ∫ x·0.5 dx từ 5 tới 7 = 0.25·(49 − 25) = 6. Kỳ vọng có tính tuyến tính: E(aX + b) = a·E(X) + b, nên E(2X + 3) = 2·6 + 3 = 15. "6" là E(X), chưa áp phép biến đổi 2X + 3. "12" là 2E(X), quên cộng hằng số 3. "3" chỉ là hằng số, bỏ hẳn phần 2E(X). "4.4" không ứng với phép tính nào ở đây; ngay cả phương sai Var(2X + 3) = 4·Var(X) = 4·(2²/12) ≈ 1.33 cũng khác. "None of the others" sai vì 15 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.57". Do phân phối chuẩn tắc đối xứng quanh 0, P(−a < Z < a) = 2P(Z < a) − 1. Đặt 2P(Z < a) − 1 = 0.4314 được P(Z < a) = (1 + 0.4314)/2 = 0.7157, đối chiếu dữ kiện P(Z < 0.57) = 0.7157 nên a = 0.57. "0.33" sai vì P(−0.33 < Z < 0.33) = 2·0.6293 − 1 = 0.2586, nhỏ hơn 0.4314. "1.49" sai vì P(−1.49 < Z < 1.49) = 2·0.9319 − 1 = 0.8638, quá lớn. "−0.18" sai vì a phải dương để khoảng (−a, a) có nghĩa, và con số P(Z < −0.18) = 0.4286 chỉ gần 0.4314 về chữ số chứ không phải xác suất của khoảng đối xứng. "None of the other choices is correct" sai vì 0.57 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.7745". X có phân phối chuẩn μ = 4.0, σ = 1.0; chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ: với 2.5 thì Z = (2.5 − 4)/1 = −1.5, với 5.0 thì Z = (5 − 4)/1 = 1. Vậy P(2.5 < X < 5.0) = P(−1.5 < Z < 1) = P(Z < 1) − P(Z < −1.5) = 0.8413 − 0.0668 = 0.7745. Các giá trị P(Z < −0.99), P(Z < −0.55), P(Z < 0.15) đề cho là nhiễu, không dùng tới. "0.2817" bằng P(Z < 1) − P(Z < 0.15) = 0.8413 − 0.5596, còn "0.0943" bằng P(Z < −0.99) − P(Z < −1.5) = 0.1611 − 0.0668, tức lấy nhầm một cận sang giá trị Z nhiễu. "0.4908" không bằng hiệu hay tổng nào của các giá trị đề cho và lệch xa kết quả đúng 0.7745. Vì 0.7745 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.9637". Số cú home run X ~ nhị thức với n = 600, p = 0.03, xấp xỉ chuẩn với μ = np = 18 và σ = √(np(1 − p)) = √17.46 = 4.1785. Nhiều hơn 10 nghĩa là X ≥ 11; vì X rời rạc còn phân phối chuẩn liên tục, mỗi giá trị nguyên k được đại diện bởi đoạn [k − 0.5, k + 0.5], nên hiệu chỉnh liên tục (continuity correction) đặt mốc tại 10.5: z = (10.5 − 18)/4.1785 = −1.795 và P(X > 10) ≈ P(Z > −1.795) = 1 − 0.0363 = 0.9637. "0.9723" là kết quả khi bỏ hiệu chỉnh liên tục, lấy mốc 10: z = (10 − 18)/4.1785 = −1.915, 1 − 0.0277 = 0.9723; con số này ngầm gộp nửa đoạn quanh giá trị 10 vào biến cố, trong khi X = 10 không thuộc nhiều hơn 10, nên nó là xấp xỉ thô hơn và không phải cách tính chuẩn. "0.0363" là P(X ≤ 10) có hiệu chỉnh, phần bù của biến cố hỏi. "0.0277" là phần bù khi bỏ hiệu chỉnh. Đã có 0.9637 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "16". Mode (yếu vị) là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong dữ liệu. Trong dãy 4, 14, 3, 16, 9, 8, 16 chỉ có 16 lặp lại (hai lần), các giá trị khác xuất hiện một lần, nên mode là 16. Phương án "10" là trung bình cộng (4 + 14 + 3 + 16 + 9 + 8 + 16)/7 = 70/7 = 10. Phương án "9" là trung vị: sắp xếp được 3, 4, 8, 9, 14, 16, 16 thì giá trị đứng giữa là 9. Phương án "2" là số lần xuất hiện của mode, không phải bản thân mode. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 16 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "7". Khoảng biến thiên (range) bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất. Rà 20 chiều cao: lớn nhất là 74 inch, nhỏ nhất là 67 inch, nên range = 74 − 67 = 7. Giá trị "6" là kết quả khi bỏ sót một đầu mút, ví dụ lấy 73 − 67 hoặc 74 − 68. Giá trị "5" ứng với 73 − 68, bỏ sót cả hai đầu mút. Giá trị "6.5" không thể là range của dữ liệu toàn số nguyên, vì hiệu hai số nguyên luôn là số nguyên. Vì 7 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "17". Trong biểu đồ thân và lá (stem and leaf), thân là chữ số hàng chục và lá là chữ số hàng đơn vị: thân 0 có lá 5, 5, 6; thân 1 có lá 1, 4, 6, 2, 3; thân 2 có lá 0, 2, 1. Dữ liệu sắp lại: 5, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22, đủ 11 học sinh. Khoảng biến thiên (range) = lớn nhất − nhỏ nhất = 22 − 5 = 17. Lá không được in theo thứ tự nên phải sắp trước khi đọc giá trị lớn nhất. "12" chỉ là một giá trị trong dữ liệu (thân 1, lá 2). "13" là trung vị, giá trị thứ sáu của dãy đã sắp. "14" là khoảng tứ phân vị Q₃ − Q₁ = 20 − 6, một thước đo độ phân tán khác. "15" là 20 − 5, lấy nhầm lá đầu tiên của thân 2 làm giá trị lớn nhất. "16" là 21 − 5, lấy nhầm lá cuối của thân 2 (in là 1) làm giá trị lớn nhất, trong khi số lớn nhất là 22.

Đáp án đúng: "2". Đọc chiều cao các cột của histogram về khối lượng bí ngô: cột từ 0 tới 3 kg cao 4, từ 3 tới 6 kg cao 5, từ 6 tới 9 kg cao 8, từ 9 tới 12 kg cao 6 và từ 12 tới 15 kg cao 2. Khoảng 6 tới 9 kg có 8 quả, khoảng 9 tới 12 kg có 6 quả, nên chênh lệch là 8 − 6 = 2 quả. Giá trị "14" là tổng 8 + 6 của hai cột, không phải hiệu. Giá trị "8" chỉ là chiều cao cột 6 tới 9 kg, còn "6" chỉ là chiều cao cột 9 tới 12 kg; mỗi giá trị đọc riêng một cột mà chưa so sánh. Vì 2 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "Franklin scored as high or higher than 80 percent of the people who took the test.". Bách phân vị thứ 80 (80th percentile) là giá trị mà khoảng 80% số quan sát nhỏ hơn hoặc bằng nó, nên đứng ở mức đó nghĩa là điểm của Franklin bằng hoặc cao hơn 80% người dự kiểm tra, và chỉ khoảng 20% có điểm cao hơn. Phát biểu "80 people who took the test scored below Franklin." nhầm phần trăm với số người; bách phân vị nói về tỉ lệ, còn số người cụ thể phụ thuộc tổng số người dự. Phát biểu "Franklin was in the bottom 20 percent of those that have taken the test." ngược hoàn toàn: ở bách phân vị 80 thì Franklin thuộc nhóm 20% điểm cao nhất chứ không phải thấp nhất. Đã có diễn giải đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.28". Ước lượng điểm (point estimate) của tỉ lệ tổng thể p là tỉ lệ mẫu p̂ = x/n, trong đó x là số phần tử có đặc tính quan tâm: p̂ = 14/50 = 0.28. Đây là ước lượng không chệch vì E(p̂) = p, và nó cũng là tâm của khoảng tin cậy p̂ ± z(α/2)·√(p̂(1 − p̂)/n) nếu muốn ước lượng khoảng. "0.72" bằng 1 − p̂ = 36/50, là tỉ lệ người không cao quá 6 feet, ngược đặc tính. "0.50" là giá trị bảo thủ p = 0.5 dùng khi tính cỡ mẫu lúc chưa có dữ liệu, không phải ước lượng từ mẫu đã có. "0.88" bằng 44/50, không khớp số đếm 14. "None of the other choices is correct" sai vì 0.28 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.0021". Chiều cao tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu x̄ của 36 người chuẩn với μ = 69.8 và σ_x̄ = σ/√n = 2.1/6 = 0.35. Chuẩn hoá: Z = (70.8 − 69.8)/0.35 ≈ 2.86, nên P(x̄ > 70.8) = 1 − P(Z < 2.86) = 1 − 0.9979 = 0.0021. Xác suất rất nhỏ vì trung bình của 36 người dao động ít hơn hẳn một người riêng lẻ. "0.9979" sai vì đó là P(x̄ < 70.8), lấy nhầm đuôi trái. "0.6844" sai vì ứng với z = 1/2.1 ≈ 0.48, tức quên chia σ cho √36 và còn lấy đuôi trái. "0.3155" sai vì gần 1 − 0.6844, là xác suất một người riêng lẻ cao hơn 70.8 chứ không phải trung bình của 36 người. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0021 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.1587". Trung bình mẫu X̄ của n = 100 viên bi có kỳ vọng μ = 0.850 và sai số chuẩn σ/√n = 0.010/10 = 0.001; n = 100 đủ lớn nên theo định lý giới hạn trung tâm X̄ xấp xỉ chuẩn. Chuẩn hoá: Z = (0.851 − 0.850)/0.001 = 1, nên P(X̄ > 0.851) = 1 − P(Z < 1) = 1 − 0.8413 = 0.1587. "0.8413" là P(Z < 1), xác suất trung bình mẫu NHỎ hơn 0.851, quên lấy phần bù. "0.5398" là P(Z < 0.5), ứng với chia sai sai số chuẩn (dùng 0.002) và cũng quên phần bù. "0.8023" không khớp với P(Z < 1) hay P(Z < 0.5) đề cho. Điểm mấu chốt là dùng σ/√n cho trung bình mẫu chứ không dùng σ của từng viên bi. Vì 0.1587 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "(74.40, 74.66)". Đường kính chuẩn với σ = 0.25 đã biết nên khoảng tin cậy hai phía 95% cho μ là x̄ ± z₀.₀₂₅·σ/√n. Thay số: σ/√n = 0.25/√15 = 0.25/3.873 = 0.06455, biên sai số 1.960·0.06455 = 0.1265, nên khoảng là 74.53 ± 0.1265 = (74.4035, 74.6565) ≈ (74.40, 74.66). "(74.42, 74.64)" có biên sai số khoảng 0.11, ứng với z₀.₀₅ = 1.645 (1.645·0.06455 = 0.106), tức khoảng tin cậy 90% chứ không phải 95%. "(74.44, 74.62)" có biên chỉ 0.09, tương ứng hệ số khoảng 1.39, độ tin cậy thấp hơn nhiều so với yêu cầu. "(74.38,74.68)" có biên 0.15, ứng với hệ số khoảng 2.32, quá rộng cho mức 95% (gần mức 98%). Vì σ đã biết nên không cần dùng phân phối t dù n = 15 nhỏ.

Đáp án đúng: "(1.55, 3.53)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 10 nhỏ nên dùng khoảng t: x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n. Với 98% thì α/2 = 0.01, dùng t(0.01, 9) = 2.82: nửa độ rộng = 2.82·1.11/√10 = 0.99, nên khoảng là 2.54 ± 0.99 = (1.55, 3.53). Dùng z₀.₀₁ = 2.33 sẽ ra (1.72, 3.36), hẹp hơn mức cần vì bỏ qua sai số khi ước lượng σ. Phương án "(0.67, 1.81)" không chứa x̄ = 2.54, trong khi khoảng tin cậy cho μ luôn có tâm tại x̄. Phương án "(3.11, 4.35)" cũng không chứa x̄. Phương án "(2.12, 3.14)" có tâm 2.63, lệch khỏi 2.54, và nửa độ rộng 0.51 quá hẹp. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng đã có sẵn.

Đáp án đúng: "217". Muốn sai số ước lượng tỷ lệ không vượt E = 0.04 với độ tin cậy 95%, cỡ mẫu tính theo n = z₀.₀₂₅²·p(1 − p)/E² với p = 0.10 lấy từ nghiên cứu trước. Thay số: n = 1.96²·0.1·0.9/0.04² = 3.8416·0.09/0.0016 = 216.09, và cỡ mẫu luôn làm tròn lên nên n = 217. Kiểm tra bằng biên sai số 1.96·√(0.09/n): với n = 217 biên là 0.0399, vừa đạt mức 4%. Giá trị "153" cho biên 1.96·√(0.09/153) ≈ 0.0475, vượt 4%. Giá trị "15" cho biên khoảng 0.152, quá lớn. Giá trị "241" cho biên 0.0379, đạt yêu cầu nhưng không phải cỡ mẫu nhỏ nhất cần thiết. Vì 217 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "A null hypothesis is rejected but should not be rejected.". Sai lầm loại I (Type I error) là bác bỏ H₀ trong khi H₀ thật ra đúng; xác suất của nó chính là mức ý nghĩa α mà ta chọn trước, ví dụ 0.05. Ví dụ: kết luận một loại thuốc có tác dụng trong khi thực ra nó không có tác dụng. "A null hypothesis is not rejected but should be rejected." là sai lầm loại II (Type II error), giữ lại H₀ khi H₀ sai, có xác suất β, và 1 − β là lực kiểm định. "A test statistic is incorrect." nói về lỗi tính toán, không phải khái niệm sai lầm trong quyết định kiểm định; một thống kê tính đúng vẫn có thể dẫn tới sai lầm loại I do ngẫu nhiên của mẫu. "A alternative hypothesis is rejected" sai vì kiểm định chỉ ra quyết định đối với H₀ (bác hoặc không bác), không bác bỏ trực tiếp đối thuyết, và việc không bác H₀ khi H₀ đúng là quyết định đúng chứ không phải sai lầm.