Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 4

Đáp án đúng: "0.0667". Khi thời gian giữa các lần đến có phân phối mũ với tham số λ thì trung bình là 1/λ, và λ chính là số lần đến trung bình trên một đơn vị thời gian (quá trình Poisson). Trung bình 15 phút cho λ = 1/15 ≈ 0.0667 lần đến mỗi phút. "0.0718" sai vì ứng với 1/0.0718 ≈ 13.9 phút giữa hai lần đến, không phải 15. "0.0417" sai vì ứng với 1/0.0417 ≈ 24 phút. "0.0641" sai vì ứng với 1/0.0641 ≈ 15.6 phút, gần nhưng không đúng trung bình 15 phút. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0667 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.75". Hàm mật độ f(x) = 1.25 trên (74.6, 75.4) là phân phối đều liên tục (độ rộng 0.8, và 1.25·0.8 = 1 nên đúng là hàm mật độ). Tỉ lệ lưỡi dao đạt quy cách là P(74.7 < X < 75.3) = ∫f(x)dx trên khoảng đó = 1.25·(75.3 − 74.7) = 1.25·0.6 = 0.75. "0.25" là phần bù 1 − 0.75, tỉ lệ KHÔNG đạt quy cách (hai đoạn 74.6–74.7 và 75.3–75.4). "0.125" là 1.25·0.1, xác suất của chỉ một đoạn rìa dài 0.1. "0.5" không khớp với độ dài 0.6 của khoảng quy cách; nó ứng với lấy độ dài 0.4 hoặc nhầm đối xứng thành một nửa.

Đáp án đúng: "0.9817". Mật độ f(x) = 2e⁻²ˣ với x > 0 là phân phối mũ có λ = 2, hàm phân phối tích luỹ F(x) = ∫ từ 0 đến x của 2e⁻²ᵗdt = 1 − e⁻²ˣ. Tại x = 2: F(2) = 1 − e⁻⁴ = 1 − 0.0183 = 0.9817. "0.8647" là 1 − e⁻², tức F(1), quên nhân λ = 2 với x = 2 trong số mũ. "0.1353" là e⁻², phần bù của giá trị nhầm đó, cũng chính là P(X > 1). "0.0183" là e⁻⁴ = P(X > 2), xác suất phần đuôi bên phải chứ không phải giá trị hàm phân phối tích luỹ, vốn tính phần bên trái. Đã có 0.9817 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Kiểm tra trực giác: kỳ vọng 1/λ = 0.5 nên x = 2 gấp bốn lần kỳ vọng, F(2) phải rất gần 1.

Đáp án đúng: "0.0016". Mật độ f(x) = 25e^(−25(x−5)) với x > 5 là phân phối mũ tham số λ = 25 bị tịnh tiến sang phải 5 đơn vị: X = 5 + Y với Y có phân phối mũ λ = 25. Tịnh tiến làm đổi kỳ vọng (E(X) = 5 + 1/25) nhưng không đổi phương sai, nên V(X) = V(Y) = 1/λ² = 1/625 = 0.0016. Phương án "0.04" là 1/λ, tức độ lệch chuẩn (cũng là E(Y)), chưa bình phương. Phương án "0.02" không ứng với đại lượng nào của phân phối này. Phương án "25" là chính tham số λ, không phải phương sai. Phương án "None of the others" sai vì 0.0016 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "3 and 1.15". Phân phối đều liên tục trên [a, b] có kỳ vọng E(X) = (a + b)/2 và phương sai V(X) = (b − a)²/12. Với a = 1, b = 5: E(X) = 6/2 = 3, V(X) = 16/12 ≈ 1.333, độ lệch chuẩn √1.333 ≈ 1.15. Phương án "3 and 2.24" đúng kỳ vọng nhưng 2.24 ≈ √5, không phải √(16/12). Phương án "4 and 1.15" đúng độ lệch chuẩn nhưng 4 là độ dài khoảng b − a, không phải trung điểm. Phương án "4 and 2.24" sai cả hai đại lượng. Vì đã có cặp đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.0180". Chuẩn hoá hai mốc bằng Z = (X − μ)/σ: z₁ = (56010 − 60000)/1900 = −3990/1900 = −2.1 và z₂ = (56580 − 60000)/1900 = −3420/1900 = −1.8. Do đó P(56010 < X < 56580) = P(−2.1 < Z < −1.8) = P(Z < −1.8) − P(Z < −2.1) = 0.0359 − 0.0179 = 0.0180, dùng đúng giá trị dòng gợi ý cho. Khoảng này nằm trọn trong biến cố X < 56580, nên xác suất không thể vượt P(Z < −1.8) = 0.0359. "0.4649" vượt xa chặn trên đó, cỡ diện tích từ trung bình tới một mốc ở xa chứ không phải một dải hẹp ở đuôi trái. "0.4920" cũng vượt chặn trên, gần một nửa phân phối. "0.9813" gần bằng toàn bộ phân phối, càng không thể là xác suất của một dải nằm sâu dưới trung bình. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0180 có mặt.

Đáp án đúng: "0.39". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ với μ = 6.98, σ = 1.62: cận 5 cho z = (5 − 6.98)/1.62 ≈ −1.22, cận 7 cho z = (7 − 6.98)/1.62 ≈ 0.01. Vậy P(5 < X < 7) = P(Z < 0.01) − P(Z < −1.22) = 0.50 − 0.11 = 0.39, tức khoảng 39% số bang. Giá trị "0.53" là P(Z < 0.07), ứng với cận trên khác, không phải 7. Giá trị "0.50" chỉ là P(Z < 0.01), xác suất dưới 7, quên trừ phần dưới 5. Giá trị "0.61" là 1 − 0.39, tức tỉ lệ bang nằm ngoài khoảng từ 5 tới 7. Giá trị cho P(Z < −8.27) = 0 không cần dùng vì z = −8.27 không tương ứng với cận nào. Vì 0.39 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.785". Số khách trả thẻ X có phân phối nhị thức n = 200, p = 0.4, xấp xỉ chuẩn với μ = np = 80 và σ = √(np(1−p)) = √48 ≈ 6.928. "Ít nhất 75" là X ≥ 75, nên hiệu chỉnh liên tục (continuity correction) lùi xuống mốc 74.5 để giữ trọn giá trị 75: z = (74.5 − 80)/6.928 ≈ −0.79, và P(X ≥ 75) ≈ 1 − P(Z < −0.79) = 1 − 0.215 = 0.785. Giá trị "0.742" là 1 − 0.258 với mốc 75.5 (z ≈ −0.65), hiệu chỉnh sai chiều, ứng với biến cố "nhiều hơn 75" vì đã bỏ mất giá trị 75. Giá trị "0.043" là hiệu 0.258 − 0.215, tức xấp xỉ xác suất X đúng bằng 75 chứ không phải từ 75 trở lên. Giá trị "0.145" không khớp với số liệu gợi ý nào, nó quá nhỏ cho một mốc nằm dưới trung bình 80.

Đáp án đúng: "12.5 and 9". Trung bình bằng tổng chia số quan sát: (9 + 11 + 8 + 15 + 14 + 12 + 17 + 14)/8 = 100/8 = 12.5. Khoảng biến thiên (range) bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất: 17 − 8 = 9. "13 and 9" dùng 13, là trung vị (trung bình hai số giữa 12 và 14 của dãy sắp xếp 8, 9, 11, 12, 14, 14, 15, 17), không phải trung bình, dù range đúng. "13 and 8" vừa lấy trung vị thay cho trung bình vừa lấy giá trị nhỏ nhất 8 làm range. "12.5 and 8" đúng trung bình nhưng range 8 là giá trị nhỏ nhất chứ không phải hiệu 17 − 8. "None of the other choices is correct" sai vì cặp đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "The mean is greater than the median". Trung bình (mean) là tổng chia số giá trị: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10)/10 = 54/10 = 5.4. Dữ liệu đã sắp có 10 giá trị nên trung vị (median) là trung bình hai giá trị giữa thứ 5 và 6: (5 + 5)/2 = 5. Yếu vị (mode) là giá trị xuất hiện nhiều nhất, bằng 5. Vậy 5.4 > 5 nên trung bình lớn hơn trung vị. "The median is greater than the mean" sai vì trung vị 5 nhỏ hơn trung bình 5.4. "The mean is less than the mode" sai vì trung bình 5.4 lớn hơn yếu vị 5. "The mode is greater than the median" sai vì yếu vị và trung vị cùng bằng 5, không cái nào lớn hơn.

Đáp án đúng: "13". Biểu đồ thân và lá (stem and leaf) có thân 0 với các lá 5, 5, 6; thân 1 với các lá 1, 4, 6, 2, 3; thân 2 với các lá 0, 2, 1. Ghép thân là hàng chục, lá là hàng đơn vị, sắp xếp tăng dần được 5, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22 (11 giá trị, lá trong hàng 1 và hàng 2 chưa xếp theo thứ tự nên phải sắp lại). Với n = 11 lẻ, trung vị là giá trị thứ 6, tức 13. "16" là giá trị thứ 6 nếu đọc theo thứ tự lá chưa sắp (5, 5, 6, 11, 14, 16, ...), lỗi không sắp xếp. "11" là giá trị nhỏ nhất của thân 1; "12" là giá trị thứ 5; "14" là giá trị thứ 7; "15" không có trong dữ liệu, có lẽ lấy trung điểm thân 1.

Đáp án đúng: "Both discrete and continuous". Bảng phân phối tần số (frequency distribution) ghi số lần quan sát rơi vào từng giá trị hoặc từng lớp. Với dữ liệu rời rạc, mỗi giá trị riêng (ví dụ số con trong gia đình 0, 1, 2, …) có thể là một dòng; với dữ liệu liên tục, ta chia trục thành các khoảng lớp (class interval) như 150–155 cm, 155–160 cm rồi đếm số quan sát trong mỗi khoảng, đó là cơ sở của histogram. Vì vậy cả hai loại đều lập được bảng tần số. "Continuous only" bỏ sót dữ liệu rời rạc, loại dễ lập bảng nhất. "Discrete only" bỏ sót dữ liệu liên tục, vốn chỉ cần thêm bước chia lớp. "Only numeric data" sai vì dữ liệu định tính (categorical) như màu sắc, nhóm máu cũng lập được bảng tần số theo từng hạng mục. Đã có phương án đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "(iii)". Boxplot cần năm số: nhỏ nhất, Q1, trung vị, Q3, lớn nhất. Dữ liệu 32 giá trị đã sắp xếp có nhỏ nhất 100, lớn nhất 130; trung vị là trung bình giá trị thứ 16 và 17, cả hai là 114; Q1 là trung vị nửa dưới 16 giá trị, trung bình giá trị thứ 8 và 9, cả hai là 108; Q3 là trung bình giá trị thứ 24 và 25, cả hai là 118. Hình (iii) có râu từ 100 tới 130, hộp từ 108 tới 118 và vạch giữa ở 114, khớp đủ năm số. Phương án "(i)" có hộp từ 107 tới 119, sai cả Q1 lẫn Q3. Phương án "(ii)" đặt trung vị ở 115 và râu phải ở 128, trong khi giá trị lớn nhất là 130. Phương án "(iv)" có Q1 là 106 và râu phải dừng ở 128, sai hai chỗ.

Đáp án đúng: "Normal with a mean of 99 and a standard deviation of 0.05". Tổng thể chuẩn nên phân phối mẫu của x̄ là chuẩn chính xác với mọi n, có trung bình bằng trung bình tổng thể μ = 99 và độ lệch chuẩn (sai số chuẩn) σ/√n = 0.5/√99 ≈ 0.0503, làm tròn 0.05. Phương án "Normal with a mean of 1 and a standard deviation of 0.05" sai trung bình, vì x̄ có kỳ vọng bằng μ = 99 chứ không phải 1. Phương án "Normal with a mean of 1 and a standard deviation of 0.005" sai cả trung bình lẫn độ lệch chuẩn. Phương án "Normal with a mean of 99 and a standard deviation of 0.005" đúng trung bình nhưng 0.005 là σ/n = 0.5/99, chia cho n thay vì √n. Vì đã có mô tả đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.1056". Theo định lý giới hạn trung tâm, với n = 100 lớn, trung bình mẫu x̄ xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng μ = 1800 và sai số chuẩn σ/√n = 200/√100 = 20 giờ. Chuẩn hoá: Z = (1825 − 1800)/20 = 1.25, nên P(x̄ > 1825) = 1 − P(Z < 1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056, đúng dòng gợi ý (cũng bằng P(Z < −1.25) do đối xứng). "0.8944" là P(x̄ < 1825), lấy nhầm đuôi trái trong khi câu hỏi cần "more than". "0.9616" là P(Z < 1.77), ứng với một z không suy ra được từ σ/√n = 20 với chênh lệch 25. "0.0384" là đuôi trên của z = 1.77, đúng hướng nhưng sai z. "None of the other choices is correct" sai vì 0.1056 có mặt. Lưu ý nếu quên chia cho √n thì z = 25/200 = 0.125, xác suất gần 0.45, là xác suất cho một bóng đèn chứ không cho trung bình 100 bóng.

Đáp án đúng: "approximately 0". Phân phối thời gian không nói là chuẩn, nhưng n = 64 lớn nên theo định lý giới hạn trung tâm X̄ xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng 65 và độ lệch chuẩn σ/√n = 8/√64 = 1. Khi đó P(X̄ > 71) = P(Z > (71 − 65)/1) = P(Z > 6) = 1 − P(Z < 6) = 1 − 1 = 0. Trung bình mẫu 71 cách kỳ vọng sáu sai số chuẩn nên gần như không thể xảy ra. Giá trị "approximately 1" là xác suất phía ngược lại, P(X̄ < 71). Giá trị "0.529" là P(Z < 0.07), không ứng với z = 6. Giá trị "0.862" là 1 − P(Z < −1) theo số liệu cho, thuộc z = −1 chứ không phải 6 (bảng chuẩn thật cho P(Z < −1) ≈ 0.1587). Vì kết quả xấp xỉ 0 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "62". Khoảng tin cậy 95% cho μ khi biết σ có độ dài 2·z₀.₀₂₅·σ/√n. Muốn độ dài bằng 10 thì biên sai số E = 5, nên n = (z₀.₀₂₅·σ/E)² = (1.960·20/5)² = 7.84² ≈ 61.47; cỡ mẫu phải làm tròn lên số nguyên kế tiếp để bảo đảm độ dài không vượt 10, được n = 62. Giá trị "44" dùng z₀.₀₅ = 1.645, tức hệ số của khoảng 90%: (1.645·20/5)² ≈ 43.3, làm tròn lên 44. Giá trị "16" coi biên sai số bằng cả độ dài 10 thay vì một nửa: (1.96·20/10)² ≈ 15.37, làm tròn lên 16. Giá trị "11" mắc cả hai lỗi, vừa dùng 1.645 vừa lấy E = 10: (1.645·20/10)² ≈ 10.8, làm tròn lên 11.

Đáp án đúng: "About 4.05". Mẫu lớn n = 100 nên theo định lý giới hạn trung tâm dùng khoảng z với s thay cho σ: x̄ ± z₀.₀₅·s/√n. Bán kính = 1.645·12.30/10 ≈ 2.023, và độ rộng (width) là gấp đôi bán kính: 2·2.023 ≈ 4.05; khoảng tương ứng là (43.65, 47.69). "About 1.65" chỉ là phân vị z₀.₀₅ ≈ 1.645, nhầm phân vị với độ rộng khoảng. "About 1.43" còn nhỏ hơn cả bán kính 2.02, nên không thể là độ rộng của khoảng 90%. "Nearly 50.20" là cỡ một mức chi tiêu tính bằng đô la, gần với giá trị trung bình chứ không phải độ rộng; với s = 12.30 và n = 100, độ rộng chỉ vài đô la.

Đáp án đúng: "(0.522, 0.658)". Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ là p̂ ± z(α/2)·√(p̂(1−p̂)/n). Ở đây p̂ = 118/200 = 0.59, √(0.59·0.41/200) = √0.0012095 ≈ 0.03478, sai số = 1.96·0.03478 ≈ 0.0682, nên khoảng là 0.59 ± 0.0682 = (0.522, 0.658). "(0.588, 0.592)" sai vì bán kính chỉ khoảng 0.0024, đúng bằng 1.96·0.0012095, tức quên lấy căn của p̂(1−p̂)/n. "(0.585, 0.595)" sai vì bán kính 0.005 cũng quá nhỏ so với sai số chuẩn 0.0348, không khớp cách tính nào đúng. "(0.116, 1.064)" sai vì cận trên vượt 1, điều không thể với một tỷ lệ, và bán kính 0.474 quá lớn. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "There is weak evidence against the null hypothesis, and you should fail to reject it.". Quy tắc quyết định: bác H₀ khi p-value < α. Ở đây p-value = 0.07 > α = 0.05 nên không bác H₀; p-value 0.07 khá nhỏ cho thấy dữ liệu có phần không hợp với H₀, tức bằng chứng yếu, chưa đủ mạnh ở mức 0.05. "There is strong evidence against the null hypothesis, and you should reject it." sai vì chỉ bác khi p-value nhỏ hơn α, và 0.07 không phải bằng chứng mạnh. "The P-value indicates that the null hypothesis is false." sai vì p-value là xác suất thu được dữ liệu cực đoan như vậy khi H₀ đúng, không bao giờ chứng minh H₀ sai; không bác H₀ cũng không có nghĩa H₀ đúng. "The P-value is irrelevant in this context." sai vì p-value chính là đại lượng để so với mức ý nghĩa và ra quyết định.