Câu hỏi: MAS291 - Chương 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

Đáp án đúng: "0.0547". X ~ B(10, 0.5) có hàm khối P(X = x) = C(10, x)·0.5^x·0.5^(10−x) = C(10, x)/1024. Biến cố X ≤ 2 gồm ba giá trị 0, 1, 2 nên P(X ≤ 2) = (C(10,0) + C(10,1) + C(10,2))/1024 = (1 + 10 + 45)/1024 = 56/1024 ≈ 0.0547. Xác suất nhỏ là hợp lý vì với p = 0.5 kết quả tập trung quanh trung bình np = 5. "0.0107" bằng (1 + 10)/1024, tức P(X ≤ 1), bỏ sót X = 2. "0.2461" bằng 252/1024, là P(X = 5), xác suất tại đỉnh phân phối chứ không phải xác suất tích luỹ tới 2. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0547 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "Approximately 0". Số máy hỏng trong một ngày có phân phối nhị thức với n = 8, p = 0.006, và các máy hỏng độc lập, nên xác suất cả tám máy cùng hỏng là C(8,8)·0.006⁸ = 0.006⁸ ≈ 1.68×10⁻¹⁸, thực tế bằng 0. "Approximately 1" sai vì đó là cỡ của biến cố gần như chắc chắn, trong khi mỗi máy chỉ hỏng với xác suất 0.006. "0.958" sai vì con số cỡ 0.95 là cỡ của xác suất không máy nào hỏng, 0.994⁸ ≈ 0.953, một biến cố khác hẳn. "0.042" sai vì cỡ 0.04 ứng với xác suất có ít nhất một máy hỏng, 1 − 0.994⁸ ≈ 0.047, chứ không phải xác suất cả tám máy cùng hỏng.

Đáp án đúng: "0.001". Lấy 3 thẻ không hoàn lại từ lô 40 thẻ có 5 thẻ lỗi, số thẻ lỗi X trong mẫu có phân phối siêu bội (hypergeometric): P(X = x) = C(5, x)·C(35, 3 − x)/C(40, 3). Với x = 3: C(5, 3) = 10, C(35, 0) = 1, C(40, 3) = 9880, nên P(X = 3) = 10/9880 ≈ 0.001; kiểm bằng nhân liên tiếp: (5/40)(4/39)(3/38) ≈ 0.00101. "0.999" là phần bù 1 − 0.001, xác suất KHÔNG phải cả ba đều lỗi. "0.122" và "0.978" không thể là xác suất cả ba thẻ lỗi: riêng hai lần rút đầu đều trúng thẻ lỗi đã chỉ có xác suất (5/40)(4/39) ≈ 0.0128, nên biến cố cả ba thẻ lỗi phải còn nhỏ hơn mức đó. Vì 0.001 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "If we sampled all days, the arithmetic average or expected number of tickets written would be 6.5 tickets per day.". Với phân phối Poisson, tham số λ = 6.5 chính là kỳ vọng E(X): nếu quan sát rất nhiều ngày, trung bình cộng số vé phạt mỗi ngày tiến tới 6.5. Kỳ vọng là trung bình dài hạn nên không cần trùng một giá trị nguyên X có thể nhận. "The number of tickets that is written most often is 6.5 tickets per day." sai vì đó là mốt (mode), và mốt phải là số nguyên; với Poisson λ = 6.5 mốt là 6. "Half of the days have less than 6.5 tickets written" mô tả trung vị (median), không phải trung bình; phân phối Poisson lệch phải nên trung vị (bằng 6 ở đây) không trùng kỳ vọng. "The mean has no interpretation since 0.5 tickets can never be written." sai vì trung bình của biến rời rạc vẫn có nghĩa dù không phải giá trị quan sát được, giống như trung bình 2.3 con mỗi gia đình. Mức 5 vé mỗi ngày trong tình huống chỉ là chỉ tiêu ngân sách, không phải tham số của phân phối.

Đáp án đúng: "0.514". Biến cố chọn được 7 bé gái trở lên là X ≥ 7, gồm các giá trị rời rạc xung khắc 7, 8, 9, nên P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) = 0.209 + 0.183 + 0.122 = 0.514 theo bảng đã cho. "0.122" chỉ là P(X = 9), quên cộng hai giá trị 7 và 8. "0.061" là một nửa của 0.122, không ứng với tổng nào của các ô trong bảng. "0.001" quá nhỏ, cỡ xác suất của một giá trị cực biên như X = 0 (bảng ghi 0.000), trong khi biến cố hỏi gồm ba ô có xác suất lớn. Đã có 0.514 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Có thể kiểm tra chéo bằng phần bù: P(X ≤ 6) = 0.486 và 1 − 0.486 = 0.514.

Đáp án đúng: "(iv)". Câu hỏi tìm kết luận SAI. Với f(x) = (x + 5)/45 trên x = 0, …, 5 ta có các giá trị 5/45, 6/45, 7/45, 8/45, 9/45, 10/45, tổng đúng bằng 45/45 = 1. Kết luận (iv) sai vì P(X < 5) = 1 − f(5) = 1 − 10/45 = 35/45 = 7/9, không bằng 1 vì giá trị 5 vẫn có xác suất dương. "(i)" là kết luận đúng nên không được chọn: P(X = 0) = 5/45 = 1/9. "(ii)" cũng đúng: P(X ≤ 2) = (5 + 6 + 7)/45 = 18/45 = 2/5. "(iii)" cũng đúng: P(X ≥ 4) = (9 + 10)/45 = 19/45. Như vậy chỉ có một kết luận sai là P(X < 5) = 1.

Đáp án đúng: "Neither (i) nor (ii)". Hàm phân phối tích luỹ F(x) = P(X ≤ x) của biến rời rạc là hàm bậc thang liên tục bên phải; các bước nhảy cho P(X = 1) = 0.5, P(X = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.2. Ta có P(X ≤ 1) = F(1) = 0.5, không phải 0, vì tại x = 1 hàm đã nhảy lên 0.5; nhầm với giá trị 0 ở khoảng x < 1. Còn P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − F(giá trị ngay dưới 3) = 1 − 0.8 = 0.2, không phải 1; nhầm F(3) = 1 với xác suất phần đuôi. Vì cả hai phát biểu đều sai nên "Only (i)", "Only (ii)" và "Both (i) and (ii)" đều sai: "Only (i)" và "Both (i) and (ii)" khẳng định P(X ≤ 1) = 0, còn "Only (ii)" khẳng định P(X ≥ 3) = 1.

Đáp án đúng: "Both (i) and (ii)". Dùng tính chất của phương sai và kỳ vọng: V(aX + b) = a²V(X), hằng số cộng thêm không làm đổi độ phân tán; và V(X) = E(X²) − [E(X)]². Mệnh đề (i): V(2X − 1) = 2²·V(X) = 4·2 = 8, đúng. Mệnh đề (ii): E(X²) = V(X) + [E(X)]² = 2 + 1² = 3, đúng. Hai mệnh đề cùng đúng. "Only (i)" bỏ sót mệnh đề (ii), có lẽ do nhầm E(X²) với [E(X)]² = 1. "Only (ii)" bỏ sót mệnh đề (i), thường do áp nhầm V(2X − 1) = 2V(X) − 1 = 3, quên bình phương hệ số và giữ lại hằng số. "Neither (i) nor (ii)" sai vì cả hai phép tính đều cho đúng giá trị đã nêu.

Đáp án đúng: "2". Phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên a, a+1, ..., b có phương sai σ² = ((b − a + 1)² − 1)/12. Với a = 2, b = 8 có 7 giá trị: σ² = (7² − 1)/12 = 48/12 = 4, nên σ = 2; kiểm lại bằng định nghĩa: μ = 5, các độ lệch bình phương 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9 có trung bình 28/7 = 4. Phương án "1.7" là (8 − 2)/√12 = 1.732, độ lệch chuẩn của phân phối đều liên tục trên đoạn [2, 8], áp sai cho biến rời rạc. Phương án "1.8" không khớp công thức nào. Phương án "1.9" cũng không khớp. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 2 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.179". Mỗi sinh viên độc lập thuận tay trái với p = 0.11, đếm số người thuận tay trái trong n = 40 nên X tuân theo phân phối nhị thức: P(X = 5) = C(40,5)·0.11⁵·0.89³⁵. Với C(40,5) = 658008, 0.11⁵ ≈ 0.0000161, 0.89³⁵ ≈ 0.01693, tích bằng khoảng 0.1794, làm tròn 0.179. Giá trị "0.11" chỉ là xác suất một người thuận tay trái. Giá trị "0.125" là 5/40, tỷ lệ mẫu khi có đúng 5 người, không phải xác suất. Giá trị "0.000" là kết quả khi quên hệ số C(40,5), vì riêng 0.11⁵·0.89³⁵ chỉ khoảng 0.0000003. Vì 0.179 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.0096". Đếm số lần kiểm tra tới khi gặp sản phẩm lỗi đầu tiên là phân phối hình học (geometric) với p = 0.01: P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p. Sản phẩm thứ năm là lỗi đầu tiên nghĩa là bốn sản phẩm đầu tốt, cái thứ năm lỗi: P(X = 5) = 0.99⁴·0.01 = 0.96060·0.01 = 0.0096. "0.0099" là 0.99·0.01, ứng với trường hợp sản phẩm thứ hai là lỗi đầu tiên, không phải thứ năm. "0.8879" không khớp luỹ thừa nguyên nào của 0.99 (0.99¹¹ = 0.8953, 0.99¹² = 0.8864) và cũng thiếu thừa số 0.01 của lần gặp lỗi, nên không thể là xác suất gặp lỗi đúng ở lần thứ năm. "0.6879" quá lớn so với xác suất một sự kiện cần đúng một sản phẩm lỗi trong khi tỉ lệ lỗi chỉ 1%. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0096 có mặt. Lưu ý 0.99⁴ ≈ 0.9606 là xác suất bốn cái đầu đều tốt, phải nhân thêm 0.01.

Đáp án đúng: "0.59". Chọn 5 bản nhạc không lặp từ 20 bản (7 Mahler, 13 bản khác) nên số bản Mahler X có phân phối siêu bội (hypergeometric). Dùng phần bù: P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1). Tổng số cách C(20,5) = 15504; P(X = 0) = C(13,5)/C(20,5) = 1287/15504 ≈ 0.0830; P(X = 1) = C(7,1)·C(13,4)/C(20,5) = 7·715/15504 ≈ 0.3228. Vậy P(X ≥ 2) ≈ 1 − 0.0830 − 0.3228 = 0.5942, làm tròn 0.59. Giá trị "0.41" là P(X ≤ 1), xác suất có nhiều nhất một bản Mahler, tức phần bù chưa lấy 1 trừ đi. Giá trị "0.62" lớn hơn kết quả đúng 0.594 và không ứng với tổ hợp nào của các xác suất trên. Giá trị "0.44" không khớp; ngay cả mô hình nhị thức có hoàn lại với p = 0.35 cũng cho khoảng 0.57, còn ở đây bản nhạc không lặp nên dùng siêu bội. Vì 0.59 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.018". Số lần mất điện trong một ngày có phân phối Poisson với λ = 0.210, f(x) = e^(−λ)λˣ/x!. Với x = 2: f(2) = e^(−0.21)·0.21²/2! = 0.8106·0.0441/2 ≈ 0.01787, làm tròn 0.018. Giá trị "0.036" gấp đôi đáp số, đúng là kết quả khi quên chia cho 2! ở mẫu. Giá trị "0.085" bằng khoảng một nửa P(X = 1) = e^(−0.21)·0.21 ≈ 0.170, không phải xác suất của hai lần mất điện. Giá trị "0.027" không khớp với biểu thức Poisson nào của λ = 0.21 tại x = 2, nó lớn hơn f(2) gần 1.5 lần. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "1,2,…,491". X là số chi tiết đã chọn tới khi gặp chi tiết không đạt đầu tiên, tính cả chi tiết đó. Nhỏ nhất X = 1 khi chi tiết đầu đã không đạt. Lớn nhất xảy ra khi rút hết 490 chi tiết đạt trước, lúc đó chi tiết thứ 491 chắc chắn là chi tiết không đạt, nên X không thể vượt 491. Vậy X nhận các giá trị 1, 2, …, 491. Phương án "1,2,…,10" nhầm X với số chi tiết không đạt có trong lô. Phương án "1,2,…,500" bỏ qua việc dừng lại ngay khi gặp chi tiết không đạt; không thể rút tới chi tiết thứ 500 vì chỉ có 490 chi tiết đạt. Phương án "0,1,2,…,10" sai cả hai đầu, vì luôn phải chọn ít nhất một chi tiết. Vì đã có tập giá trị đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "Be a continuous function". Hàm khối xác suất (probability mass function) f(x) của biến rời rạc X phải thoả: f(x) ≥ 0 với mọi x, Σf(x) = 1, và f(x) = P(X = x) tại mỗi giá trị có thể của X. Nó chỉ xác định trên tập điểm rời rạc và bằng 0 ở các điểm khác, nên đồ thị là các vạch rời nhau, không phải hàm liên tục; vì thế phát biểu đòi hỏi f liên tục là SAI. Hàm liên tục lấy tích phân để ra xác suất thuộc về hàm mật độ (probability density function) của biến liên tục. "Always non-negative" là tính chất đúng, vì f(x) là xác suất nên không thể âm. "Specify the probability at each of the possible discrete values for X" cũng đúng, đó chính là định nghĩa f(x) = P(X = x) cho từng giá trị rời rạc. Hai phát biểu này đúng nên không phải lựa chọn cho câu hỏi tìm phát biểu FALSE.

Đáp án đúng: "0.36". Hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function) F(x) = P(X ≤ x) là tổng xác suất của mọi giá trị không vượt quá x. Với f(x) = (2x + 1)/25 thì f(0) = 1/25 = 0.04, f(1) = 3/25 = 0.12, f(2) = 5/25 = 0.20, nên F(2) = 0.04 + 0.12 + 0.20 = 9/25 = 0.36. Giá trị "0.2" chỉ là f(2) = P(X = 2), xác suất tại đúng một điểm chứ không phải tích luỹ tới 2. Giá trị "0.32" thiếu 0.04, tức bỏ sót f(0) hoặc cộng sai. Giá trị "0.5" không ứng với tổng nào: tích luỹ tới 2 là 0.36, tới 3 đã nhảy lên 0.64. Vì 0.36 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "Mean: 2.29; standard deviation: 1.24". Bảng cho điện tích niken 0, +2, +3, +4 với tỉ lệ 0.17, 0.35, 0.33, 0.15. Kỳ vọng E(X) = Σx·f(x) = 0·0.17 + 2·0.35 + 3·0.33 + 4·0.15 = 2.29. Tính E(X²) = 4·0.35 + 9·0.33 + 16·0.15 = 6.77, nên V(X) = 6.77 − 2.29² = 1.5259 và độ lệch chuẩn √1.5259 ≈ 1.24. Lựa chọn "Mean: 2.00; standard deviation: 0.35" lấy giá trị +2 và tỉ lệ 0.35 của một dòng trong bảng. Lựa chọn "Mean: 1.53; standard deviation: 2.29" đặt phương sai vào chỗ trung bình và trung bình vào chỗ độ lệch chuẩn. Lựa chọn "Mean: 2.29; standard deviation: 1.53" đúng trung bình nhưng 1.53 là phương sai, chưa khai căn. Lựa chọn "Mean: 1.24; standard deviation: 2.29" tráo trung bình với độ lệch chuẩn. Có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "8/13". Phân phối đều rời rạc trên các số nguyên 1, …, 13 nên mỗi giá trị có cùng xác suất 1/13. Biến cố X ≥ 6 gồm các số 6, 7, …, 13, có 13 − 6 + 1 = 8 giá trị, nên P(X ≥ 6) = 8/13. Cách đếm số nguyên từ a tới b là b − a + 1, quên cộng 1 là lỗi hay gặp. "7/13" là P(X > 6) = P(X ≥ 7), bỏ sót X = 6. "5/13" là P(X ≤ 5) = P(X < 6), tức phần bù của biến cố cần tìm. "6/13" là P(X ≤ 6), đếm phía dưới thay vì phía trên. "None of the other choices is true" sai vì 8/13 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.4678". Số lần ra mặt năm X trong 15 lần tung có phân phối nhị thức C(n,x)pˣ(1−p)ⁿ⁻ˣ với n = 15, p = 1/6. Dùng biến cố đối: P(X ≥ 3) = 1 − [P(0) + P(1) + P(2)], với P(0) = (5/6)¹⁵ ≈ 0.0649, P(1) = 15·(1/6)(5/6)¹⁴ ≈ 0.1947, P(2) = 105·(1/6)²(5/6)¹³ ≈ 0.2726; tổng 0.5322, nên P(X ≥ 3) ≈ 0.4678. "0.5678" sai vì gần với P(X ≤ 2) = 0.5322 nhưng không bằng, và đó cũng là biến cố đối chứ không phải biến cố cần tìm. "0.4566" sai vì chỉ là một số gần kết quả, không ra từ tổng nhị thức. "0.3432" sai vì quá nhỏ, chênh hơn 0.12 so với phần bù 1 − 0.5322. "0.6456" sai vì nằm giữa P(X ≥ 2) ≈ 0.7404 và kết quả đúng, không ứng với mốc nào. "0.6672" sai vì cũng không khớp P(X ≥ 3) hay P(X ≥ 2).

Đáp án đúng: "(i)". Biến ngẫu nhiên hình học (geometric) X đếm số phép thử Bernoulli cho tới lần thành công đầu tiên, P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p với x = 1, 2, ...; kỳ vọng E(X) = Σx·f(x) = 1/p. Trực giác: nếu mỗi lần thử thành công với xác suất p = 0.2 thì trung bình phải thử 1/0.2 = 5 lần. "(iii)" (1 − p)/p² là phương sai V(X) của phân phối hình học, không phải trung bình. "(iv)" r/p là trung bình của phân phối nhị thức âm (negative binomial) đếm số phép thử tới lần thành công thứ r; nó chỉ trùng với 1/p khi r = 1. "(ii)" 1/p² không phải công thức nào của phân phối hình học. Vì (i) đúng nên "None of the other choices is correct" sai.