Qiz HUBQizHUBQUESTION LIBRARY PLATFORM
Bỏ quảng cáoLuyện đề ngay
Đăng nhập
MAS291Chưa đoCơ sở ngành Cập nhật 8 giờ trước

MAS291 - Xác suất thống kê

Xác suất thống kê là môn 3 tín chỉ bậc cử nhân của Đại học FPT, học sau MAE101 hoặc MAC101. Bài toán trung tâm là ra quyết định kỹ thuật khi dữ liệu mang yếu tố ngẫu nhiên: thời gian phản hồi của máy chủ dao động theo từng yêu cầu, tỉ lệ gói tin bị mất đổi theo giờ, và một bản cập nhật phần mềm có thật sự làm ứng dụng nhanh hơn hay chỉ là trùng hợp. Thời gian giữa hai yêu cầu tới máy chủ thường được mô tả bằng phân phối mũ, còn đại lượng hình thành từ tổng nhiều sai lệch nhỏ thì xấp xỉ phân phối chuẩn; với biến liên tục, xác suất là diện tích dưới hàm mật độ, kỳ vọng và phương sai tính bằng tích phân. Gốc của mọi mô hình là xác suất: định lý Bayes cho biết một thư bị bộ lọc gắn nhãn rác thì khả năng nó thật là rác bao nhiêu, dựa trên không gian mẫu của phép thử, quy tắc nhân và xác suất có điều kiện. Biến đếm như số lỗi trong một đoạn mã hay số lượt truy cập trong một phút đi theo phân phối nhị thức, Poisson, hình học hoặc siêu bội, mỗi loại ứng với một cơ chế sinh dữ liệu khác nhau. Định lý giới hạn trung tâm nối xác suất với thống kê: trung bình mẫu gần chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn, nên từ một mẫu đo đạc có thể ước lượng tham số của cả hệ thống kèm sai số. Khoảng tin cậy cho trung bình và tỉ lệ đưa ra một dải giá trị hợp lý của tham số kèm mức tin cậy, còn phép so hai mẫu trả lời phiên bản giao diện mới có kéo tỉ lệ chuyển đổi khác bản cũ hay không. Trước khi suy diễn, dữ liệu được nhìn qua biểu đồ hộp, histogram, trung bình và độ lệch chuẩn, đồ thị theo thời gian để thấy hình dạng và điểm bất thường. Kiểm định giả thuyết so p-value với mức ý nghĩa, cân hai loại sai lầm, và chỉ bác bỏ H₀ để nghiêng về H₁ khi thống kê kiểm định rơi đủ xa giá trị cam kết. Hồi quy tuyến tính đơn đo mức gắn kết bằng hệ số tương quan, ước lượng đường thẳng bình phương nhỏ nhất giữa hai biến, chẳng hạn thời gian chạy theo kích thước dữ liệu đầu vào, rồi kiểm định ý nghĩa của hệ số góc. Phép tính được làm cả bằng tay lẫn bằng Excel. Học xong, người học dựng được khoảng tin cậy, ước lượng và kiểm tra ý nghĩa một đường hồi quy trên dữ liệu thật, nhận ra cơ chế sinh dữ liệu nào ứng với phân phối nào để tính xác suất và các đặc trưng của nó, rồi dùng kiểm định để đọc kết quả đủ chặt cho quyết định thiết kế hay vận hành hệ thống.

400Câu hỏi
8Bộ đề
10Chủ đề

Câu hỏi của môn

64/400 câuCòn 336
45College students majoring in computer science and interested in pursuing careers in computer security were randomly put into either Python or PowerShell classes. In a standard security certification exam, 230 students who took Python scored an average of 76.5 with a sample standard deviation of 7.4, while 185 students who took PowerShell averaged 78.8 with a sample standard deviation of 5.6. Suppose that the two population standard deviations are equal. We want to ask whether there is sufficient evidence of a difference in the test results. What is the pooled variance?4 lựa chọn
A44.3
B35.7
C36.9
D32.5
Lời giải
Đáp án đúng: "44.3". Khi giả sử hai độ lệch chuẩn tổng thể bằng nhau, phương sai gộp (pooled variance) là sp² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2) = (229·7.4² + 184·5.6²)/413 = (229·54.76 + 184·31.36)/413 = (12540.04 + 5770.24)/413 ≈ 44.33, làm tròn 44.3. Phương sai gộp là trung bình có trọng số (số bậc tự do) của 54.76 và 31.36; nhóm Python đông hơn nên kết quả phải nằm phía trên trung bình thường (54.76 + 31.36)/2 = 43.06. Giá trị "35.7" nằm dưới mức 43.06, tức ngầm đặt trọng số lớn hơn cho nhóm PowerShell ít người hơn, ngược chiều công thức. Giá trị "36.9" mắc cùng lỗi trọng số và còn thấp hơn hẳn 41.44 là tích s₁·s₂. Giá trị "32.5" sát 31.36 của riêng nhóm PowerShell, như thể bỏ gần hết thông tin của 230 sinh viên học Python.
Mở trang câu hỏi này →
46Using below data, compute the test statistic used to test the null hypothesis that p₁ = p₂. n₁ = 431, x₁ = 121; n₂ = 335, x₂ = 97.5 lựa chọn
A−0.62
B0.21
C−0.27
D−0.45
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "−0.27". Kiểm định H₀: p₁ = p₂ dùng tỉ lệ gộp p̂ = (x₁ + x₂)/(n₁ + n₂) = 218/766 ≈ 0.2846. Hai tỉ lệ mẫu là p̂₁ = 121/431 ≈ 0.2807 và p̂₂ = 97/335 ≈ 0.2896. Thống kê Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)) = −0.0088/√(0.2846·0.7154·(1/431 + 1/335)) ≈ −0.0088/0.0329 ≈ −0.27. "0.21" sai dấu: p̂₁ nhỏ hơn p̂₂ nên Z₀ phải âm, và độ lớn cũng không khớp. "−0.62" đòi sai số chuẩn chỉ khoảng 0.014, nhỏ hơn nhiều so với 0.0329 tính từ tỉ lệ gộp, tức mẫu số bị tính sai. "−0.45" ứng với sai số chuẩn khoảng 0.0196, cũng không khớp công thức gộp. Hiệu hai tỉ lệ chưa tới 0.01 nên Z₀ rất gần 0, không đủ bằng chứng bác H₀. "None of the other choices is correct" sai vì −0.27 có trong danh sách.
Mở trang câu hỏi này →
47For the data in the table below, find the equation of the regression line ŷ = a + bx of y on x x: 0, 1, 2, 1; y: 0, 0, 2, 25 lựa chọn
Ax
B2x − 1
C0.2x + 0.5
D−x + 2.4
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "x". Đường hồi quy bình phương tối thiểu có b = Sxy/Sxx và a = ȳ − b·x̄. Với x: 0, 1, 2, 1 và y: 0, 0, 2, 2 ta có x̄ = 1, ȳ = 1; Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = (−1)(−1) + 0 + (1)(1) + 0 = 2; Sxx = Σ(x − x̄)² = 1 + 0 + 1 + 0 = 2. Vậy b = 2/2 = 1 và a = 1 − 1·1 = 0, phương trình là ŷ = x. "2x − 1" sai vì hệ số góc 2 gấp đôi Sxy/Sxx, dù đường này vẫn đi qua điểm trung bình (1, 1). "0.2x + 0.5" sai vì tại x̄ = 1 cho ŷ = 0.7 ≠ ȳ = 1, trong khi đường hồi quy luôn đi qua (x̄, ȳ). "−x + 2.4" sai vì có hệ số góc âm, ngược với Sxy = 2 > 0, và tại x = 1 cho 1.4. "None of the other choices is correct" sai vì ŷ = x có trong các lựa chọn.
Mở trang câu hỏi này →
48Which of the following is FALSE about the slope of regression line?3 lựa chọn
AThe slope of estimated regression line is an unbiased estimator for the slope of population regression line
BThe slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−2
CThe slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−1
Lời giải
Đáp án đúng: "The slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−1". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. Trong hồi quy tuyến tính đơn, β̂₁ = Sxy/Sxx; phương sai sai số được ước lượng bằng σ̂² = SSE/(n − 2) vì đã mất hai bậc tự do cho β̂₀ và β̂₁, nên đại lượng chuẩn hoá T = (β̂₁ − β₁)/se(β̂₁) có phân phối t với n − 2 bậc tự do, không bao giờ là n − 1. Phát biểu "The slope of estimated regression line is an unbiased estimator for the slope of population regression line" đúng vì E(β̂₁) = β₁ dưới giả thiết sai số trung bình bằng 0. Phát biểu "The slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−2" nói hơi gọn: nói chặt thì bản thân β̂₁ có phân phối chuẩn khi sai số chuẩn, còn thống kê chuẩn hoá (β̂₁ − β₁)/se(β̂₁) mới có phân phối t(n − 2); tuy nhiên số bậc tự do n − 2 là đúng, nên đây không phải phát biểu sai cần tìm, còn phát biểu ghi n − 1 thì sai ngay ở bậc tự do.
Mở trang câu hỏi này →
49Mathematics and Physics grades of 5 students are as below We want to do linear regression analysis on X and Y. Given the standard error of the regression σ̂ = 1.43, the estimated slope β̂₁ = 0.56. Calculate the test statistic for the hypotheses H₀ : β₁ = 0 H₁ : β₁ > 0 Given T₀ = (β̂₁ − β(1,0)) / √(σ̂²/Sₓₓ)4 lựa chọn
A1.45
B1.66
C1.86
D2.06
Lời giải
Đáp án đúng: "1.45". Từ bảng điểm của 5 sinh viên, điểm Toán X = 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và điểm Lý Y = 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Ta có x̄ = 34/5 = 6.8 và Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của hệ số góc là se(β̂₁) = √(σ̂²/Sₓₓ) = 1.43/√13.8 = 1.43/3.7148 = 0.3849, nên T₀ = (β̂₁ − 0)/se(β̂₁) = 0.56/0.3849 = 1.4548 ≈ 1.45, so với phân phối t với n − 2 = 3 bậc tự do. "1.66" chỉ ra được nếu √Sₓₓ ≈ 4.24, tức Sₓₓ ≈ 18, lớn hơn tổng bình phương độ lệch thật 13.8. "1.86" đòi Sₓₓ ≈ 22.6, gần như gấp rưỡi giá trị đúng. "2.06" đòi Sₓₓ ≈ 27.7, gấp đôi giá trị đúng. Lưu ý Sₓₓ chỉ dùng cột X; cột Y chỉ cần cho việc ước lượng β̂₁ và σ̂, đã được cho sẵn.
Mở trang câu hỏi này →
50A police authority conducts an eight week experiment. In each week it records the number of foot patrols, x, made in a small town and the number of reported crimes, y, in that town. The data are summarized as follows Σxᵢ = 52, Σyᵢ = 225, Σxᵢ² = 380, Σyᵢ² = 7007, Σxᵢyᵢ = 1335. Estimate the correlation coefficient.5 lựa chọn
A−0.755
B0.755
C0.486
D−0.897
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "−0.755". Hệ số tương quan mẫu là r = Sxy/√(Sxx·Syy), với n = 8: Sxx = Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n = 380 − 52²/8 = 42; Syy = Σyᵢ² − (Σyᵢ)²/n = 7007 − 225²/8 = 678.875; Sxy = Σxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ/n = 1335 − 52·225/8 = −127.5. Vậy r = −127.5/√(42·678.875) = −127.5/168.86 = −0.755: tuần tra càng nhiều thì số vụ phạm tội báo cáo càng có xu hướng giảm. Phương án "0.755" có đúng độ lớn nhưng sai dấu, trong khi Sxy âm buộc r âm. Phương án "0.486" vừa dương vừa không khớp độ lớn của phép tính. Phương án "−0.897" có dấu đúng nhưng độ lớn sai, |r| tính được là 0.755. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì −0.755 đã có sẵn.
Mở trang câu hỏi này →
51The collection and summarization of the socioeconomic and physical characteristics of the employees of a particular firm is an example of____________4 lựa chọn
Ainferential statistics.
Ba parameter.
Cdescriptive statistics.
Da statistic.
Lời giải
Đáp án đúng: "descriptive statistics.". Thống kê mô tả (descriptive statistics) là việc thu thập, sắp xếp, tóm tắt và trình bày số liệu để mô tả chính tập dữ liệu đó. Ở đây người ta thu thập và tóm tắt đặc điểm kinh tế xã hội và thể chất của nhân viên một công ty cụ thể, không suy rộng sang tổng thể nào khác, nên đây là thống kê mô tả. Phương án "inferential statistics." sai vì thống kê suy diễn dùng mẫu để rút ra kết luận về tổng thể lớn hơn (ước lượng, kiểm định), còn ở đây chỉ mô tả. Phương án "a parameter." sai vì tham số là một con số mô tả tổng thể, ví dụ tuổi trung bình của toàn bộ nhân viên, chứ không phải một quá trình thu thập và tóm tắt. Phương án "a statistic." sai vì thống kê (statistic) là một con số tính từ mẫu, cũng chỉ là một đại lượng chứ không phải cả hoạt động thu thập và tóm tắt dữ liệu.
Mở trang câu hỏi này →
52Casualty data from the great flu epidemic of 1918 were collected for a study. This represents what type of study?4 lựa chọn
AObservational study
BAn experiment.
CRetrospective study.
DNone of them.
Lời giải
Đáp án đúng: "Retrospective study.". Trong cách phân loại cách thu thập dữ liệu kỹ thuật, có ba loại: retrospective study (nghiên cứu hồi cứu) dùng dữ liệu lịch sử đã được ghi lại từ trước, observational study (nghiên cứu quan sát) theo dõi và ghi nhận quá trình đang diễn ra mà không can thiệp, còn designed experiment (thí nghiệm thiết kế) chủ động thay đổi các yếu tố để xem phản ứng. Số liệu thương vong của đại dịch cúm 1918 là hồ sơ quá khứ được thu thập lại để phân tích, nên đây là nghiên cứu hồi cứu. "Observational study" theo nghĩa rộng cũng là không can thiệp, nhưng trong phân loại này nó chỉ việc quan sát và ghi số liệu trong hiện tại, lúc hiện tượng đang xảy ra, trong khi ở đây dữ liệu đã có từ hơn một thế kỷ trước. "An experiment." sai vì không ai gán điều kiện hay can thiệp được vào một trận dịch đã qua. "None of them." sai vì loại hồi cứu mô tả đúng nghiên cứu này.
Mở trang câu hỏi này →
53In a group of adults, some have laptops, and others do not. If two adults are randomly selected from this group, considering whether each selected adult has a laptop or not, how many total outcomes are possible?5 lựa chọn
A1
B2
C3
D4
E5
Lời giải
Đáp án đúng: "4". Mỗi người được chọn chỉ có hai trạng thái là có laptop hoặc không có laptop, và hai người được chọn là hai vị trí phân biệt (người thứ nhất, người thứ hai), nên theo quy tắc nhân không gian mẫu có 2·2 = 4 kết quả: cả hai có, chỉ người thứ nhất có, chỉ người thứ hai có, cả hai không có. Giá trị "1" chỉ đếm một kết quả cụ thể. Giá trị "2" là số trạng thái của một người, chưa nhân cho người thứ hai. Giá trị "3" là số giá trị của biến đếm số người có laptop (0, 1 hoặc 2), gộp hai kết quả chỉ một người có thành một, nên đó là miền giá trị của biến ngẫu nhiên chứ không phải số kết quả của phép thử. Giá trị "5" vượt quá số tổ hợp có thể có của hai người, mỗi người hai trạng thái.
Mở trang câu hỏi này →
54Consider the sample space S = {copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, oxygen, zinc}, and the events A = {copper, sodium, zinc}, B = {sodium, nitrogen, potassium}, C = {oxygen}. Find (A ∩ B′) ∪ C′5 lựa chọn
A{nitrogen, potassium, uranium, zinc}
B{copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, zinc}
C{copper, sodium, potassium, uranium, zinc}
D{copper, sodium, nitrogen, uranium, zinc}
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "{copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, zinc}". Tính từng bước: phần bù B′ gồm các phần tử của S không thuộc B, tức {copper, uranium, oxygen, zinc}, nên A ∩ B′ = {copper, zinc}. Phần bù C′ là S bỏ oxygen, tức {copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, zinc}. Hợp (union) của {copper, zinc} với C′ vẫn là C′ vì copper và zinc đã có trong C′, nên kết quả gồm sáu phần tử, chỉ thiếu oxygen. Tập "{nitrogen, potassium, uranium, zinc}" thiếu copper và sodium, trong khi cả hai đều thuộc C′. Tập "{copper, sodium, potassium, uranium, zinc}" bỏ sót nitrogen, mà nitrogen không phải oxygen nên chắc chắn nằm trong C′. Tập "{copper, sodium, nitrogen, uranium, zinc}" bỏ sót potassium vì cùng lý do. Đã có tập đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.
Mở trang câu hỏi này →
55An insurance company offers three different deductible levels—basic, standard, and premium—for its renter’s policyholders and four levels—minimal, low, medium, and high—for its health policyholders. The accompanying table gives proportions for the various categories of policyholders with both insurance types. Suppose an individual with both types of policies is randomly selected. What is the probability that the individual has a standard renter’s and a high health deductible?5 lựa chọn
A0.10
B0.40
C0.07
D0.03
E0.25
Lời giải
Đáp án đúng: "0.07". Bảng cho xác suất đồng thời: mỗi ô là tỉ lệ người có đồng thời một mức khấu trừ bảo hiểm thuê nhà (hàng Basic, Standard, Premium) và một mức khấu trừ bảo hiểm sức khoẻ (cột Minimal, Low, Medium, High). Biến cố "standard renter’s và high health deductible" là giao của hàng Standard với cột High, và ô đó ghi 0.07. "0.40" là tổng cả hàng Standard (0.08 + 0.10 + 0.15 + 0.07), tức xác suất biên của riêng mức Standard, bỏ qua điều kiện về bảo hiểm sức khoẻ. "0.25" là tổng cột Low (0.07 + 0.10 + 0.08), cũng là một xác suất biên nhưng của cột khác. "0.10" là ô Standard–Low (hay Basic–Medium), lệch cột so với yêu cầu. "0.03" là ô Premium–Minimal, sai cả hàng lẫn cột.
Mở trang câu hỏi này →
56A survey of senior citizens at a doctor's office shows that 52% take blood pressure-lowering medication, 43% take cholesterol-lowering medication, and 5% take both medications. What is the probability that a senior citizen takes either blood pressure-lowering or cholesterol-lowering medication?5 lựa chọn
A0.14
B0.90
C0.85
D1
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.90". Gọi A là dùng thuốc hạ huyết áp, B là dùng thuốc hạ cholesterol; "either … or" là biến cố hợp A ∪ B, tính bằng quy tắc cộng P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.52 + 0.43 − 0.05 = 0.90. Phải trừ 0.05 một lần vì nhóm dùng cả hai loại đã được đếm trong cả 52% lẫn 43%. "0.85" sai vì đó là trừ phần giao hai lần (0.95 − 0.10), tức xác suất chỉ dùng đúng một loại thuốc, không phải xác suất dùng ít nhất một loại. "0.14" sai vì không khớp với phép cộng nào của dữ liệu và nhỏ hơn cả P(A) = 0.52, trong khi hợp luôn lớn hơn hoặc bằng từng biến cố. "1" sai vì chỉ đúng khi mọi người cao tuổi đều dùng ít nhất một loại thuốc; ở đây còn 10% không dùng loại nào. "None of the other choices is correct" sai vì 0.90 có trong các lựa chọn.
Mở trang câu hỏi này →
57The analysis of results from a leaf transmutation experiment (turning a leaf into a petal) is summarized by type of transformation completed: If a leaf does not complete the textural transformation, what is the probability it will complete the color transformation?4 lựa chọn
A0.805
B0.523
C0.682
D0.22
Lời giải
Đáp án đúng: "0.523". Bảng hai chiều cho số lá theo hai biến đổi: đổi màu có và biến đổi kết cấu có là 138, đổi màu có mà kết cấu không là 23, đổi màu không mà kết cấu có là 18, cả hai không là 21; tổng 200 lá. Đây là xác suất có điều kiện P(color | không textural) = P(color ∩ không textural)/P(không textural). Cột kết cấu "no" có 23 + 21 = 44 lá, trong đó 23 lá đổi màu, nên xác suất là 23/44 ≈ 0.523. "0.805" là 161/200, xác suất đổi màu không điều kiện (hàng đổi màu có: 138 + 23 = 161), bỏ qua điều kiện đã biết. "0.22" là 44/200, xác suất không hoàn thành biến đổi kết cấu, tức mẫu số của phép chia chứ chưa phải kết quả. "0.682" không ứng với tỉ số nào trong cột kết cấu "no" (cột này chỉ cho 23/44 và 21/44 ≈ 0.477), và cũng không bằng tỉ số nào giữa các ô và các tổng của bảng.
Mở trang câu hỏi này →
58There is a 60% probability of launching a new project. If a company launches the project, there is a 75% probability that its stock price will increase. If a company does not launch the project, there is a 30% probability that its stock price will increase. Find the probability that the company’s stock price will increase?4 lựa chọn
A0.45
B0.12
C0.57
D0.33
Lời giải
Đáp án đúng: "0.57". Dùng công thức xác suất toàn phần (total probability): gọi L là biến cố công ty triển khai dự án và I là biến cố giá cổ phiếu tăng, khi đó P(I) = P(I|L)·P(L) + P(I|L')·P(L') = 0.75·0.6 + 0.30·0.4 = 0.45 + 0.12 = 0.57. Hai nhánh triển khai và không triển khai là xung khắc và phủ kín mọi khả năng nên xác suất giá tăng là tổng của chúng. "0.45" chỉ là P(I∩L), phần giá tăng trong nhánh có triển khai, bỏ sót nhánh không triển khai. "0.12" chỉ là P(I∩L'), phần giá tăng khi không triển khai dự án. "0.33" là hiệu 0.45 − 0.12, trừ hai nhánh thay vì cộng, không có ý nghĩa xác suất nào ở đây. Từ kết quả này còn tính được xác suất hậu nghiệm, chẳng hạn P(L|I) = 0.45/0.57 ≈ 0.79 theo Bayes.
Mở trang câu hỏi này →
59Given events C and D with probabilities P(C) = 0.5, P(D) = 0.2, P(C and D) = 0.11. Are C and D independent?3 lựa chọn
ANo
BYes
Ccannot be determined
Lời giải
Đáp án đúng: "No". Hai biến cố độc lập khi và chỉ khi xác suất giao bằng tích hai xác suất: P(C and D) = P(C)·P(D). Ở đây P(C)·P(D) = 0.5·0.2 = 0.10, trong khi P(C and D) = 0.11 ≠ 0.10, nên C với D không độc lập; tương đương, P(C|D) = 0.11/0.2 = 0.55 khác P(C) = 0.5, tức biết D xảy ra làm thay đổi xác suất của C. Phương án "Yes" sai vì điều kiện tích không thoả, dù hai con số 0.11 và 0.10 khá gần nhau; độc lập đòi hỏi bằng nhau chính xác. Phương án "cannot be determined" sai vì đề đã cho đủ cả P(C), P(D) và xác suất giao, nên kiểm tra được trực tiếp; nó chỉ đúng khi thiếu xác suất giao.
Mở trang câu hỏi này →
60Suppose that B and C are mutually exclusive and complementary events, such that P(B) = 0.6 and P(C) = 0.4. Consider another event A such that P(A | B) = 0.2 and P(A | C) = 0.5. Find P(A).5 lựa chọn
A0.32
B0.88
C0.10
D0.62
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.32". Hai biến cố B, C xung khắc và bù nhau nên chúng tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, do đó dùng công thức xác suất toàn phần (law of total probability): P(A) = P(A | B)·P(B) + P(A | C)·P(C) = 0.2·0.6 + 0.5·0.4 = 0.12 + 0.20 = 0.32. Giá trị "0.10" là 0.2·0.5, nhân hai xác suất có điều kiện với nhau mà không gắn trọng số P(B), P(C). Giá trị "0.62" là 0.2·0.6 + 0.5, quên nhân P(A | C) với P(C) = 0.4. Giá trị "0.88" vượt xa mọi tổ hợp hợp lý, trong khi P(A) theo xác suất toàn phần phải nằm giữa 0.2 và 0.5 vì là trung bình có trọng số của hai xác suất có điều kiện. Vì tính ra đúng 0.32 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.
Mở trang câu hỏi này →
61Which of the following random variables is NOT continuous?4 lựa chọn
AThe amount of gasoline in a car.
BThe time it takes to commute to work.
CThe number of goals scored by a hockey team.
DThe lifetime of a AAA battery.
Lời giải
Đáp án đúng: "The number of goals scored by a hockey team.". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) nhận một tập giá trị đếm được, thường là kết quả của phép đếm 0, 1, 2, …; biến liên tục (continuous) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực, thường là kết quả của phép đo. Số bàn thắng của một đội khúc côn cầu là phép đếm, không thể bằng 2.5 bàn, nên nó là biến rời rạc, tức phát biểu NOT continuous đúng với nó. "The amount of gasoline in a car." là lượng đo bằng lít, có thể là 23.47 lít hay bất kỳ số nào giữa 0 và dung tích bình, nên là biến liên tục. "The time it takes to commute to work." là thời gian đo được tới phần nhỏ của giây, cũng liên tục. "The lifetime of a AAA battery." là tuổi thọ tính bằng giờ, nhận mọi giá trị dương trong một khoảng, nên là biến liên tục. Ba biến đo lường này đều liên tục nên không đáp ứng yêu cầu tìm biến không liên tục.
Mở trang câu hỏi này →
62A batch of 500 machined parts contains 10 that do not conform to customer requirements. Parts are selected successively, without replacement, until a nonconforming part is obtained. Determine the range (possible values) of the random variable giving the number of parts selected.4 lựa chọn
A[1, 500]
B[1, 10 ]
C[1, 491]
DNone of the other answers is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "[1, 491]". Gọi X là số chi tiết phải lấy (không hoàn lại) cho tới khi gặp chi tiết không đạt đầu tiên. Nhỏ nhất X = 1 khi chi tiết đầu tiên đã không đạt. Lớn nhất xảy ra khi lấy hết 500 − 10 = 490 chi tiết đạt trước, khi đó chi tiết thứ 491 chắc chắn là chi tiết không đạt, nên miền giá trị là các số nguyên từ 1 tới 491. Khoảng "[1, 500]" sai vì không thể lấy tới 500 chi tiết: sau 490 chi tiết đạt thì mọi chi tiết còn lại đều không đạt và quá trình dừng ngay ở lần 491. Khoảng "[1, 10 ]" lẫn số chi tiết không đạt với số lần lấy; con số 10 không giới hạn số lần phải lấy. Vì có miền giá trị đúng nên "None of the other answers is correct" không đúng.
Mở trang câu hỏi này →
63A marketing firm estimates that a new instrument for analyzing soil samples will be very successful, moderately successful, or unsuccessful with probabilities 0.3, 0.6, and 0.1, respectively. The associated yearly revenues are $10 million, $5 million, and $1 million, respectively. Let X be the random variable representing the yearly revenue (in million dollars). What is the probability mass function of X?4 lựa chọn
Af(10) = 0.6, f(5) = 0.3, f(1) = 0.1.
Bf(10) = 0.3, f(5) = 0.6, f(1) = 0.1.
Cf(10) = 0.1, f(5) = 0.3, f(1) = 0.6.
Df(10) = 0.1, f(5) = 0.6, f(1) = 0.3.
Lời giải
Đáp án đúng: "f(10) = 0.3, f(5) = 0.6, f(1) = 0.1.". Hàm khối xác suất (probability mass function) f(x) = P(X = x) gán cho mỗi giá trị doanh thu đúng xác suất của kết quả sinh ra nó. Chữ "respectively" ghép theo thứ tự: rất thành công đi với xác suất 0.3 và doanh thu 10, thành công vừa đi với 0.6 và 5, không thành công đi với 0.1 và 1. Vậy f(10) = 0.3, f(5) = 0.6, f(1) = 0.1, tổng bằng 1 như yêu cầu. Bảng "f(10) = 0.6, f(5) = 0.3, f(1) = 0.1." đảo xác suất của hai mức doanh thu cao, gán 0.6 cho mức rất thành công. Bảng "f(10) = 0.1, f(5) = 0.3, f(1) = 0.6." xếp ngược hẳn, cho doanh thu thấp nhất xác suất lớn nhất. Bảng "f(10) = 0.1, f(5) = 0.6, f(1) = 0.3." giữ đúng f(5) nhưng tráo xác suất giữa mức 10 và mức 1. Cả ba đều có tổng 1 nên là hàm khối hợp lệ về hình thức, nhưng không khớp mô tả của bài.
Mở trang câu hỏi này →
64The discrete random variable X has the cumulative distribution function F(x) = 0 if x < 0 0.2 if 0 ≤ x < 1 0.4 if 1 ≤ x < 3 0.7 if 3 ≤ x < 4 1 if x ≥ 4 Find P(X<2).5 lựa chọn
A0
B0.2
C0.4
D0.7
E1
Lời giải
Đáp án đúng: "0.4". Với biến ngẫu nhiên rời rạc, F(x) = P(X ≤ x) là hàm bậc thang, nhảy tại các giá trị có xác suất dương là 0, 1, 3, 4; độ cao mỗi bước nhảy là xác suất tại điểm đó: P(X = 0) = 0.2, P(X = 1) = 0.2, P(X = 3) = 0.3, P(X = 4) = 0.3. Giữa 1 và 3 hàm F không đổi (bằng 0.4), nghĩa là X không nhận giá trị nào trong khoảng đó, nên P(X < 2) = P(X ≤ 1) = F(1) = 0.4. "0.2" là F(0) = P(X ≤ 0), bỏ sót khối xác suất 0.2 tại x = 1. "0.7" là F(3), đã cộng cả P(X = 3) = 0.3 dù 3 không nhỏ hơn 2. "0" là giá trị của F khi x < 0, còn "1" là F(4); cả hai ứng với miền khác chứ không phải x < 2.
Mở trang câu hỏi này →
Tin cậyĐiều khoảnBảo mậtCookieQuảng cáoThanh toánBiên tậpBản quyềnLiên hệ