Câu hỏi: MAS291 - Chương 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

Đáp án đúng: "0.11". Lô có 300 chi tiết, 100 từ nhà cung cấp địa phương; rút hai chi tiết không hoàn lại nên dùng quy tắc nhân với xác suất có điều kiện: P = (100/300)·(99/299) = 0.3333·0.3311 = 0.1104 ≈ 0.11. Cách tương đương theo tổ hợp (siêu bội): C(100,2)/C(300,2) = 4950/44850 = 0.1104. "0.33" chỉ là 100/300, xác suất một chi tiết đến từ nhà cung cấp địa phương, quên điều kiện chi tiết thứ hai. "0.22" gấp đôi kết quả đúng, như thể nhân thêm 2 cách sắp thứ tự, trong khi cả hai chi tiết cùng một nguồn nên chỉ có một khả năng. "0.50" không ứng với tỉ lệ nào trong lô, vì phần địa phương chỉ là 1/3. Đã có 0.11 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.018". Với phân phối Poisson trung bình λ = 0.210 sự cố mỗi ngày, P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!. Do đó P(X = 2) = e^(−0.21)·0.21²/2! = 0.8106·0.0441/2 = 0.0179 ≈ 0.018. Phương án "0.036" là 0.8106·0.0441 = 0.0357, quên chia cho 2! = 2. Phương án "0.085" không khớp công thức với x = 2; xác suất đúng một sự cố là 0.21·0.8106 = 0.170, cũng khác. Phương án "0.027" không ứng với bước tính nào của công thức Poisson. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.018 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "{0, 1, 2}". Rút 2 viên không hoàn lại từ 3 đỏ và 2 xanh, X đếm số bi đỏ nên X nằm từ 0 tới 2; cả ba giá trị đều xảy ra được: X = 0 khi rút cả hai viên xanh, P = C(2,2)/C(5,2) = 1/10; X = 1 với P = 3·2/10 = 6/10; X = 2 với P = C(3,2)/10 = 3/10, tổng bằng 1. "{0, 1, 2, 3}" sai vì chỉ rút 2 viên nên không thể có 3 bi đỏ dù trong hộp có 3 viên đỏ. "{1, 2}" sai vì bỏ sót X = 0: hộp có đủ 2 viên xanh nên rút được cả hai viên xanh. "{0, 2}" sai vì bỏ sót X = 1, trong khi đó lại là giá trị có xác suất lớn nhất 0.6.

Đáp án đúng: "1/98". Hàm khối xác suất (probability mass function) phải thoả f(x) ≥ 0 và tổng trên mọi giá trị bằng 1. Với X nhận 1, 2, 3: f(1) + f(2) + f(3) = c(1⁴ + 2⁴ + 3⁴) = c(1 + 16 + 81) = 98c = 1, suy ra c = 1/98; khi c > 0 thì mọi f(x) đều không âm. "98" là tổng 98 chứ không phải hằng số chuẩn hoá; với c = 98 thì tổng xác suất là 98·98, vượt xa 1. "1/3" là xác suất đều cho ba giá trị, áp dụng khi f(x) là hằng chứ không tỉ lệ với x⁴. "3" là số giá trị của X, không đảm bảo tổng bằng 1. Vì 1/98 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "P(X ≤ 1/4) = 0.9". Hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function) F(x) = P(X ≤ x) trong hình là hàm bậc thang: bằng 0 khi x < 1/8, bằng 0.2 khi 1/8 ≤ x < 1/4, bằng 0.9 khi 1/4 ≤ x < 3/8, và bằng 1 khi x ≥ 3/8. Tại x = 1/4 dòng thứ ba áp dụng (dấu ≤ nằm ở cận trái) nên P(X ≤ 1/4) = F(1/4) = 0.9. "P(X ≤ 1/4) = 0.7" nhầm F(1/4) với bước nhảy tại 1/4, tức P(X = 1/4) = 0.9 − 0.2 = 0.7. "P (X > 1/4) = 0.9" sai vì P(X > 1/4) = 1 − F(1/4) = 1 − 0.9 = 0.1, chính là xác suất độ dày bằng 3/8 inch. "P (X > 1/4) = 0.7" cũng sai vì cùng biến cố đó chỉ có xác suất 0.1. Đã có phát biểu đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Phân phối đầy đủ: P(X = 1/8) = 0.2, P(X = 1/4) = 0.7, P(X = 3/8) = 0.1.

Đáp án đúng: "1.32". X nhận 5 giá trị đồng khả năng nên mỗi giá trị có xác suất 1/5; đây là phân phối của biến ngẫu nhiên, nên phương sai chia cho 5: V(X) = E(X²) − [E(X)]². Ta có E(X) = (0.5 + 1.4 + 2.2 + 3.5 + 4.1)/5 = 2.34, E(X²) = (0.25 + 1.96 + 4.84 + 12.25 + 16.81)/5 = 7.222, nên V(X) = 7.222 − 2.34² = 1.7464 và σ = √1.7464 = 1.32. Phương án "1.75" là phương sai 1.7464 làm tròn, chưa lấy căn bậc hai. Phương án "1.68" không khớp; chia cho n − 1 như phương sai mẫu cũng chỉ ra độ lệch chuẩn 1.48. Phương án "1.30" gần nhưng không đúng kết quả làm tròn của 1.3215. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 1.32 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0". Phân phối đều rời rạc trên các số nguyên 10, 11, …, 20 gán xác suất 1/11 cho mỗi giá trị trong 11 giá trị đó và xác suất 0 cho mọi giá trị nằm ngoài. Số 7 không thuộc tập giá trị, nên P(X = 7) = 0. Giá trị "1/11" là xác suất của một số nguyên bất kỳ trong khoảng từ 10 đến 20, đúng với P(X = 15) chẳng hạn nhưng không đúng với 7. Giá trị "1/10" đếm sai số phần tử thành 20 − 10 = 10, quên tính cả hai đầu mút. Giá trị "1/20" coi như X đều trên 20 giá trị, không có cơ sở. Vì 0 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" không đúng.

Đáp án đúng: "0.2627". Số lần trúng hồng tâm trong 8 phát độc lập là biến nhị thức với n = 8, p = 0.55, f(x) = C(n,x)pˣ(1−p)ⁿ⁻ˣ. Với x = 4: C(8,4) = 70, 0.55⁴ = 0.09151, 0.45⁴ = 0.04101, nên P(X = 4) = 70·0.09151·0.04101 = 0.2627. "0.0038" là 0.55⁴·0.45⁴, quên nhân hệ số tổ hợp C(8,4) = 70, tức chỉ tính xác suất của một thứ tự cụ thể như trúng bốn phát đầu rồi trượt bốn phát sau. "0.0915" là 0.55⁴, chỉ xác suất trúng bốn phát mà bỏ qua bốn phát trượt và số cách sắp xếp. "0.1719" là P(X = 3) = C(8,3)·0.55³·0.45⁵ = 56·0.1664·0.01845, xác suất trúng đúng ba phát chứ không phải bốn. "None of the other choices is correct" sai vì 0.2627 có mặt.

Đáp án đúng: "0.0352". Với phân phối nhị thức âm (negative binomial), X là số lần thử cần để đạt lần thành công thứ r, nên P(X = x) = C(x − 1, r − 1)·pʳ(1 − p)ˣ⁻ʳ: lần thử thứ x phải là thành công thứ r, còn r − 1 thành công trước đó rải trong x − 1 lần thử đầu. Với p = 0.2, r = 4, x = 10: P(X = 10) = C(9,3)·0.2⁴·0.8⁶ = 84·0.0016·0.262144 ≈ 0.0352. Giá trị "0.9648" là phần bù 1 − 0.0352, xác suất X khác 10. Giá trị "0.0725" vượt quá xác suất lớn nhất mà phân phối này đạt được tại một giá trị (khoảng 0.050 quanh x = 15), và cũng không trùng với P(X ≤ 10) ≈ 0.121. Giá trị "0.9275" là phần bù của 0.0725, cũng không ứng với biến cố X = 10.

Đáp án đúng: "1.52". Số hạt nảy mầm X có phân phối nhị thức với n = 11, p = 0.7, nên phương sai V(X) = np(1 − p) = 11·0.7·0.3 = 2.31 và độ lệch chuẩn σ = √2.31 ≈ 1.5199, làm tròn 1.52. Kỳ vọng tương ứng là np = 7.7 hạt. Giá trị "1.502" gần nhưng không bằng √2.31; làm tròn đúng tới ba chữ số thập phân phải là 1.520. Giá trị "1.25" quá nhỏ, bình phương lên chỉ khoảng 1.56, không khớp phương sai 2.31. Giá trị "2.77" lớn hơn cả phương sai, không thể là căn bậc hai của 2.31 vốn phải nhỏ hơn 2.31 vì 2.31 > 1. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.1042". Số hạt X trong 1 mili giây theo phân phối Poisson với λ = 4, nên P(X = x) = e^(−λ)·λ^x/x!. Với x = 6: P(X = 6) = e^(−4)·4⁶/6! = 0.018316·4096/720 ≈ 0.1042. "0.207" lớn hơn cả xác suất cao nhất của Poisson(4) là P(X = 3) = P(X = 4) ≈ 0.1954, nên không thể là xác suất của một giá trị. "0.078" nằm giữa P(X = 7) ≈ 0.0595 và P(X = 6), không ứng với giá trị nào của phân phối này. "0.096" lệch khoảng 0.008 so với giá trị đúng, tương đương dùng e^(−4) ≈ 0.0169 thay vì 0.0183, tức lỗi tính số mũ. "None of the other choices is correct" sai vì 0.1042 có trong danh sách.