Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 4

Đáp án đúng: "statistical inference.". Suy luận thống kê (statistical inference) là quá trình dùng các thống kê tính từ mẫu, như trung bình mẫu x̄ hay tỉ lệ mẫu p̂, để rút ra kết luận về tham số thật của tổng thể, như μ hay p, thông qua ước lượng điểm, khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết, luôn kèm một mức độ không chắc chắn. "the scientific method." là quy trình chung của khoa học (đặt câu hỏi, giả thuyết, thu thập dữ liệu, kết luận), rộng hơn và không riêng gì việc đi từ mẫu tới tổng thể. "sampling." (lấy mẫu) chỉ là bước chọn ra các phần tử để quan sát, là đầu vào cho suy luận chứ chưa rút ra kết luận về tham số. "descriptive statistics." (thống kê mô tả) tóm tắt dữ liệu đang có bằng bảng, biểu đồ, trung bình, độ lệch chuẩn, không khái quát lên tổng thể.

Đáp án đúng: "observation". Nhân viên chỉ ghi lại thời gian khách dùng máy ATM như nó vốn diễn ra, không tác động hay gán điều kiện nào cho khách, nên đây là thu thập dữ liệu bằng quan sát (observational study, nghiên cứu quan sát). Phương án "experiments" sai vì thực nghiệm đòi hỏi người nghiên cứu chủ động áp đặt hoặc thay đổi một yếu tố (ví dụ đổi giao diện máy) rồi đo phản ứng. Phương án "retrospective" sai vì nghiên cứu hồi cứu dùng dữ liệu đã ghi trong quá khứ, còn ở đây nhân viên ghi nhận trực tiếp khi khách đang dùng máy. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì quan sát đúng là phương pháp được mô tả.

Đáp án đúng: "{6,12}". Tổng hai lần tung nhận các giá trị từ 2 đến 12. Biến cố E là tổng chia hết cho 3, gồm 3, 6, 9, 12; biến cố F là tổng chẵn, gồm 2, 4, 6, 8, 10, 12. Giao E ∩ F gồm các tổng vừa chia hết cho 3 vừa chẵn, tức chia hết cho 6, nên là 6 và 12. Tập "{3,6,9,12}" chính là E, chưa đòi điều kiện chẵn. Tập "{2,4,6,8,10,12}" chính là F, chưa đòi điều kiện chia hết cho 3. Tập "{2,3,4,6,8,9,10,12}" là hợp E ∪ F, gồm các tổng thoả ít nhất một điều kiện, không phải giao.

Đáp án đúng: "52". Không gian mẫu (sample space) là tập mọi kết quả có thể của phép thử. Rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá thì mỗi lá là một kết quả, nên không gian mẫu có 4·13 = 52 phần tử, mỗi phần tử xác suất 1/52. Cách chia thành 4 chất chỉ là cách nhóm các phần tử, không làm thay đổi số kết quả. "13" là số lá trong một chất, tức kích thước của một sự kiện như rút được lá cơ, không phải toàn bộ không gian mẫu. "26" là số lá đỏ (cơ và rô) hoặc số lá đen, cũng chỉ là một sự kiện con. "39" là số lá không thuộc một chất nào đó, chẳng hạn không phải lá bích, lại là phần bù của một sự kiện. "65" vượt quá số lá có trong bộ bài, nên không thể là số kết quả của việc rút một lá. Phân biệt rõ: sự kiện là tập con của không gian mẫu, còn câu hỏi cần số phần tử của toàn bộ không gian.

Đáp án đúng: "¼". Mỗi loại có 6 cuốn, trong đó 3 cuốn cuối là bìa mềm. Việc chọn một cuốn trinh thám và một cuốn khoa học viễn tưởng là hai lần chọn độc lập, nên P(A) = P(trinh thám bìa mềm)·P(viễn tưởng bìa mềm) = 3/6·3/6 = 1/4. Đếm trực tiếp cũng vậy: không gian mẫu có 6·6 = 36 cặp như nhau, trong đó 3·3 = 9 cặp toàn bìa mềm, 9/36 = 1/4. Giá trị "½" chỉ là xác suất một cuốn là bìa mềm, chưa nhân cho cuốn thứ hai. Giá trị "1/6" là xác suất chọn đúng một cuốn cụ thể trong một loại. Giá trị "1/3" ứng với 12 trên 36 cặp, nhiều hơn 9 cặp thật sự toàn bìa mềm. Vì 1/4 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.1". Theo luật De Morgan, A′ ∩ B′ ∩ C′ = (A ∪ B ∪ C)′, tức không biến cố nào xảy ra. Ba biến cố xung khắc từng đôi (mutually exclusive) nên P(A ∪ B ∪ C) = 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9, không cần trừ phần giao vì mọi giao đều rỗng. Vậy P(A′ ∩ B′ ∩ C′) = 1 − 0.9 = 0.1. Giá trị "0.9" là P(A ∪ B ∪ C), tức xác suất có ít nhất một biến cố xảy ra, ngược với điều cần tìm. Giá trị "0.4" chỉ là P(C), không liên quan tới phần bù chung. Giá trị "0.2" chỉ là P(A), cũng là xác suất của riêng một biến cố. Nếu nhầm là ba biến cố độc lập và nhân 0.8·0.7·0.6 sẽ ra 0.336, nhưng giả thiết xung khắc thì không cho phép làm vậy.

Đáp án đúng: "0.22". Gọi T là biến cố có 2 xe và H là biến cố thu nhập trên $25,000. Dữ kiện cho P(T | H) = 0.8, P(H) = 0.6 và P(T) = 0.7. Theo quy tắc nhân, P(T ∩ H) = P(T | H)·P(H) = 0.8·0.6 = 0.48. Biến cố cần tìm là có 2 xe và thu nhập không quá $25,000, tức T giao phần bù của H, nên xác suất bằng P(T) − P(T ∩ H) = 0.7 − 0.48 = 0.22. "0.48" là P(T ∩ H), nhóm có 2 xe nhưng thu nhập trên $25,000, ngược điều kiện thu nhập. "0.12" bằng 0.6·(1 − 0.8), nhóm thu nhập cao nhưng không có 2 xe. "0.18" bằng 0.4 − 0.22, nhóm thu nhập thấp và không có 2 xe. "None of the other choices is correct" sai vì 0.22 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "2/27". Có hoàn lại viên bi sau lần rút đầu nên hai lần rút độc lập, xác suất mỗi lần giữ nguyên trên 9 viên: P(đỏ rồi xanh) = P(đỏ)·P(xanh) = 2/9·3/9 = 6/81 = 2/27. Nếu không hoàn lại thì sẽ là 2/9·3/8 = 1/12, không có trong lựa chọn. "2/9" sai vì đó chỉ là xác suất rút được bi đỏ ở lần đầu, chưa nhân với xác suất lần hai ra bi xanh. "3/9" sai vì đó chỉ là xác suất rút được bi xanh trong một lần, bỏ qua điều kiện lần đầu phải ra bi đỏ. "1/3" sai vì là cùng giá trị 3/9 viết rút gọn, vẫn chỉ là xác suất một lần ra bi xanh chứ không phải xác suất chuỗi hai lần.

Đáp án đúng: "Yes". Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi P(A and B) = P(A)·P(B), tương đương P(A | B) = P(A). Ở đây P(A)·P(B) = 0.8·0.4 = 0.32, đúng bằng P(A and B) = 0.32 đề cho, nên A độc lập với B; kiểm thêm P(A | B) = 0.32/0.4 = 0.8 = P(A), tức biết B xảy ra không làm thay đổi khả năng của A. "No" sai vì tích hai xác suất khớp chính xác với xác suất giao; chỉ khi P(A and B) khác 0.32 thì hai biến cố mới phụ thuộc. "Cannot be determined" sai vì đề đã cho đủ ba đại lượng P(A), P(B), P(A and B), đúng là những gì cần để kiểm điều kiện độc lập. Lưu ý độc lập khác xung khắc: hai biến cố này không xung khắc vì giao có xác suất dương.

Đáp án đúng: "0.375". Hai biến cố E, F xung khắc và bù nhau nên tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, áp dụng được công thức Bayes: P(E|A) = P(A|E)P(E)/[P(A|E)P(E) + P(A|F)P(F)]. Tử số P(A|E)P(E) = 0.2·0.6 = 0.12; mẫu số là xác suất toàn phần P(A) = 0.12 + 0.5·0.4 = 0.12 + 0.20 = 0.32; vậy P(E|A) = 0.12/0.32 = 0.375, và P(F|A) = 0.625 để hai hậu nghiệm cộng lại bằng 1. "0.228" ứng với P(A∩E) ≈ 0.228·0.32 = 0.073, nhỏ hơn giá trị thật 0.12. "0.419" ứng với P(A∩E) ≈ 0.134, lớn hơn 0.12. "0.330" gần với P(A) = 0.32, nhưng P(A) là xác suất toàn phần chứ không phải xác suất hậu nghiệm. Đã có 0.375 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "Discrete". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) nhận các giá trị đếm được, cách nhau, thường là số nguyên do đếm mà có; biến liên tục (continuous) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực, thường do đo đạc như thời gian, chiều dài. Số lượt xem một trang web là kết quả của phép đếm, chỉ nhận 0, 1, 2, ..., không thể là 2.5 lượt, nên X là biến rời rạc. Phương án "Continuous" sai vì giữa hai số lượt xem liên tiếp không có giá trị trung gian nào; nó chỉ đúng với các đại lượng đo như thời gian một người ở lại trang.

Đáp án đúng: "1,2,…,491". X là số chi tiết đã chọn tới khi gặp chi tiết không đạt đầu tiên, tính cả chi tiết đó. Nhỏ nhất X = 1 khi chi tiết đầu đã không đạt. Lớn nhất xảy ra khi rút hết 490 chi tiết đạt trước, lúc đó chi tiết thứ 491 chắc chắn là chi tiết không đạt, nên X không thể vượt 491. Vậy X nhận các giá trị 1, 2, …, 491. Phương án "1,2,…,10" nhầm X với số chi tiết không đạt có trong lô. Phương án "1,2,…,500" bỏ qua việc dừng lại ngay khi gặp chi tiết không đạt; không thể rút tới chi tiết thứ 500 vì chỉ có 490 chi tiết đạt. Phương án "0,1,2,…,10" sai cả hai đầu, vì luôn phải chọn ít nhất một chi tiết. Vì đã có tập giá trị đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "Be a continuous function". Hàm khối xác suất (probability mass function) f(x) của biến rời rạc X phải thoả: f(x) ≥ 0 với mọi x, Σf(x) = 1, và f(x) = P(X = x) tại mỗi giá trị có thể của X. Nó chỉ xác định trên tập điểm rời rạc và bằng 0 ở các điểm khác, nên đồ thị là các vạch rời nhau, không phải hàm liên tục; vì thế phát biểu đòi hỏi f liên tục là SAI. Hàm liên tục lấy tích phân để ra xác suất thuộc về hàm mật độ (probability density function) của biến liên tục. "Always non-negative" là tính chất đúng, vì f(x) là xác suất nên không thể âm. "Specify the probability at each of the possible discrete values for X" cũng đúng, đó chính là định nghĩa f(x) = P(X = x) cho từng giá trị rời rạc. Hai phát biểu này đúng nên không phải lựa chọn cho câu hỏi tìm phát biểu FALSE.

Đáp án đúng: "0.36". Hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function) F(x) = P(X ≤ x) là tổng xác suất của mọi giá trị không vượt quá x. Với f(x) = (2x + 1)/25 thì f(0) = 1/25 = 0.04, f(1) = 3/25 = 0.12, f(2) = 5/25 = 0.20, nên F(2) = 0.04 + 0.12 + 0.20 = 9/25 = 0.36. Giá trị "0.2" chỉ là f(2) = P(X = 2), xác suất tại đúng một điểm chứ không phải tích luỹ tới 2. Giá trị "0.32" thiếu 0.04, tức bỏ sót f(0) hoặc cộng sai. Giá trị "0.5" không ứng với tổng nào: tích luỹ tới 2 là 0.36, tới 3 đã nhảy lên 0.64. Vì 0.36 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "Mean: 2.29; standard deviation: 1.24". Bảng cho điện tích niken 0, +2, +3, +4 với tỉ lệ 0.17, 0.35, 0.33, 0.15. Kỳ vọng E(X) = Σx·f(x) = 0·0.17 + 2·0.35 + 3·0.33 + 4·0.15 = 2.29. Tính E(X²) = 4·0.35 + 9·0.33 + 16·0.15 = 6.77, nên V(X) = 6.77 − 2.29² = 1.5259 và độ lệch chuẩn √1.5259 ≈ 1.24. Lựa chọn "Mean: 2.00; standard deviation: 0.35" lấy giá trị +2 và tỉ lệ 0.35 của một dòng trong bảng. Lựa chọn "Mean: 1.53; standard deviation: 2.29" đặt phương sai vào chỗ trung bình và trung bình vào chỗ độ lệch chuẩn. Lựa chọn "Mean: 2.29; standard deviation: 1.53" đúng trung bình nhưng 1.53 là phương sai, chưa khai căn. Lựa chọn "Mean: 1.24; standard deviation: 2.29" tráo trung bình với độ lệch chuẩn. Có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "8/13". Phân phối đều rời rạc trên các số nguyên 1, …, 13 nên mỗi giá trị có cùng xác suất 1/13. Biến cố X ≥ 6 gồm các số 6, 7, …, 13, có 13 − 6 + 1 = 8 giá trị, nên P(X ≥ 6) = 8/13. Cách đếm số nguyên từ a tới b là b − a + 1, quên cộng 1 là lỗi hay gặp. "7/13" là P(X > 6) = P(X ≥ 7), bỏ sót X = 6. "5/13" là P(X ≤ 5) = P(X < 6), tức phần bù của biến cố cần tìm. "6/13" là P(X ≤ 6), đếm phía dưới thay vì phía trên. "None of the other choices is true" sai vì 8/13 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.4678". Số lần ra mặt năm X trong 15 lần tung có phân phối nhị thức C(n,x)pˣ(1−p)ⁿ⁻ˣ với n = 15, p = 1/6. Dùng biến cố đối: P(X ≥ 3) = 1 − [P(0) + P(1) + P(2)], với P(0) = (5/6)¹⁵ ≈ 0.0649, P(1) = 15·(1/6)(5/6)¹⁴ ≈ 0.1947, P(2) = 105·(1/6)²(5/6)¹³ ≈ 0.2726; tổng 0.5322, nên P(X ≥ 3) ≈ 0.4678. "0.5678" sai vì gần với P(X ≤ 2) = 0.5322 nhưng không bằng, và đó cũng là biến cố đối chứ không phải biến cố cần tìm. "0.4566" sai vì chỉ là một số gần kết quả, không ra từ tổng nhị thức. "0.3432" sai vì quá nhỏ, chênh hơn 0.12 so với phần bù 1 − 0.5322. "0.6456" sai vì nằm giữa P(X ≥ 2) ≈ 0.7404 và kết quả đúng, không ứng với mốc nào. "0.6672" sai vì cũng không khớp P(X ≥ 3) hay P(X ≥ 2).

Đáp án đúng: "(i)". Biến ngẫu nhiên hình học (geometric) X đếm số phép thử Bernoulli cho tới lần thành công đầu tiên, P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p với x = 1, 2, ...; kỳ vọng E(X) = Σx·f(x) = 1/p. Trực giác: nếu mỗi lần thử thành công với xác suất p = 0.2 thì trung bình phải thử 1/0.2 = 5 lần. "(iii)" (1 − p)/p² là phương sai V(X) của phân phối hình học, không phải trung bình. "(iv)" r/p là trung bình của phân phối nhị thức âm (negative binomial) đếm số phép thử tới lần thành công thứ r; nó chỉ trùng với 1/p khi r = 1. "(ii)" 1/p² không phải công thức nào của phân phối hình học. Vì (i) đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.11". Lô có 300 chi tiết, 100 từ nhà cung cấp địa phương; rút hai chi tiết không hoàn lại nên dùng quy tắc nhân với xác suất có điều kiện: P = (100/300)·(99/299) = 0.3333·0.3311 = 0.1104 ≈ 0.11. Cách tương đương theo tổ hợp (siêu bội): C(100,2)/C(300,2) = 4950/44850 = 0.1104. "0.33" chỉ là 100/300, xác suất một chi tiết đến từ nhà cung cấp địa phương, quên điều kiện chi tiết thứ hai. "0.22" gấp đôi kết quả đúng, như thể nhân thêm 2 cách sắp thứ tự, trong khi cả hai chi tiết cùng một nguồn nên chỉ có một khả năng. "0.50" không ứng với tỉ lệ nào trong lô, vì phần địa phương chỉ là 1/3. Đã có 0.11 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.018". Với phân phối Poisson trung bình λ = 0.210 sự cố mỗi ngày, P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!. Do đó P(X = 2) = e^(−0.21)·0.21²/2! = 0.8106·0.0441/2 = 0.0179 ≈ 0.018. Phương án "0.036" là 0.8106·0.0441 = 0.0357, quên chia cho 2! = 2. Phương án "0.085" không khớp công thức với x = 2; xác suất đúng một sự cố là 0.21·0.8106 = 0.170, cũng khác. Phương án "0.027" không ứng với bước tính nào của công thức Poisson. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.018 đã có sẵn.