Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 4

Đáp án đúng: "−1.645". Kiểm định H₀ : μ = 5 với đối thuyết μ < 5 là kiểm định một phía trái, phương sai đã biết nên dùng thống kê Z. Miền bác bỏ nằm hết ở đuôi trái với diện tích α = 0.05, nên giá trị tới hạn là −z₀.₀₅ = −1.645 và bác H₀ khi Z₀ < −1.645. Giá trị "1.645" là giá trị tới hạn của đối thuyết μ > 5, miền bác bỏ ở đuôi phải. Giá trị "1.96" là z₀.₀₂₅, dùng cho kiểm định hai phía khi chia α làm đôi mỗi đuôi 0.025. Giá trị "−1.96" cũng thuộc kiểm định hai phía (cận trái), không phải một phía với toàn bộ α = 0.05 ở đuôi trái.

Đáp án đúng: "(iii)", tức H₀: μ = 35,000 và H₁: μ ≠ 35,000. Câu hỏi muốn biết lời công bố giá trung bình bằng 35,000 có đúng không, tức kiểm tra có khác hay không mà không định trước hướng nào, nên dùng kiểm định hai phía (two-sided test). Giả thuyết không H₀ luôn chứa dấu bằng đúng với giá trị được công bố. Cặp "(i)" với H₁: μ > 35,000 chỉ phù hợp nếu nghi ngờ giá thực tế cao hơn mức công bố. Cặp "(ii)" với H₁: μ < 35,000 chỉ phù hợp nếu nghi ngờ giá thấp hơn. Cặp "(iv)" đặt dấu bất đẳng thức chặt trong H₀ và dấu nhỏ hơn hoặc bằng trong H₁, sai quy ước vì H₀ phải chứa dấu bằng và hai giả thuyết phải tương ứng với điều cần chứng minh. Dữ liệu chín mức giá chỉ dùng ở bước tính thống kê t sau đó, không ảnh hưởng tới việc lập giả thuyết.

Đáp án đúng: "0.1539". Khẳng định "more than 28%" là điều cần chứng minh nên đặt vào H₁: H₀: p = 0.28, H₁: p > 0.28 (một phía phải). Thống kê Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) = (0.32 − 0.28)/√(0.28·0.72/130) = 0.04/0.03938 ≈ 1.02, nên P-value = P(Z > 1.02) = 1 − 0.8461 = 0.1539. P-value lớn hơn mức thường dùng 0.05 nên chưa đủ bằng chứng ủng hộ khẳng định. "0.1635" bằng 1 − 0.8365, ứng với z = 0.98 khi tính sai số chuẩn từ p̂ = 0.32 thay vì p₀ = 0.28; trong kiểm định phải dùng p₀ của H₀. "0.3078" bằng 2·0.1539, là P-value hai phía, không hợp với H₁ một phía. "0.8461" là P(Z < 1.02), đuôi trái, ngược hướng H₁.

Đáp án đúng: "0.877". Hai tổng thể chuẩn với độ lệch chuẩn σ₁ = 0.576, σ₂ = 0.776 đã biết, nên kiểm định H₀: μ₁ = μ₂ dùng Z₀ = (x̄₁ − x̄₂)/√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Thay số: σ₁²/n₁ = 0.331776/20 = 0.016589, σ₂²/n₂ = 0.602176/17 = 0.035422, tổng 0.052011, căn bằng 0.22806; Z₀ = (3.4 − 3.2)/0.22806 ≈ 0.877. Mức α = 0.05 chỉ dùng để so sánh sau đó (|Z₀| < 1.96 nên không bác H₀), không ảnh hưởng giá trị thống kê. "0.787" sai vì là hoán vị chữ số của kết quả; ghép nhầm n₁ với σ₂ cũng chỉ ra khoảng 0.898. "0.677" sai vì cần mẫu số khoảng 0.295, lớn hơn mức sai số chuẩn tính được. "0.978" sai vì cần mẫu số khoảng 0.204, nhỏ hơn mức tính được.

Đáp án đúng: "4.752". Khi hai tổng thể chuẩn có cùng phương sai, phương sai gộp (pooled variance) là trung bình có trọng số theo bậc tự do: Sp² = ((n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²)/(n₁ + n₂ − 2). Thay số: (n₁ − 1)s₁² = 14·1.8² = 14·3.24 = 45.36; (n₂ − 1)s₂² = 21·2.4² = 21·5.76 = 120.96; tổng 166.32 chia cho 15 + 22 − 2 = 35 được Sp² = 4.752. "4.738" là (15·3.24 + 22·5.76)/37, dùng nhầm trọng số n thay vì n − 1 và mẫu số n₁ + n₂. "4.495" là 166.32/37, tử số đúng nhưng chia cho n₁ + n₂ = 37 thay vì n₁ + n₂ − 2 = 35. "2.160" là (14·1.8 + 21·2.4)/35 = 75.6/35, tức gộp hai độ lệch chuẩn thay vì hai phương sai; nó nhỏ hơn cả s₁² = 3.24 nên không thể là phương sai gộp. Vì 4.752 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "(0.03, 0.17)". Tỉ lệ mẫu p̂₁ = 320/400 = 0.80 (Maricopa) và p̂₂ = 210/300 = 0.70 (Pima), hiệu p̂₁ − p̂₂ = 0.10. Khoảng tin cậy 95% cho p₁ − p₂ là (p̂₁ − p̂₂) ± z₀.₀₂₅·√(p̂₁(1 − p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 − p̂₂)/n₂); sai số chuẩn = √(0.8·0.2/400 + 0.7·0.3/300) = √(0.0004 + 0.0007) = √0.0011 = 0.03317, biên sai số 1.96·0.03317 = 0.0650, nên khoảng là (0.0350, 0.1650), làm tròn hai chữ số được (0.03, 0.17). Khoảng không chứa 0 nên tỉ lệ ủng hộ ở Maricopa cao hơn. "(0.05, 0.15)" có biên 0.05, tương ứng hệ số chỉ khoảng 1.51, hẹp hơn mức 95%. "(0.07, 0.11)" không có tâm tại 0.10 (tâm 0.09) và biên 0.02 quá hẹp. "(0.02, 0.18)" có biên 0.08, ứng với hệ số khoảng 2.41, rộng hơn mức 95%.

Đáp án đúng: "the values of one variable tend to decrease as the values of the other variable increase.". Hai biến có liên hệ nghịch (negative association) khi một biến tăng thì biến kia có xu hướng giảm; trên biểu đồ phân tán các điểm đi xuống từ trái sang phải và hệ số tương quan âm. Phương án "the values of one variable tend to increase as the values of the other variable increase" mô tả liên hệ thuận (positive association). Phương án "tend to increase irregardless of how the values of the other variable change" mô tả trường hợp hai biến không liên hệ, một biến thay đổi độc lập với biến kia. Phương án "the values of both variables are always negative." nhầm dấu của giá trị với chiều của liên hệ; hai biến toàn số dương vẫn có thể liên hệ nghịch. Phương án "None of the other choices is correct." sai vì định nghĩa đúng đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.38". Từ bảng điểm 5 sinh viên, điểm Toán X là 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và điểm Tài chính Y là 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Trung bình x̄ = 34/5 = 6.8, nên Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của hệ số góc là se(β̂₁) = √(σ²/Sₓₓ) = √(1.43²/13.8) = 1.43/3.715 ≈ 0.385, làm tròn 0.38. Giá trị "0.48" lớn hơn kết quả, ứng với Sₓₓ khoảng 8.9, không khớp với độ phân tán của điểm Toán. Giá trị "0.28" và "0.18" nhỏ hơn hẳn, ứng với Sₓₓ khoảng 26 và 63, gấp đôi tới gấp năm lần Sₓₓ thật nên không khớp số liệu. Chú ý se(β̂₁) chỉ phụ thuộc σ và độ trải của X, không phụ thuộc Y.

Đáp án đúng: "(iv)". Trong hồi quy tuyến tính đơn, kiểm định hệ số góc dùng t₀ = (β̂₁ − β₁,₀)/se(β̂₁) với se(β̂₁) = √(σ̂²/Sxx) và σ̂² = SSE/(n − 2). Bậc tự do là n − 2 vì đã ước lượng hai tham số β₀ và β₁ từ dữ liệu. Đối thuyết hai phía H₁: β₁ ≠ β₁,₀ nên bác H₀ khi t₀ rơi vào một trong hai đuôi, tức |t₀| > t(α/2, n−2), đúng biểu thức (iv). "(i)" đúng chiều so sánh nhưng dùng n − 1 bậc tự do, là bậc tự do của kiểm định trung bình một mẫu chứ không phải của hồi quy. "(ii)" dùng đúng n − 2 nhưng đảo chiều bất đẳng thức; |t₀| nhỏ hơn giá trị tới hạn là vùng không bác bỏ. "(iii)" sai cả hai mặt, vừa đảo chiều vừa dùng n − 1. "None of the other choices is correct" sai vì (iv) là quy tắc đúng.

Đáp án đúng: "Reject Ho". Kiểm định H₀ : ρ = 0 dùng thống kê t₀ = r√(n − 2)/√(1 − r²) với n − 2 = 25 bậc tự do. Thay số: t₀ = 0.85·√25/√(1 − 0.7225) = 4.25/0.5268 ≈ 8.07. Đây là kiểm định hai phía ở α = 0.05 nên so |t₀| với t(0.025, 25) = 2.060; vì 8.07 > 2.060 nên bác bỏ H₀, kết luận có tương quan tuyến tính khác 0 giữa x và y. Kết quả này cũng tương đương với kiểm định độ dốc β̂₁ = 0 trong hồi quy đơn. Kết luận "Do not reject Ho" chỉ đúng khi |t₀| ≤ 2.060, tức tương quan mẫu phải yếu hơn nhiều; với 27 cặp dữ liệu, chỉ cần |r| khoảng 0.38 trở lên đã đủ bác H₀, mà 0.85 vượt xa mức đó.