Qiz HUBQizHUBQUESTION LIBRARY PLATFORM
Bỏ quảng cáoLuyện đề ngay
Đăng nhập
MAS291Chưa đoCơ sở ngành Cập nhật 5 giờ trước

MAS291 - Xác suất thống kê

Xác suất thống kê là môn 3 tín chỉ bậc cử nhân của Đại học FPT, học sau MAE101 hoặc MAC101. Bài toán trung tâm là ra quyết định kỹ thuật khi dữ liệu mang yếu tố ngẫu nhiên: thời gian phản hồi của máy chủ dao động theo từng yêu cầu, tỉ lệ gói tin bị mất đổi theo giờ, và một bản cập nhật phần mềm có thật sự làm ứng dụng nhanh hơn hay chỉ là trùng hợp. Thời gian giữa hai yêu cầu tới máy chủ thường được mô tả bằng phân phối mũ, còn đại lượng hình thành từ tổng nhiều sai lệch nhỏ thì xấp xỉ phân phối chuẩn; với biến liên tục, xác suất là diện tích dưới hàm mật độ, kỳ vọng và phương sai tính bằng tích phân. Gốc của mọi mô hình là xác suất: định lý Bayes cho biết một thư bị bộ lọc gắn nhãn rác thì khả năng nó thật là rác bao nhiêu, dựa trên không gian mẫu của phép thử, quy tắc nhân và xác suất có điều kiện. Biến đếm như số lỗi trong một đoạn mã hay số lượt truy cập trong một phút đi theo phân phối nhị thức, Poisson, hình học hoặc siêu bội, mỗi loại ứng với một cơ chế sinh dữ liệu khác nhau. Định lý giới hạn trung tâm nối xác suất với thống kê: trung bình mẫu gần chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn, nên từ một mẫu đo đạc có thể ước lượng tham số của cả hệ thống kèm sai số. Khoảng tin cậy cho trung bình và tỉ lệ đưa ra một dải giá trị hợp lý của tham số kèm mức tin cậy, còn phép so hai mẫu trả lời phiên bản giao diện mới có kéo tỉ lệ chuyển đổi khác bản cũ hay không. Trước khi suy diễn, dữ liệu được nhìn qua biểu đồ hộp, histogram, trung bình và độ lệch chuẩn, đồ thị theo thời gian để thấy hình dạng và điểm bất thường. Kiểm định giả thuyết so p-value với mức ý nghĩa, cân hai loại sai lầm, và chỉ bác bỏ H₀ để nghiêng về H₁ khi thống kê kiểm định rơi đủ xa giá trị cam kết. Hồi quy tuyến tính đơn đo mức gắn kết bằng hệ số tương quan, ước lượng đường thẳng bình phương nhỏ nhất giữa hai biến, chẳng hạn thời gian chạy theo kích thước dữ liệu đầu vào, rồi kiểm định ý nghĩa của hệ số góc. Phép tính được làm cả bằng tay lẫn bằng Excel. Học xong, người học dựng được khoảng tin cậy, ước lượng và kiểm tra ý nghĩa một đường hồi quy trên dữ liệu thật, nhận ra cơ chế sinh dữ liệu nào ứng với phân phối nào để tính xác suất và các đặc trưng của nó, rồi dùng kiểm định để đọc kết quả đủ chặt cho quyết định thiết kế hay vận hành hệ thống.

400Câu hỏi
8Bộ đề
10Chủ đề
Thử sức tại chỗ

Trả lời ngay tại đây

Chưa trả lời câu nào
1MAS291 - Chương 1: Vai trò của thống kê trong kỹ thuật
The federal government requires manufacturers to monitor the amount of radiation emitted through the closed door of a microwave oven. One manufacturer measured the radiation emitted by 42 microwave ovens and recorded the values. What is the population?
2MAS291 - Chương 1: Vai trò của thống kê trong kỹ thuật
In an attempt to study the health effects of air pollution, a group of researchs selected 6 cities in very different environments some from an urban setting (e.g. greater Boston), some from a heavy industrial setting (e.g. eastern Ohio), some from a rural setting (e.g. Wisconsin). Altogether they selected 8000 subjects from the 6 cities, and followed their health for the next 20 years. This represents what type of study?
3MAS291 - Chương 2: Xác suất
Both Fred and Ed have a bag of candy containing a lemon drop, a cherry drop, and a lollipop. Each takes out a piece and eats it. How many possible pairs of candies eaten?
Còn 3 câu nữa ở trên

Trả lời hết các câu trên để xem tổng kết, hoặc vào phiên học ngay.

Học từ ngân hàng câu hỏi

Bắt đầu một phiên học theo môn

Tiến độ của bạn luôn được tính và đồng bộ trực tiếp theo tổng số lượng câu hỏi mới nhất của môn học này.

400Ngân hàng hiện tại--Tiến độ môn

Câu hỏi của môn

24/400 câuCòn 376
5A box contains 7 red, 5 white, and 4 black balls. What is the probability of your drawing at random one black ball?5 lựa chọn
A1/3
B1/4
C5/16
D7/16
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "1/4". Hộp có tất cả 7 + 5 + 4 = 16 quả bóng, rút ngẫu nhiên một quả nên mỗi quả có cùng khả năng được rút; theo định nghĩa xác suất cổ điển, P(bóng đen) = số kết cục thuận lợi / số kết cục có thể = 4/16 = 1/4. Phương án "1/3" sai vì nó coi ba màu là ba kết cục đồng khả năng, bỏ qua việc số bóng của mỗi màu khác nhau. Phương án "5/16" là xác suất rút được bóng trắng (5 quả trên 16), không phải bóng đen. Phương án "7/16" là xác suất rút được bóng đỏ (7 quả trên 16). Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị đúng 1/4 đã có sẵn trong các phương án.
Mở trang câu hỏi này →
6The probability that a student at a certain college is male is 0.45. The probability that a student at that college has a job off campus is 0.33. The probability that a student at the college is male and has a job off campus is 0.15. If a student is chosen at random from the college, what is the probability that the student is male or has an off campus job?5 lựa chọn
A0.37
B0.63
C0.47
D0.93
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.63". Gọi M là biến cố sinh viên là nam, J là biến cố có việc làm ngoài trường; câu hỏi cần P(M ∪ J), dùng quy tắc cộng (addition rule) cho hai biến cố không xung khắc: P(M ∪ J) = P(M) + P(J) − P(M ∩ J) = 0.45 + 0.33 − 0.15 = 0.63. Phải trừ 0.15 vì những sinh viên vừa là nam vừa có việc làm đã bị đếm hai lần. Giá trị "0.93" là 0.45 + 0.33 + 0.15, cộng thêm phần giao thay vì trừ đi. Giá trị "0.37" là 1 − 0.63, tức xác suất sinh viên không phải nam và cũng không có việc làm ngoài trường, là phần bù chứ không phải hợp. Giá trị "0.47" không ứng với công thức nào đúng: nó lệch khỏi kết quả 0.45 + 0.33 − 0.15 = 0.63, và cũng không phải xác suất đúng một trong hai biến cố, vốn là 0.63 − 0.15 = 0.48. Vì đã tính ra đúng một con số có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.
Mở trang câu hỏi này →
7A math teacher gave her class two tests. 25% of the class passed both tests and 42% of the class passed the first test. What is the probability that a student passed the second test given that he passed the first test?5 lựa chọn
A40.3%
B50.2%
C59.5%
D55.4%
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "59.5%". Đây là xác suất có điều kiện P(B|A) = P(A∩B)/P(A), với A là sự kiện đậu bài thứ nhất và B là sự kiện đậu bài thứ hai: P(A∩B) = 0.25, P(A) = 0.42 nên P(B|A) = 0.25/0.42 = 0.5952, tức khoảng 59.5%. Điều kiện "given that he passed the first test" thu hẹp không gian mẫu về nhóm 42% đã đậu bài một, nên phải chia cho 0.42 chứ không chia cho cả lớp. "40.3%" nhỏ hơn hẳn kết quả và không suy ra được từ 0.25 với 0.42 theo công thức có điều kiện. "50.2%" gần như chỉ đoán một nửa, không dựa vào số liệu đã cho. "55.4%" lệch kết quả 0.5952 khoảng bốn điểm phần trăm, quá xa để là sai số làm tròn và không khớp phép chia 0.25/0.42. "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 59.5% có mặt và trùng đúng phép tính. Lưu ý 0.42 − 0.25 = 0.17 lại là tỉ lệ đậu bài một nhưng trượt bài hai, không phải thứ câu hỏi cần.
Mở trang câu hỏi này →
8In Orange County, 51% of the adults are males. One adult is randomly selected for a survey involving credit card usage. Given that 9% of males smoke cigars, whereas 2% of females smoke cigars. Find the probability that the selected subject smoke cigars.5 lựa chọn
A0.0557
B0.00298
C0.00367
D0.00287
ENone of the other choices is correct.
Lời giải
Đáp án đúng: "0.0557". Đây là bài xác suất toàn phần (law of total probability): gọi M là biến cố chọn được nam, F là chọn được nữ, S là người đó hút xì gà; khi đó P(S) = P(M)·P(S|M) + P(F)·P(S|F) = 0.51·0.09 + 0.49·0.02 = 0.0459 + 0.0098 = 0.0557. Giá trị "0.00298" còn nhỏ hơn cả nhánh nữ P(F∩S) = 0.0098, trong khi P(S) là tổng của hai nhánh dương nên không thể nhỏ hơn từng nhánh. Giá trị "0.00367" nhỏ hơn nhánh nam P(M∩S) = 0.0459 hơn mười lần, nghĩa là đã bỏ mất phần lớn số người hút xì gà là nam. Giá trị "0.00287" chỉ bằng khoảng một phần hai mươi kết quả đúng và không khớp cách tính sai thường gặp nào: đổi nhầm phần trăm thành phần nghìn cho 0.51·0.009 + 0.49·0.002 = 0.00557, còn nhân hai tỉ lệ hút xì gà 0.09·0.02 chỉ ra 0.0018. Vì 0.0557 có mặt trong các lựa chọn nên "None of the other choices is correct." không đúng.
Mở trang câu hỏi này →
9Let P(A∪B) = 0.75, P(A∩B) = 0.25. What is P(B) and P(A) if A and B are independent?5 lựa chọn
AP(A) = P(B) = 1/2
BP(A) = 1/3, P(B) = 3/4
CP(A) = 3/5, P(B) = 5/12.
DP(A) = 0.8, P(B) = 0.25
ENone of the other choices is correct.
Lời giải
Đáp án đúng: "P(A) = P(B) = 1/2". Hai biến cố độc lập (independent) thì P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.25, còn công thức cộng cho P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) nên P(A) + P(B) = 0.75 + 0.25 = 1. Hai số có tổng 1 và tích 0.25 là nghiệm kép của t² − t + 0.25 = 0, tức t = 1/2, nên P(A) = P(B) = 0.5. Cặp "P(A) = 1/3, P(B) = 3/4" có tích đúng 0.25 nhưng tổng 13/12, cho P(A∪B) = 13/12 − 1/4 = 5/6 ≈ 0.833 chứ không phải 0.75. Cặp "P(A) = 3/5, P(B) = 5/12." cũng có tích 0.25 nhưng tổng 61/60, cho P(A∪B) ≈ 0.767, lệch giả thiết. Cặp "P(A) = 0.8, P(B) = 0.25" có tích chỉ 0.2, nên P(A∩B) ≠ 0.25, vi phạm ngay điều kiện độc lập. Vì đã có cặp nghiệm đúng nên "None of the other choices is correct." không được chọn.
Mở trang câu hỏi này →
10A person uses his car 50% of the time, walks 20% of the time and rides the bus 30% of the time as he goes to work. He is late 10% of the time when he walks; he is late 3% of the time when he drives; and he is late 7% of the time he takes the bus. What is the probability he walked if he is on time?4 lựa chọn
A0.375
B0.191
C0.296
D0.625
Lời giải
Đáp án đúng: "0.191". Đây là bài toán Bayes với ba cách đi làm. Theo công thức xác suất toàn phần, P(đúng giờ) = 0.5·0.97 + 0.2·0.90 + 0.3·0.93 = 0.485 + 0.18 + 0.279 = 0.944. Khi đó P(đi bộ | đúng giờ) = P(đi bộ ∩ đúng giờ)/P(đúng giờ) = 0.18/0.944 ≈ 0.191. Điều kiện là "on time" nên phải dùng tỉ lệ đúng giờ 0.90, 0.97, 0.93 chứ không dùng thẳng 10%, 3%, 7%. "0.375" là P(đi xe buýt | trễ) = 0.021/0.056, vừa đổi điều kiện sang trễ vừa nhầm cách đi. "0.296" là P(đi xe buýt | đúng giờ) = 0.279/0.944, đúng điều kiện nhưng lấy nhầm tử số của xe buýt thay vì đi bộ. "0.625" bằng 1 − 0.375, tức xác suất không đi xe buýt khi đã trễ, không liên quan gì tới điều kiện đúng giờ.
Mở trang câu hỏi này →
11Let X be the time between arrivals of taxis at a busy intersection. Identify whether X is discrete or continuous.2 lựa chọn
AContinuous
BDiscrete
Lời giải
Đáp án đúng: "Continuous". Biến ngẫu nhiên liên tục (continuous) nhận giá trị trên cả một khoảng số thực và thường sinh ra từ phép đo, còn biến rời rạc (discrete) chỉ nhận hữu hạn hoặc đếm được giá trị và thường sinh ra từ phép đếm. Thời gian giữa hai lần taxi đến là đại lượng đo được, có thể là 2.5 phút, 2.53 phút hay bất kỳ số dương nào trong khoảng (0, ∞), nên X là biến liên tục; trong mô hình chuẩn, thời gian chờ giữa các lần đến thường được mô tả bằng phân phối mũ. "Discrete" sai vì đó là kiểu của đại lượng đếm, chẳng hạn số taxi đến giao lộ trong một giờ (thường mô hình bằng Poisson); việc ghi thời gian làm tròn tới phút chỉ là cách ghi chép, không làm đổi bản chất liên tục của thời gian chờ.
Mở trang câu hỏi này →
12Let X be the random variable that counts the number of times a coin is tossed until the first head appears. Which of the following statements is INCORRECT?4 lựa chọn
AX is a discrete random variable.
BX can take an infinite number of values {1, 2, 3, ...}.
CX can take an infinite number of values {0, 1, 2, 3, ...}.
DX has a countable range of values.
Lời giải
Đáp án đúng: "X can take an infinite number of values {0, 1, 2, 3, ...}.". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. X đếm số lần tung đồng xu cho tới khi ra mặt ngửa đầu tiên, tính cả lần ra ngửa, nên ít nhất phải tung 1 lần; X = 0 là không thể, vì vậy tập giá trị {0, 1, 2, 3, ...} sai. Đây là biến ngẫu nhiên hình học (geometric) với P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p, x = 1, 2, 3, .... Phát biểu "X is a discrete random variable." đúng vì X chỉ nhận giá trị nguyên rời rạc. Phát biểu "X can take an infinite number of values {1, 2, 3, ...}." đúng vì về lý thuyết có thể ra sấp mãi trước khi ra ngửa, nên không có chặn trên. Phát biểu "X has a countable range of values." đúng vì tập {1, 2, 3, ...} vô hạn nhưng đếm được, đúng đặc trưng của biến rời rạc; ba phát biểu này đúng nên không được chọn.
Mở trang câu hỏi này →
13A car agency sells 50% of its inventory of a certain foreign car equipped with airbags. Let X be a random variable giving the number of cars with airbags among the next 4 cars sold by the agency. Find the probability distribution of the number of cars with airbags.5 lựa chọn
Af(0) = 1/16, f(1) = 3/4, f(2) = 1/8, f(3)=1/16, f(4) = 1/16
Bf(0) = 1/16, f(1) = 1/2, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/4
Cf(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 3/8, f(3) = 1/4, f(4) = 1/16
Df(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/2
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 3/8, f(3) = 1/4, f(4) = 1/16". Mỗi xe bán ra có túi khí với xác suất p = 0.5, độc lập giữa các xe, nên X ~ nhị thức (binomial) với n = 4, p = 0.5 và f(x) = C(4,x)(0.5)ˣ(0.5)⁴⁻ˣ = C(4,x)/16. Thay số C(4,0) = 1, C(4,1) = 4, C(4,2) = 6, C(4,3) = 4, C(4,4) = 1 được 1/16, 4/16 = 1/4, 6/16 = 3/8, 1/4, 1/16; tổng bằng 1 và phân phối đối xứng quanh x = 2 như mọi nhị thức có p = 0.5. "f(0) = 1/16, f(1) = 3/4, f(2) = 1/8, f(3)=1/16, f(4) = 1/16" sai vì f(1) = 3/4 quá lớn, cộng lại được 17/16 vượt 1 nên không phải phân phối xác suất. "f(0) = 1/16, f(1) = 1/2, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/4" tuy tổng bằng 1 nhưng không đối xứng: với p = 0.5 phải có f(4) = f(0) và f(3) = f(1). "f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/2" sai vì xác suất lớn nhất phải rơi vào x = 2 (6 cách chọn trên 16) chứ không phải x = 4 (chỉ 1 cách). Đã có phân phối đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.
Mở trang câu hỏi này →
14If f(x) = 0.25, x = 0, 1, 2, 3 is a probability mass function, find the value of F(2), where F(x) is the cumulative distribution function.5 lựa chọn
A0.25
B0.50
C0.75
D1
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.75". Hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function) của biến ngẫu nhiên rời rạc là F(x) = P(X ≤ x) = Σ f(t) lấy trên mọi t ≤ x. Ở đây f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 0.25, tổng bằng 1 nên đúng là một hàm khối xác suất, và F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 3·0.25 = 0.75. Phương án "0.25" chỉ là f(2) = P(X = 2), tức nhầm hàm khối xác suất với hàm tích luỹ. Phương án "0.50" là F(1) = f(0) + f(1), cũng là P(X < 2): kết quả này quên cộng xác suất tại chính điểm x = 2. Phương án "1" là F(3), tổng của mọi xác suất, chỉ đạt được khi x ≥ 3. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 0.75 đã có sẵn.
Mở trang câu hỏi này →
15Find the variance for the given probability distribution X: 0, 1, 2, 3, 4; P(x): 0.10, 0.37, 0.16, 0.26, 0.116 lựa chọn
A1.5432
B1.5467
C1.4619
D1.2233
E1.5466
F0.6578
Lời giải
Đáp án đúng: "1.4619". Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc tính theo V(X) = E(X²) − [E(X)]². Trước hết E(X) = Σx·f(x) = 0·0.10 + 1·0.37 + 2·0.16 + 3·0.26 + 4·0.11 = 0.37 + 0.32 + 0.78 + 0.44 = 1.91. Tiếp theo E(X²) = Σx²·f(x) = 0 + 0.37 + 4·0.16 + 9·0.26 + 16·0.11 = 0.37 + 0.64 + 2.34 + 1.76 = 5.11. Vậy V(X) = 5.11 − 1.91² = 5.11 − 3.6481 = 1.4619. Các giá trị "1.5432", "1.5467" và "1.5466" đều lớn hơn kết quả khoảng 0.08, không khớp với E(X²) − [E(X)]² khi tính đủ chữ số, nên không phải phương sai của phân phối này. Giá trị "1.2233" cũng không phải độ lệch chuẩn, vì √1.4619 ≈ 1.2091. Giá trị "0.6578" quá nhỏ, không khớp với bất kỳ bước nào của phép tính E(X²) − [E(X)]² với số liệu đã cho.
Mở trang câu hỏi này →
16Suppose that X has a discrete uniform distribution on the integers 0 through 15. Determine the mean and standard deviation of X.5 lựa chọn
A7.5 and 5.65
B15 and 3.99
C7.5 and 4.61
D7.5 and 3.76
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "7.5 and 4.61". Với phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên a = 0 tới b = 15, kỳ vọng μ = (a + b)/2 = (0 + 15)/2 = 7.5 và phương sai σ² = ((b − a + 1)² − 1)/12 = (16² − 1)/12 = 255/12 = 21.25, nên σ = √21.25 = 4.61. Kiểm lại bằng định nghĩa σ² = Σ(x − μ)²·f(x) với f(x) = 1/16 cho mỗi giá trị cũng ra 21.25. "7.5 and 5.65" đúng trung bình nhưng 5.65² ≈ 31.9, lớn hơn nhiều so với 21.25. "15 and 3.99" lấy cận trên 15 làm trung bình, trong khi trung bình của phân phối đối xứng phải nằm giữa 0 và 15. "7.5 and 3.76" đúng trung bình nhưng 3.76² ≈ 14.1, quá nhỏ. "None of the other choices is correct" sai vì cặp 7.5 và 4.61 đã có. Lưu ý công thức (b − a)²/12 chỉ dành cho phân phối đều liên tục; ở đây X rời rạc với 16 giá trị nên dùng ((b − a + 1)² − 1)/12.
Mở trang câu hỏi này →
17Sixty-five percent of men consider themselves knowledgeable football fans. If 13 men are randomly selected, find the probability that exactly five of them will consider themselves knowledgeable fans.5 lựa chọn
A0.034
B0.215
C0.385
D0.650
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.034". Số người tự nhận là fan bóng đá am hiểu trong 13 người chọn ngẫu nhiên, độc lập, là biến nhị thức (binomial) với n = 13, p = 0.65, nên P(X = 5) = C(13,5)·0.65⁵·0.35⁸ = 1287·0.11603·0.000225 ≈ 0.0336, làm tròn 0.034. Kết quả nhỏ là hợp lý vì kỳ vọng np = 8.45, còn 5 nằm khá xa phía dưới. Giá trị "0.215" chính là P(X = 8) = C(13,8)·0.65⁸·0.35⁵, gần đỉnh phân phối, không phải tại X = 5. Giá trị "0.385" lớn hơn cả xác suất lớn nhất mà một giá trị đơn lẻ của phân phối này có thể đạt, nên không thể là P(X = 5). Giá trị "0.650" chỉ là xác suất p của một người, không phải xác suất đúng năm người trong mười ba. Vì 0.034 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.
Mở trang câu hỏi này →
18Suppose the random variable X has a geometric distribution with p = 0.3. Determine P(X > 1).5 lựa chọn
A0.7
B0.4
C0.6
D0.3
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.7". Phân phối hình học (geometric distribution) với X là số lần thử tới lần thành công đầu tiên có hàm xác suất f(x) = (1 − p)^(x−1)·p, x = 1, 2, 3, … Biến cố X > 1 nghĩa là lần thử đầu thất bại, nên P(X > 1) = 1 − P(X = 1) = 1 − 0.3 = 0.7 (tổng quát P(X > k) = (1 − p)^k). Giá trị "0.3" chính là P(X = 1) = p, tức xác suất thành công ngay lần đầu, là phần bù của điều cần tìm. Giá trị "0.4" không ứng với biểu thức nào của mô hình: nó bằng 0.7 − 0.3, một phép trừ không có nghĩa xác suất. Giá trị "0.6" cũng không xuất hiện, vì với p = 0.3 thì xác suất thất bại một lần là 0.7 chứ không phải 0.6. Nếu định nghĩa X là số lần thất bại trước lần thành công đầu thì P(X > 1) = 0.7² = 0.49, cũng không nằm trong danh sách, nên với cách định nghĩa chuẩn của môn học đáp số là 0.7 và "None of the other choices is correct" bị loại.
Mở trang câu hỏi này →
19There are calculation errors in 3 out of a package of 12 invoices. An auditor checks a random sample of 7 invoices from the package. What are the probabilities of finding all 3 errors in the sample?5 lựa chọn
A0.1591
B0.1996
C0.8327
D0.0031
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.1591". Kiểm tra 7 hoá đơn rút không hoàn lại từ 12 hoá đơn (3 có lỗi, 9 không lỗi) nên số hoá đơn lỗi X trong mẫu theo phân phối siêu bội (hypergeometric): P(X = x) = C(3, x)·C(9, 7 − x)/C(12, 7). Tìm đủ cả 3 lỗi nghĩa là X = 3: P(X = 3) = C(3,3)·C(9,4)/C(12,7) = 1·126/792 ≈ 0.1591. "0.1996" lớn hơn giá trị đúng và không ứng với tỉ số tổ hợp nào cho X = 3; ngay cả cách coi nhầm là nhị thức với p = 3/12 cũng chỉ cho khoảng 0.173. "0.8327" quá lớn và không khớp biến cố nào của phân phối này: P(X ≤ 2) = 1 − 0.1591 ≈ 0.8409, P(X ≥ 1) = 1 − 36/792 ≈ 0.9545, trong khi tìm đủ cả 3 lỗi chỉ ứng với 126 trong 792 tổ hợp. "0.0031" quá nhỏ và cũng không bằng xác suất nào của X: giá trị nhỏ nhất là P(X = 0) = 36/792 ≈ 0.0455. "None of the other choices is correct" sai vì 0.1591 có trong danh sách.
Mở trang câu hỏi này →
20A naturalist leads whale watch trips every morning in March. The number of whales seen has a Poisson distribution with a mean of 4.3. Find the probability that on a randomly selected trip, the number of whales seen is 3.5 lựa chọn
A0.3057
B0.1798
C0.3596
D0.5394
ENone of the other choices is correct
Lời giải
Đáp án đúng: "0.1798". Số cá voi thấy trong một chuyến có phân phối Poisson với λ = 4.3, nên dùng f(x) = e^(−λ)λˣ/x!. Thay x = 3: e^(−4.3) ≈ 0.013569, 4.3³ = 79.507, 3! = 6, suy ra P(X = 3) = 0.013569·79.507/6 ≈ 0.1798. "0.3596" sai vì đúng bằng gấp đôi 0.1798, tức chỉ chia 4.3³ cho 3 thay vì cho 3! = 6. "0.5394" sai vì là gấp ba 0.1798, tức chỉ chia cho 2 thay vì cho 3! = 6. "0.3057" sai vì không ứng với P(X = 3) và cũng không phải xác suất tích luỹ: P(X ≤ 3) = 0.0136 + 0.0583 + 0.1254 + 0.1798 ≈ 0.3772. "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 0.1798 có trong các lựa chọn.
Mở trang câu hỏi này →
21The time between arrivals of taxis at a busy intersection is exponentially distributed with a mean of 20 minutes. What is the probability that you wait longer than one hour for a taxi?4 lựa chọn
A0.0498
B0.9502
C0.0183
D0.9817
Lời giải
Đáp án đúng: "0.0498". Thời gian chờ X có phân phối mũ (exponential) với trung bình 20 phút, nên tham số λ = 1/20 mỗi phút và P(X > x) = e^(−λx). Một giờ là 60 phút: P(X > 60) = e^(−60/20) = e^(−3) ≈ 0.0498. "0.9502" là 1 − e^(−3) = P(X ≤ 60), xác suất chờ KHÔNG quá một giờ, ngược với điều câu hỏi cần. "0.0183" là e^(−4), ứng với chờ quá 80 phút hoặc dùng nhầm λ, không khớp với 60/20 = 3. "0.9817" là 1 − e^(−4), vừa dùng sai số mũ vừa lấy phần bù. Lưu ý phân phối mũ có tính không nhớ, nhưng ở đây chỉ cần hàm sống sót e^(−λx) với x = 60.
Mở trang câu hỏi này →
22The continuous random variable X has probability density function is f(x) = e⁻ˣ, x > 0. Find P(X=2010). (i) 0 (ii) 1 (iii) 1/e⁻²⁰¹⁰4 lựa chọn
ANone of the others
B(ii)
C(iii)
D(i)
Lời giải
Đáp án đúng: "(i)". Với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất tại một điểm luôn bằng 0 vì P(X = a) là tích phân của f(x) từ a đến a, một khoảng có độ dài 0. Mật độ f(x) = e⁻ˣ với x > 0 là phân phối mũ với λ = 1, chỉ cho xác suất dương trên các khoảng, nên P(X = 2010) = 0, đúng như mục (i). "(ii)" sai vì xác suất bằng 1 nghĩa là X chắc chắn nhận đúng giá trị 2010, trái với việc X trải liên tục trên cả nửa trục (0, ∞). "(iii)" sai vì 1/e⁻²⁰¹⁰ = e²⁰¹⁰ là một số khổng lồ, vượt xa 1 nên không thể là xác suất; cũng đừng nhầm với giá trị mật độ f(2010) = e⁻²⁰¹⁰, đó là chiều cao đường mật độ tại điểm 2010 chứ không phải xác suất. Mục (i) đúng nên "None of the others" không được chọn. Hệ quả hay dùng: với biến liên tục, P(X ≤ a) = P(X < a), dấu bằng ở cận không làm đổi xác suất.
Mở trang câu hỏi này →
23Suppose the cumulative distribution function of the random variable X is F(x) = 0, x < 0 F(x) = 0.2x, 0 ≤ x < 5 F(x) = 1, 5 ≤ x Find P(−1 < X < 3).4 lựa chọn
A0.6
B0.8
C0
D1.0
Lời giải
Đáp án đúng: "0.6". Với biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối tích luỹ F, ta có P(a < X < b) = F(b) − F(a), và xác suất tại một điểm bằng 0 nên dùng dấu < hay ≤ đều cho cùng kết quả. Vì 0 ≤ 3 < 5 nên F(3) = 0.2·3 = 0.6; vì −1 < 0 nên F(−1) = 0. Do đó P(−1 < X < 3) = 0.6 − 0 = 0.6. Phương án "0.8" sai vì nó thế x = −1 vào công thức 0.2x ngoài miền áp dụng của nhánh đó: 0.2·3 − 0.2·(−1) = 0.8. Phương án "0" chỉ là F(−1), hoặc là kết luận nhầm rằng khoảng chứa giá trị âm thì xác suất bằng 0, trong khi phần (0, 3) vẫn mang xác suất. Phương án "1.0" là F(5), toàn bộ xác suất của miền 0 ≤ x < 5, lớn hơn phần khoảng từ 0 tới 3.
Mở trang câu hỏi này →
24Let X be a continuous random variable with probability density function f(x) = 4x³ for 0 < x < 1. Determine the mean of X.4 lựa chọn
A0.8
B0.5
C1
D0.05
Lời giải
Đáp án đúng: "0.8". Với biến ngẫu nhiên liên tục, kỳ vọng (mean) là E(X) = ∫x·f(x)dx trên miền xác định. Ở đây E(X) = ∫ từ 0 đến 1 của x·4x³ dx = ∫ từ 0 đến 1 của 4x⁴ dx = 4/5 = 0.8. Kết quả lệch về phía 1 là hợp lý vì hàm mật độ 4x³ tăng nhanh, dồn khối lượng xác suất về gần đầu phải của khoảng. Giá trị "0.5" là trung điểm của khoảng (0, 1), chỉ đúng khi X phân phối đều; với mật độ 4x³ thì không đối xứng nên kỳ vọng không nằm ở giữa. Giá trị "1" là ∫f(x)dx, tức tổng xác suất bằng 1, đó là điều kiện để f là hàm mật độ chứ không phải kỳ vọng. Giá trị "0.05" quá nhỏ, không phù hợp với một mật độ tập trung về phía x gần 1.
Mở trang câu hỏi này →
Tin cậyĐiều khoảnBảo mậtCookieQuảng cáoThanh toánBiên tậpBản quyềnLiên hệ