Câu hỏi: MAS291 - Chương 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

Đáp án đúng: "f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 3/8, f(3) = 1/4, f(4) = 1/16". Mỗi xe bán ra có túi khí với xác suất p = 0.5, độc lập giữa các xe, nên X ~ nhị thức (binomial) với n = 4, p = 0.5 và f(x) = C(4,x)(0.5)ˣ(0.5)⁴⁻ˣ = C(4,x)/16. Thay số C(4,0) = 1, C(4,1) = 4, C(4,2) = 6, C(4,3) = 4, C(4,4) = 1 được 1/16, 4/16 = 1/4, 6/16 = 3/8, 1/4, 1/16; tổng bằng 1 và phân phối đối xứng quanh x = 2 như mọi nhị thức có p = 0.5. "f(0) = 1/16, f(1) = 3/4, f(2) = 1/8, f(3)=1/16, f(4) = 1/16" sai vì f(1) = 3/4 quá lớn, cộng lại được 17/16 vượt 1 nên không phải phân phối xác suất. "f(0) = 1/16, f(1) = 1/2, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/4" tuy tổng bằng 1 nhưng không đối xứng: với p = 0.5 phải có f(4) = f(0) và f(3) = f(1). "f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 1/8, f(3) = 1/16, f(4) = 1/2" sai vì xác suất lớn nhất phải rơi vào x = 2 (6 cách chọn trên 16) chứ không phải x = 4 (chỉ 1 cách). Đã có phân phối đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.75". Hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function) của biến ngẫu nhiên rời rạc là F(x) = P(X ≤ x) = Σ f(t) lấy trên mọi t ≤ x. Ở đây f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 0.25, tổng bằng 1 nên đúng là một hàm khối xác suất, và F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 3·0.25 = 0.75. Phương án "0.25" chỉ là f(2) = P(X = 2), tức nhầm hàm khối xác suất với hàm tích luỹ. Phương án "0.50" là F(1) = f(0) + f(1), cũng là P(X < 2): kết quả này quên cộng xác suất tại chính điểm x = 2. Phương án "1" là F(3), tổng của mọi xác suất, chỉ đạt được khi x ≥ 3. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 0.75 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "1.4619". Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc tính theo V(X) = E(X²) − [E(X)]². Trước hết E(X) = Σx·f(x) = 0·0.10 + 1·0.37 + 2·0.16 + 3·0.26 + 4·0.11 = 0.37 + 0.32 + 0.78 + 0.44 = 1.91. Tiếp theo E(X²) = Σx²·f(x) = 0 + 0.37 + 4·0.16 + 9·0.26 + 16·0.11 = 0.37 + 0.64 + 2.34 + 1.76 = 5.11. Vậy V(X) = 5.11 − 1.91² = 5.11 − 3.6481 = 1.4619. Các giá trị "1.5432", "1.5467" và "1.5466" đều lớn hơn kết quả khoảng 0.08, không khớp với E(X²) − [E(X)]² khi tính đủ chữ số, nên không phải phương sai của phân phối này. Giá trị "1.2233" cũng không phải độ lệch chuẩn, vì √1.4619 ≈ 1.2091. Giá trị "0.6578" quá nhỏ, không khớp với bất kỳ bước nào của phép tính E(X²) − [E(X)]² với số liệu đã cho.

Đáp án đúng: "7.5 and 4.61". Với phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên a = 0 tới b = 15, kỳ vọng μ = (a + b)/2 = (0 + 15)/2 = 7.5 và phương sai σ² = ((b − a + 1)² − 1)/12 = (16² − 1)/12 = 255/12 = 21.25, nên σ = √21.25 = 4.61. Kiểm lại bằng định nghĩa σ² = Σ(x − μ)²·f(x) với f(x) = 1/16 cho mỗi giá trị cũng ra 21.25. "7.5 and 5.65" đúng trung bình nhưng 5.65² ≈ 31.9, lớn hơn nhiều so với 21.25. "15 and 3.99" lấy cận trên 15 làm trung bình, trong khi trung bình của phân phối đối xứng phải nằm giữa 0 và 15. "7.5 and 3.76" đúng trung bình nhưng 3.76² ≈ 14.1, quá nhỏ. "None of the other choices is correct" sai vì cặp 7.5 và 4.61 đã có. Lưu ý công thức (b − a)²/12 chỉ dành cho phân phối đều liên tục; ở đây X rời rạc với 16 giá trị nên dùng ((b − a + 1)² − 1)/12.

Đáp án đúng: "0.034". Số người tự nhận là fan bóng đá am hiểu trong 13 người chọn ngẫu nhiên, độc lập, là biến nhị thức (binomial) với n = 13, p = 0.65, nên P(X = 5) = C(13,5)·0.65⁵·0.35⁸ = 1287·0.11603·0.000225 ≈ 0.0336, làm tròn 0.034. Kết quả nhỏ là hợp lý vì kỳ vọng np = 8.45, còn 5 nằm khá xa phía dưới. Giá trị "0.215" chính là P(X = 8) = C(13,8)·0.65⁸·0.35⁵, gần đỉnh phân phối, không phải tại X = 5. Giá trị "0.385" lớn hơn cả xác suất lớn nhất mà một giá trị đơn lẻ của phân phối này có thể đạt, nên không thể là P(X = 5). Giá trị "0.650" chỉ là xác suất p của một người, không phải xác suất đúng năm người trong mười ba. Vì 0.034 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.7". Phân phối hình học (geometric distribution) với X là số lần thử tới lần thành công đầu tiên có hàm xác suất f(x) = (1 − p)^(x−1)·p, x = 1, 2, 3, … Biến cố X > 1 nghĩa là lần thử đầu thất bại, nên P(X > 1) = 1 − P(X = 1) = 1 − 0.3 = 0.7 (tổng quát P(X > k) = (1 − p)^k). Giá trị "0.3" chính là P(X = 1) = p, tức xác suất thành công ngay lần đầu, là phần bù của điều cần tìm. Giá trị "0.4" không ứng với biểu thức nào của mô hình: nó bằng 0.7 − 0.3, một phép trừ không có nghĩa xác suất. Giá trị "0.6" cũng không xuất hiện, vì với p = 0.3 thì xác suất thất bại một lần là 0.7 chứ không phải 0.6. Nếu định nghĩa X là số lần thất bại trước lần thành công đầu thì P(X > 1) = 0.7² = 0.49, cũng không nằm trong danh sách, nên với cách định nghĩa chuẩn của môn học đáp số là 0.7 và "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.1591". Kiểm tra 7 hoá đơn rút không hoàn lại từ 12 hoá đơn (3 có lỗi, 9 không lỗi) nên số hoá đơn lỗi X trong mẫu theo phân phối siêu bội (hypergeometric): P(X = x) = C(3, x)·C(9, 7 − x)/C(12, 7). Tìm đủ cả 3 lỗi nghĩa là X = 3: P(X = 3) = C(3,3)·C(9,4)/C(12,7) = 1·126/792 ≈ 0.1591. "0.1996" lớn hơn giá trị đúng và không ứng với tỉ số tổ hợp nào cho X = 3; ngay cả cách coi nhầm là nhị thức với p = 3/12 cũng chỉ cho khoảng 0.173. "0.8327" quá lớn và không khớp biến cố nào của phân phối này: P(X ≤ 2) = 1 − 0.1591 ≈ 0.8409, P(X ≥ 1) = 1 − 36/792 ≈ 0.9545, trong khi tìm đủ cả 3 lỗi chỉ ứng với 126 trong 792 tổ hợp. "0.0031" quá nhỏ và cũng không bằng xác suất nào của X: giá trị nhỏ nhất là P(X = 0) = 36/792 ≈ 0.0455. "None of the other choices is correct" sai vì 0.1591 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.1798". Số cá voi thấy trong một chuyến có phân phối Poisson với λ = 4.3, nên dùng f(x) = e^(−λ)λˣ/x!. Thay x = 3: e^(−4.3) ≈ 0.013569, 4.3³ = 79.507, 3! = 6, suy ra P(X = 3) = 0.013569·79.507/6 ≈ 0.1798. "0.3596" sai vì đúng bằng gấp đôi 0.1798, tức chỉ chia 4.3³ cho 3 thay vì cho 3! = 6. "0.5394" sai vì là gấp ba 0.1798, tức chỉ chia cho 2 thay vì cho 3! = 6. "0.3057" sai vì không ứng với P(X = 3) và cũng không phải xác suất tích luỹ: P(X ≤ 3) = 0.0136 + 0.0583 + 0.1254 + 0.1798 ≈ 0.3772. "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 0.1798 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "[1, 491]". Gọi X là số chi tiết phải lấy (không hoàn lại) cho tới khi gặp chi tiết không đạt đầu tiên. Nhỏ nhất X = 1 khi chi tiết đầu tiên đã không đạt. Lớn nhất xảy ra khi lấy hết 500 − 10 = 490 chi tiết đạt trước, khi đó chi tiết thứ 491 chắc chắn là chi tiết không đạt, nên miền giá trị là các số nguyên từ 1 tới 491. Khoảng "[1, 500]" sai vì không thể lấy tới 500 chi tiết: sau 490 chi tiết đạt thì mọi chi tiết còn lại đều không đạt và quá trình dừng ngay ở lần 491. Khoảng "[1, 10 ]" lẫn số chi tiết không đạt với số lần lấy; con số 10 không giới hạn số lần phải lấy. Vì có miền giá trị đúng nên "None of the other answers is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "f(10) = 0.3, f(5) = 0.6, f(1) = 0.1.". Hàm khối xác suất (probability mass function) f(x) = P(X = x) gán cho mỗi giá trị doanh thu đúng xác suất của kết quả sinh ra nó. Chữ "respectively" ghép theo thứ tự: rất thành công đi với xác suất 0.3 và doanh thu 10, thành công vừa đi với 0.6 và 5, không thành công đi với 0.1 và 1. Vậy f(10) = 0.3, f(5) = 0.6, f(1) = 0.1, tổng bằng 1 như yêu cầu. Bảng "f(10) = 0.6, f(5) = 0.3, f(1) = 0.1." đảo xác suất của hai mức doanh thu cao, gán 0.6 cho mức rất thành công. Bảng "f(10) = 0.1, f(5) = 0.3, f(1) = 0.6." xếp ngược hẳn, cho doanh thu thấp nhất xác suất lớn nhất. Bảng "f(10) = 0.1, f(5) = 0.6, f(1) = 0.3." giữ đúng f(5) nhưng tráo xác suất giữa mức 10 và mức 1. Cả ba đều có tổng 1 nên là hàm khối hợp lệ về hình thức, nhưng không khớp mô tả của bài.

Đáp án đúng: "0.4". Với biến ngẫu nhiên rời rạc, F(x) = P(X ≤ x) là hàm bậc thang, nhảy tại các giá trị có xác suất dương là 0, 1, 3, 4; độ cao mỗi bước nhảy là xác suất tại điểm đó: P(X = 0) = 0.2, P(X = 1) = 0.2, P(X = 3) = 0.3, P(X = 4) = 0.3. Giữa 1 và 3 hàm F không đổi (bằng 0.4), nghĩa là X không nhận giá trị nào trong khoảng đó, nên P(X < 2) = P(X ≤ 1) = F(1) = 0.4. "0.2" là F(0) = P(X ≤ 0), bỏ sót khối xác suất 0.2 tại x = 1. "0.7" là F(3), đã cộng cả P(X = 3) = 0.3 dù 3 không nhỏ hơn 2. "0" là giá trị của F khi x < 0, còn "1" là F(4); cả hai ứng với miền khác chứ không phải x < 2.

Đáp án đúng: "mean: 1.59; standard deviation: 1.09". Với biến rời rạc, E(X) = Σx·f(x) và V(X) = E(X²) − μ². Ở đây E(X) = (0·3 + 1·5 + 2·6 + 3·2 + 4·1)/17 = 27/17 ≈ 1.59; E(X²) = (0 + 5 + 24 + 18 + 16)/17 = 63/17 ≈ 3.71; V(X) = 3.7059 − 1.5882² ≈ 1.1834, nên σ = √1.1834 ≈ 1.09. "mean: 3.72; standard deviation: 2.52" sai vì lấy con số cỡ E(X²) ≈ 3.71 làm trung bình, trong khi trung bình phải là Σx·f(x). "mean: 2.52; standard deviation: 1.93" sai vì trung bình 2.52 không khớp 27/17 ≈ 1.59; X dồn nhiều xác suất ở 0, 1, 2 nên trung bình không thể vượt 2. "mean: 1.59; standard deviation: 3.72" đúng trung bình nhưng sai độ lệch chuẩn: nó dùng E(X²) mà quên trừ μ² và lấy căn. "None of the other choices is correct" sai vì cặp 1.59 và 1.09 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "8". Phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên liên tiếp từ a đến b có E(X) = (a + b)/2. Ở đây X nhận năm giá trị b, b+1, b+2, b+3, b+4 với xác suất bằng nhau 1/5, nên E(X) = (b + (b + 4))/2 = b + 2. Cho E(X) = 10 thì b + 2 = 10, suy ra b = 8; kiểm lại: (8 + 9 + 10 + 11 + 12)/5 = 50/5 = 10. "9" ứng với nhầm E(X) = b + 1, tức lấy giá trị thứ hai làm tâm thay vì giá trị giữa. "5" là 10/2, chia đôi kỳ vọng như thể E(X) = 2b. "4" không thoả: với b = 4 các giá trị 4 tới 8 có trung bình 6. Vì b = 8 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" sai.

Đáp án đúng: "12". Gọi X là số người ủng hộ trong 15 người được chọn; mỗi người ủng hộ với xác suất p = 0.8, độc lập, nên X ~ nhị thức (binomial) với n = 15, p = 0.8. Kỳ vọng (mean) của nhị thức là E(X) = np = 15·0.8 = 12, nghĩa là trung bình 12 trên 15 người ủng hộ; phương sai đi kèm là np(1 − p) = 15·0.8·0.2 = 2.4. "8" là nhầm 80% thành 8 người, quên nhân tỉ lệ với cỡ mẫu 15. "15" là toàn bộ mẫu, chỉ đúng khi p = 1, tức mọi người đều ủng hộ. "10" tương ứng tỉ lệ 10/15 ≈ 0.67, tức khoảng 67% ủng hộ chứ không phải 80%. Đã tính được 12 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.0417". Số phát bắn cần để trúng lần thứ r tuân theo phân phối nhị thức âm (negative binomial): P(X = x) = C(x−1, r−1)·pʳ·(1−p)^(x−r). Muốn phát thứ bảy là lần trúng thứ ba thì sáu phát đầu phải có đúng hai lần trúng và phát thứ bảy trúng: C(6, 2)·0.7³·0.3⁴ = 15·0.343·0.0081 = 0.0417. Phương án "0.0028" là 0.7³·0.3⁴ = 0.00278, quên hệ số C(6, 2) đếm các vị trí của hai lần trúng trước. Phương án "0.1389" là 15·0.7³·0.3³, dùng sai số mũ của xác suất trượt (7 − 3 = 4 lần trượt, không phải 3). Phương án "0.0595" không khớp công thức nhị thức âm, cũng không phải xác suất nhị thức trúng đúng 3 trong 7 phát, vốn là C(7, 3)·0.7³·0.3⁴ = 0.0972. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.0417 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.22". Ví có 5 + 3 + 4 = 12 tờ, rút ngẫu nhiên 3 tờ không hoàn lại, nên số tờ 50,000VND trong 3 tờ tuân theo phân phối siêu bội (hypergeometric). Xác suất có đúng 2 tờ 50,000VND là C(4,2)·C(8,1)/C(12,3) = 6·8/220 = 48/220 ≈ 0.218, làm tròn 0.22. Ở đây C(4,2) chọn 2 trong 4 tờ 50,000VND, C(8,1) chọn 1 tờ trong 8 tờ còn lại, C(12,3) = 220 là tổng số cách rút 3 tờ. Giá trị "0.33" gần bằng tỷ lệ 4/12 tờ 50,000VND, đó là xác suất một tờ rút ra là 50,000VND chứ không phải xác suất có đúng 2 trong 3 tờ. Giá trị "0.15" và "0.26" lệch khỏi C(4,2)·C(8,1)/C(12,3) ≈ 0.218 và không khớp công thức siêu bội; quên nhân C(8,1) chỉ còn 6/220 ≈ 0.027, còn tính như rút có hoàn lại theo nhị thức thì được 3·(1/3)²·(2/3) ≈ 0.222, đều không ra hai con số này. Vì 0.22 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.09". Số lần bị gọi lại tuân theo phân phối Poisson với λ = 4 mỗi tháng, f(x) = e^(−λ)λˣ/x!. "At most once" nghĩa là X ≤ 1, nên P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^(−4)(1 + 4) = 5·0.01832 = 0.0916 ≈ 0.09. Ý nghĩa: với trung bình 4 lần, tháng nào chỉ bị gọi tối đa một lần là chuyện hiếm, chưa tới một phần mười. "0.12" lớn hơn P(X ≤ 1) = 0.0916 nhưng nhỏ hơn P(X ≤ 2) = 0.2381, nên không là xác suất tích luỹ nào của λ = 4; muốn P(X ≤ 1) = 0.12 thì λ phải vào khoảng 3.7. "0.15" gần với P(X = 2) = e^(−4)·4²/2! = 0.1465, là xác suất bị gọi đúng hai lần chứ không phải tối đa một lần. "0.18" chỉ đạt được khi λ khoảng 3.1, tức trung bình nhỏ hơn mức 4 lần đã cho. "None of the other choices is correct" sai vì 0.09 có mặt và khớp phép tính sau khi làm tròn.

Đáp án đúng: "10,000". Biến ngẫu nhiên X đếm số người mang gene IFI202 trong nhóm 10,000 người được xét nghiệm, nên X là biến rời rạc (discrete) nhận các giá trị nguyên 0, 1, 2, …, 10,000. Giá trị lớn nhất xảy ra khi mọi người được xét nghiệm đều mang gene, tức X = 10,000; giá trị nhỏ nhất là 0 khi không ai mang gene. "10,001" sai vì không thể đếm được nhiều người mang gene hơn số người được xét nghiệm; 10,001 thực ra là số giá trị khác nhau X có thể nhận (tính cả 0), không phải giá trị lớn nhất. "9,999" sai vì bỏ sót trường hợp tất cả 10,000 người cùng mang gene, một trường hợp hiếm nhưng vẫn có thể xảy ra. Đã có giá trị đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "1/6". Một hàm khối xác suất hợp lệ phải có f(x) ≥ 0 và tổng mọi xác suất bằng 1. Với f(x) = kx tại x = 1, 2, 3: k·1 + k·2 + k·3 = 6k = 1, suy ra k = 1/6, khi đó f(1) = 1/6, f(2) = 2/6, f(3) = 3/6 đều không âm. Phương án "1" cho tổng 6, vượt 1. Phương án "3" cho tổng 18. Phương án "1/3" cho tổng 6/3 = 2, vẫn lớn hơn 1. Phương án "1/2" cho tổng 6/2 = 3; cả bốn giá trị này đều vi phạm điều kiện tổng xác suất bằng 1, chỉ k = 1/6 thoả.

Đáp án đúng: "Be decreasing function". Câu hỏi tìm phát biểu SAI về hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function, CDF) F(x) = P(X ≤ x) của biến ngẫu nhiên rời rạc. CDF luôn không giảm (non-decreasing): khi x tăng thì biến cố X ≤ x chỉ mở rộng thêm nên xác suất không thể giảm, vì thế nói nó giảm là sai và đây là phát biểu cần chọn. Phát biểu "Range from 0 to 1" là đúng vì F(x) là một xác suất, tiến về 0 khi x → −∞ và về 1 khi x → +∞, nên không được chọn. Phát biểu "Be a discontinuous function" cũng đúng với biến rời rạc: CDF có dạng bậc thang, nhảy một bước bằng f(xᵢ) tại mỗi giá trị có xác suất dương nên gián đoạn tại các điểm đó, do đó không phải phát biểu sai. Vì đã có một phát biểu sai rõ ràng nên "None of the other choices is correct" không đúng.