Câu hỏi: MAS291 - Chương 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

Đáp án đúng: "1.55". Bảng cho phân phối xác suất của X với các giá trị 0, 1, 2, 3, 4 và xác suất tương ứng 0.19, 0.37, 0.16, 0.26, 0.02; tổng các xác suất bằng 1 nên bảng hợp lệ. Kỳ vọng E(X) = Σx·f(x) = 0·0.19 + 1·0.37 + 2·0.16 + 3·0.26 + 4·0.02 = 0 + 0.37 + 0.32 + 0.78 + 0.08 = 1.55. "1.74" lớn hơn 1.55 gần 0.2, tương đương như dồn thêm khối lượng xác suất vào giá trị 3 hoặc 4, điều bảng không cho. "1.64" lệch 0.09, không khớp tổng tích của năm cặp giá trị. "1.45" nhỏ hơn kết quả 0.10, như thể bỏ sót một phần đóng góp của giá trị 3. "None of the other choices is correct" sai vì 1.55 có mặt và đúng bằng tổng trên. Lưu ý đây là trung bình có trọng số theo xác suất, không phải trung bình cộng đơn giản (0 + 1 + 2 + 3 + 4)/5 = 2 của các giá trị.

Đáp án đúng: "0.2". Biến ngẫu nhiên rời rạc phân phối đều (discrete uniform) gán cùng một xác suất cho mỗi giá trị của nó; X có 5 giá trị 0, 1, 3, 5, 6, nên mỗi giá trị có xác suất 1/5 = 0.2, trong đó P(X = 5) = 0.2. Khoảng cách không đều giữa các giá trị không ảnh hưởng, vì phân phối đều rời rạc chỉ phụ thuộc vào số giá trị. Giá trị "0.25" là 1/4, ứng với bốn giá trị, như khi bỏ sót một giá trị. Giá trị "0.33" là 1/3, ứng với ba giá trị. Lựa chọn "No determined" sai vì tính chất đều đã đủ để xác định xác suất mỗi giá trị. Vì 0.2 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.0308". Số người đỗ X có phân phối nhị thức (binomial) với n = 11, p = 0.68, f(x) = C(11, x)·0.68ˣ·0.32^(11−x). Cần P(2 ≤ X ≤ 4) = f(2) + f(3) + f(4); tính lần lượt f(2) ≈ 0.00089, f(3) ≈ 0.00570, f(4) ≈ 0.02424, cộng lại ≈ 0.03084, làm tròn 0.0308. Xác suất nhỏ là hợp lý vì kỳ vọng np = 7.48, nên từ 2 tới 4 người đỗ là vùng đuôi trái. Giá trị "0.0299" chỉ là f(3) + f(4), bỏ mất số hạng x = 2 dù chữ "inclusive" yêu cầu tính cả hai đầu. Giá trị "0.0345" lớn hơn tổng đúng của ba số hạng, không ứng với cách cộng nào của các f(x) này. Giá trị "0.6164" quá lớn cho một vùng nằm xa kỳ vọng 7.48, chỉ hợp với một khoảng bao quanh tâm phân phối. Đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "1.43". Số phát bắn cần để có lần trúng đầu tiên theo phân phối hình học (geometric) với p = 0.7: P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p với x = 1, 2, …, và kỳ vọng E(X) = 1/p = 1/0.7 ≈ 1.43. Kết quả hợp lý vì xạ thủ trúng 70% số phát nên thường chỉ cần một tới hai phát. "3.33" là 1/0.3, lấy nghịch đảo của xác suất trượt, tức kỳ vọng số phát tới lần trượt đầu tiên. "7" là kiểu tính 10·0.7 của phân phối nhị thức, cho số phát trúng trung bình trong 10 phát, không phải số phát tới lần trúng đầu. "3" không ứng với công thức nào của phân phối hình học và quá lớn với tỉ lệ trúng 0.7. "None of the other choices is correct" sai vì 1.43 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.60". Chọn ngẫu nhiên 4 trong 6 người không hoàn lại, trong đó 3 người thâm niên từ 5 năm, nên số người thâm niên X có phân phối siêu bội (hypergeometric): P(X = 2) = C(3,2)·C(3,2)/C(6,4) = 3·3/15 = 9/15 = 0.60. Ở đây X chỉ có thể là 1, 2 hoặc 3 vì chọn 4 người mà chỉ có 3 người thâm niên thấp. "0.20" sai vì đó là P(X = 1) = C(3,1)·C(3,3)/15 = 3/15, cũng bằng P(X = 3); ba xác suất 0.20, 0.60, 0.20 cộng lại đúng bằng 1. "0.30" sai vì không ra từ công thức siêu bội; nó gần xác suất nhị thức C(4,2)(0.5)⁴ = 0.375 khi coi nhầm là chọn có hoàn lại, nhưng cũng không bằng. "0.50" sai vì chỉ là đoán theo tỷ lệ 3/6 của nhóm thâm niên, không phải xác suất có đúng hai người. "None of the other choices is correct" sai vì 0.60 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.1710". Số máy bán trong tuần X có phân phối Poisson với λ = 1.9, nên P(X = x) = e^(−λ)λˣ/x!. Với x = 3: e^(−1.9) ≈ 0.1496, 1.9³ = 6.859, 3! = 6, nên P(X = 3) = 0.1496·6.859/6 ≈ 0.1710. "0.2137" không khớp công thức với λ = 1.9, x = 3 và lớn hơn kết quả đúng; đổi giai thừa cũng không ra số này, vì chia cho 2 thay vì 3! cho 0.5129. "0.3249" quá lớn so với xác suất tại một điểm của Poisson λ = 1.9 (giá trị lớn nhất, tại x = 1, chỉ khoảng 0.284), nên không thể là P(X = 3). "0.1881" cũng không khớp phép thay số: các xác suất P(X = 0) tới P(X = 4) lần lượt là 0.1496, 0.2842, 0.2700, 0.1710, 0.0812, không có giá trị nào bằng 0.1881. Vì 0.1710 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "Integers from 1 to 291". Biến ngẫu nhiên X là số chi tiết phải lấy (không hoàn lại) cho tới khi gặp chi tiết không đạt đầu tiên. Ít nhất phải lấy 1 chi tiết, khi chi tiết đầu đã không đạt. Lô có 300 − 10 = 290 chi tiết đạt, nên trường hợp xấu nhất là lấy hết 290 chi tiết đạt trước, và lần thứ 291 chắc chắn ra chi tiết không đạt; vậy miền giá trị là các số nguyên 1, 2, …, 291. Miền "Integers from 0 to 10" và "Integers from 1 to 10" nhầm X với số chi tiết không đạt, trong khi bài đếm số lần lấy. Miền "Integers from 0 to 300" vừa sai cận dưới (không thể lấy 0 chi tiết mà đã gặp chi tiết không đạt) vừa sai cận trên. Miền "Integers from 1 to 300" đúng cận dưới nhưng 300 không thể xảy ra, vì sau 291 lần chắc chắn đã gặp chi tiết không đạt và việc lấy dừng lại.

Đáp án đúng: "0.0486". X rời rạc chỉ nhận các giá trị nguyên 0, 1, 2, 3, 4, nên biến cố 2 ≤ X < 3 chỉ chứa đúng một giá trị là X = 2: P(2 ≤ X < 3) = f(2) = 0.0486. Dấu nhỏ hơn hẳn ở cận trên loại X = 3 khỏi biến cố, còn dấu nhỏ hơn hoặc bằng ở cận dưới giữ X = 2. "0.0522" là f(2) + f(3) = 0.0486 + 0.0036, tức P(2 ≤ X ≤ 3), đã tính nhầm cận trên thành có dấu bằng. "0.7084" là 1 − f(1) = 1 − 0.2916, tức P(X ≠ 1), không phải đoạn cần tìm. "0.6875" không bằng tổng f(x) nào trên đoạn từ 2 tới dưới 3; đoạn đó chỉ chứa một số nguyên nên xác suất không thể vượt f(2). "None of the other choices is correct" sai vì 0.0486 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.2". Hàm phân phối tích luỹ của biến rời rạc là hàm bậc thang: đồ thị cho F(x) = 0 khi x < 1, nhảy lên 0.2 tại x = 1 (chấm rỗng ở mức 0, đoạn ngang mức 0.2 bắt đầu từ 1), giữ 0.2 trên [1, 3), rồi nhảy lên 1 tại x = 3 (chấm rỗng ở mức 0.2). Độ cao bước nhảy là xác suất điểm: P(X = 1) = 0.2 và P(X = 3) = 0.8. Khoảng 0.5 < X < 3 có bất đẳng thức chặt ở 3 nên chỉ chứa giá trị 1, do đó P(0.5 < X < 3) = F(3⁻) − F(0.5) = 0.2 − 0 = 0.2. "0.8" sai vì đó là khối xác suất tại x = 3, điểm bị loại khỏi khoảng. "0.4" sai vì đồ thị không có bước nhảy nào cao 0.4 và không tổ hợp nào của 0.2, 0.8 trong khoảng cho 0.4. "0.6" sai vì chỉ ra khi lấy nhầm hiệu 0.8 − 0.2 giữa hai bước nhảy. "None of the other choices is correct" sai vì 0.2 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "24". X nhận năm giá trị 0, 1, 2, 3, x với xác suất bằng nhau 1/5, nên E(X) = (0 + 1 + 2 + 3 + x)/5 = (6 + x)/5. Cho E(X) = 6 thì 6 + x = 30, suy ra x = 24; kiểm lại: (0 + 1 + 2 + 3 + 24)/5 = 30/5 = 6. "18" là kết quả khi chia cho 4 thay vì 5 (6·4 − 6 = 18), tức quên đếm giá trị 0. "20" cho trung bình (6 + 20)/5 = 5.2, chưa tới 6. "10" và "4" quá nhỏ: với x = 10 trung bình chỉ là 16/5 = 3.2, với x = 4 trung bình là 2. Vì 24 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "5.0". Kỳ vọng của biến rời rạc là E(X) = Σx·f(x) = 1·(1/3) + 4·(1/3) + 10·(1/3) = 15/3 = 5.0; với phân phối đều rời rạc trên một tập giá trị cho trước, kỳ vọng chính là trung bình cộng các giá trị đó. "5.5" là (1 + 10)/2, áp nhầm công thức (a + b)/2 vốn chỉ đúng cho phân phối đều trên các số nguyên liên tiếp từ a tới b, trong khi ở đây X chỉ nhận ba giá trị 1, 4, 10. "6.0" lớn hơn kỳ vọng thật; muốn trung bình bằng 6 thì tổng ba giá trị phải là 18 chứ không phải 15. "4.0" là giá trị giữa (trung vị) của 1, 4, 10, không phải kỳ vọng; giá trị 10 kéo kỳ vọng lên trên trung vị. Đã có 5.0 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.343". Số cú ném phạt thành công trong 3 lần là biến nhị thức với n = 3, p = 0.7, các lần ném coi như độc lập; xác suất ném trúng cả ba là C(3, 3)·0.7³·0.3⁰ = 0.7³ = 0.343. Toàn bộ phân phối gồm P(X = 0) = 0.027, P(X = 1) = 0.189, P(X = 2) = 0.441, P(X = 3) = 0.343. Phương án "0.09" là 0.3², chỉ là xác suất trượt hai lần cụ thể, không liên quan việc trúng cả ba. Phương án "0.213" không trùng với xác suất nào trong bốn giá trị của phân phối trên. Phương án "0.098" cũng không trùng giá trị nào. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.343 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.027". Số lần bắn cho tới lần trúng đầu tiên tuân theo phân phối hình học (geometric) với p = 0.7. Cần ít nhất bốn phát mới trúng lần đầu nghĩa là ba phát đầu đều trượt, nên P(X ≥ 4) = (1 − 0.7)³ = 0.3³ = 0.027. Giá trị "0.0189" là 0.3³·0.7, tức xác suất trúng lần đầu đúng ở phát thứ tư, chỉ là một phần của biến cố ít nhất bốn phát. Giá trị "0.973" là 1 − 0.027, xác suất trúng trong ba phát đầu, là biến cố đối. Giá trị "0.9919" bằng 1 − 0.3⁴, xác suất trúng trong bốn phát đầu, không phải điều câu hỏi cần. Vì 0.027 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "3". Biến siêu bội (hypergeometric) đếm số phần tử thuộc nhóm K khi rút không hoàn lại n phần tử từ N, có kỳ vọng E(X) = n·K/N, tức n nhân tỉ lệ p = K/N. Thay số: E(X) = 6·5/10 = 3. Ý nghĩa: một nửa tổng thể thuộc nhóm quan tâm nên trung bình một nửa trong sáu phần tử rút ra thuộc nhóm đó. Phương sai mới chịu hệ số hiệu chỉnh (N − n)/(N − 1), còn kỳ vọng thì không. "4" ứng với tỉ lệ 4/6, cao hơn tỉ lệ 5/10 của tổng thể. "1" là giá trị nhỏ nhất X có thể nhận (vì chỉ có 5 phần tử ngoài nhóm, rút 6 thì ít nhất 1 thuộc nhóm), không phải trung bình. "2" ứng với tỉ lệ 2/6, thấp hơn 0.5. "None of the other choices is correct" sai vì 3 có mặt.

Đáp án đúng: "0.1539". Số lần sét đánh trong một năm có phân phối Poisson với λ = 3.9, nên P(X = x) = e^(−λ)λˣ/x!. Với x = 2: P(X = 2) = e^(−3.9)·3.9²/2! = 0.020242·15.21/2 ≈ 0.1539. Giá trị "0.2001" là P(X = 3) = e^(−3.9)·3.9³/3!, tính nhầm sang ba lần sét đánh. Giá trị "0.0128" quá nhỏ, thấp hơn cả P(X = 0) = e^(−3.9) ≈ 0.0202, trong khi 2 nằm gần kỳ vọng 3.9 hơn 0 nên phải có xác suất lớn hơn nhiều. Giá trị "0.2617" vượt quá xác suất lớn nhất của phân phối này (khoảng 0.200 tại x = 3), nên không thể là xác suất tại một giá trị nào. Vì 0.1539 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "{0, 1, 2, ..., 20}". Miền giá trị (range) của một biến ngẫu nhiên là tập mọi giá trị nó có thể nhận. X đếm số đường dây đang được dùng trong hệ có 20 đường, nên có thể không đường nào bận (X = 0), có thể mọi đường đều bận (X = 20), và mọi số nguyên ở giữa đều có thể xảy ra. Phương án "{1, 2, 3, ..., 20}" bỏ sót trường hợp X = 0, lúc không đường nào đang dùng. Phương án "{1, 3, 5, ..., 19}" chỉ gồm số lẻ, không có lý do gì để số đường bận phải lẻ. Phương án "{2, 4, 6, ..., 20}" chỉ gồm số chẵn, cũng vô căn cứ. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì tập đúng đã có sẵn.

Đáp án đúng: "All of them". Thay x = 0, 1, 2, 3, 4 vào f(x) = (2x + 1)/25 được lần lượt 1/25, 3/25, 5/25, 7/25, 9/25, tổng là 25/25 = 1 nên đây là hàm xác suất hợp lệ. Phát biểu thứ nhất P(X = 4) = (2·4 + 1)/25 = 9/25 là đúng. Phát biểu thứ hai P(2 ≤ X < 4) = f(2) + f(3) = 5/25 + 7/25 = 12/25 là đúng, chú ý X < 4 nên không lấy f(4). Phát biểu thứ ba P(X ≤ 1) = f(0) + f(1) = 1/25 + 3/25 = 4/25 cũng đúng. Do cả ba đều đúng, chọn riêng "(i)" là thiếu vì bỏ hai phát biểu đúng còn lại. Chọn riêng "(ii)" cũng thiếu vì phát biểu về P(X = 4) và P(X ≤ 1) đều đúng. Chọn riêng "(iii)" cũng chưa đủ vì phát biểu về P(X = 4) và P(2 ≤ X < 4) đều đúng.

Đáp án đúng: "0.96". Hàm phân phối tích luỹ F(x) = P(X ≤ x) = Σf(t) với t ≤ x. Với X nhận 0, 1, 2, …, F(1) = f(0) + f(1) = (4/5)(1/5)⁰ + (4/5)(1/5)¹ = 0.8 + 0.16 = 0.96. Đây là phân phối hình học bắt đầu từ 0 với p = 4/5, nên còn có thể viết F(x) = 1 − (1/5)^(x+1), cho F(1) = 1 − 1/25 = 0.96, khớp phép cộng. "0.86" thiếu 0.1 so với kết quả, không ứng với tổng nào của các f(t); F(0) = 0.8 và F(1) = 0.96. "0.76" nhỏ hơn cả F(0) = 0.8, trong khi F là hàm không giảm nên F(1) ≥ F(0). "0.66" cũng nhỏ hơn F(0), sai cùng lý do. "None of the other choices is correct" sai vì 0.96 có mặt. Lưu ý không nhầm F(1) với f(1) = 0.16, là xác suất tại đúng điểm 1.

Đáp án đúng: "9.3". Kỳ vọng của biến rời rạc E(X) = Σx·f(x). Nhân từng cặp: 3·0.14 = 0.42, 6·0.11 = 0.66, 9·0.36 = 3.24, 12·0.29 = 3.48, 15·0.10 = 1.50; cộng lại 0.42 + 0.66 + 3.24 + 3.48 + 1.50 = 9.3. Các xác suất cộng đúng bằng 1 nên đây là phân phối hợp lệ. Giá trị "9" là trung bình cộng không trọng số của năm giá trị 3, 6, 9, 12, 15, bỏ qua việc 12 và 15 có xác suất khá lớn kéo kỳ vọng lên. Giá trị "6.63" không thể xảy ra: 75% xác suất nằm ở các giá trị từ 9 trở lên, nên kỳ vọng ít nhất là 0.25·3 + 0.75·9 = 7.5. Giá trị "8.22" thiếu 1.08 so với tổng đúng, mà không tích x·f(x) nào bằng 1.08, nên đó không phải do bỏ sót một số hạng và con số không khớp phép tính. Vì 9.3 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "52.5 and 32.27". Phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên từ a = 0 tới b = 15 có E(X) = (a + b)/2 = 7.5 và V(X) = [(b − a + 1)² − 1]/12 = (16² − 1)/12 = 21.25, nên σ_X ≈ 4.61. Với Y = 7X thì E(Y) = 7·7.5 = 52.5, V(Y) = 7²·21.25 = 1041.25 và σ_Y = 7·4.61 ≈ 32.27. Cặp "7.5 and 6.34" là trung bình của X chứ chưa nhân 7, còn 6.34 cũng không phải độ lệch chuẩn của X. Cặp "7.5 and 3.99" cũng dừng ở trung bình của X và độ lệch chuẩn 3.99 nhỏ hơn 4.61 thật. Cặp "52.5 and 195.51" đúng trung bình nhưng 195.51 không phải độ lệch chuẩn (32.27) cũng không phải phương sai (1041.25) của Y; lưu ý độ lệch chuẩn nhân với |7| còn phương sai nhân với 49.