Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 4

Đáp án đúng: "(iii)". Kiểm định một phía bên trái H₀: μ = 9.0, H₁: μ < 9.0 với σ đã biết, bác H₀ khi z₀ < −z_α. Với α = 0.05, ngưỡng là −z₀.₀₅ = −1.64; z₀ = −1.44 lớn hơn −1.64 nên không bác H₀. Với α = 0.10, ngưỡng là −z₀.₁ = −1.28; z₀ = −1.44 nhỏ hơn −1.28 nên bác H₀. Tương đương, p-value = P(Z < −1.44) ≈ 0.075 theo bảng chuẩn, nằm giữa 0.05 và 0.10. "(i)" sai vì ở α = 0.05 trị thống kê chưa vượt ngưỡng −1.64. "(ii)" không thể xảy ra với bất kỳ dữ liệu nào: đã bác bỏ ở mức α nhỏ hơn thì chắc chắn bác bỏ ở mức lớn hơn, vì miền bác bỏ mở rộng khi α tăng. "None of the other choices is true" sai vì mục (iii) đúng. Giá trị z₀.₀₂₅ = 1.96 chỉ dùng cho kiểm định hai phía ở mức 5%, không áp dụng ở đây.

Đáp án đúng: "Do not reject Ho". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết, n = 5 nên dùng kiểm định t: t₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (22.496 − 22.5)/(0.378/√5) = −0.004/0.169 = −0.024. H₁: μ ≠ 22.5 là hai phía nên giá trị tới hạn là t(0.025, 4) = 2.776 với n − 1 = 4 bậc tự do; vì |t₀| = 0.024 nhỏ hơn nhiều so với 2.776 nên t₀ không rơi vào miền bác bỏ, dữ liệu không cho bằng chứng rằng nhiệt độ trung bình khác 22.5 ⁰C. Phương án "Reject Ho" sai vì muốn bác H₀ thì |t₀| phải vượt 2.776; ngay cả khi dùng nhầm z₀.₀₂₅ = 1.96 hay t(0.025, 5) = 2.571 thì |t₀| = 0.024 vẫn quá nhỏ để bác.

Đáp án đúng: "(i)". Tỷ lệ mẫu p̂ = 17/200 = 0.085. Thống kê kiểm định tỷ lệ dùng p₀ ở mẫu số: Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) = (0.085 − 0.06)/√(0.06·0.94/200) = 0.025/0.01679 ≈ 1.489. Đối thuyết p > 0.06 là kiểm định đuôi phải, bác H₀ khi z₀ > z₀.₀₅ = 1.645; vì 1.489 < 1.645 nên không bác H₀ (fail to reject), tức chưa đủ bằng chứng cho thấy tỷ lệ hành lý thất lạc vĩnh viễn vượt 6%. Phương án "(ii)" tính đúng z₀ nhưng kết luận bác H₀ là sai vì z₀ chưa vượt giá trị tới hạn. Phương án "(iii)" và "(iv)" dùng z₀ = 1.836, không khớp phép tính với p₀ = 0.06 và n = 200; riêng "(iv)" còn kéo theo kết luận bác H₀ sai. Vì đã có phát biểu đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "Reject Null hypothesis". Quy tắc quyết định bằng p-value: bác H₀ khi p-value < α. Ở đây p-value = 0.04 nhỏ hơn α = 0.05 nên bác bỏ H₀: μ₁ − μ₂ = 0, tức có đủ bằng chứng ở mức ý nghĩa 5% để kết luận điểm trung bình của phương pháp luyện tập mới khác với phương pháp truyền thống. p-value là xác suất, khi H₀ đúng, quan sát được kết quả cực đoan như mẫu hoặc hơn; 0.04 nghĩa là chênh lệch như vậy hiếm khi xảy ra nếu hai phương pháp thật sự như nhau. "Fail to reject Null hypothesis" chỉ đúng khi p-value ≥ α, ví dụ nếu dùng α = 0.01 thì 0.04 > 0.01 và ta mới giữ H₀. "Not enough information" sai vì p-value và α là đủ để ra quyết định; không cần biết thêm cỡ mẫu hay giá trị thống kê kiểm định, những thứ đó đã được tóm vào p-value.

Đáp án đúng: "1.515". Khi giả định hai phương sai bằng nhau, phương sai gộp sp² = ((n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²)/(n₁ + n₂ − 2). Thay số: (25·1.26² + 22·1.76²)/47 = (25·1.5876 + 22·3.0976)/47 = (39.69 + 68.1472)/47 = 107.8372/47 ≈ 2.2944, nên độ lệch chuẩn gộp sp = √2.2944 ≈ 1.515. Giá trị "2.294" là phương sai gộp sp², chưa lấy căn. Giá trị "1.896" không ứng với trung bình có trọng số nào của s₁ = 1.26 và s₂ = 1.76; độ lệch chuẩn gộp luôn nằm giữa hai độ lệch chuẩn thành phần, mà 1.896 lớn hơn cả 1.76. Giá trị "3.456" còn vượt xa s₂ và cả sp², không thể là độ lệch chuẩn gộp. Mức α = 0.05 chỉ dùng ở bước kiểm định sau, không ảnh hưởng tới sp.

Đáp án đúng: "(0.039, 0.101)". Áp công thức khoảng tin cậy cho hiệu hai tỉ lệ (p̂₁ − p̂₂) ± z(α/2)·√(p̂₁(1−p̂₁)/n₁ + p̂₂(1−p̂₂)/n₂), coi mỗi tỉ lệ ứng với một mẫu cỡ 2020: SE = √(0.53·0.47/2020 + 0.46·0.54/2020) ≈ 0.01569, nên 0.07 ± 1.96·0.01569 = 0.07 ± 0.0308 = (0.039, 0.101). Nói chặt thì 53% và 46% đến từ cùng một nhóm người trả lời nên hai tỉ lệ không độc lập mà tương quan âm, và sai số chuẩn chính xác của hiệu sẽ lớn hơn; tuy vậy công thức hai mẫu độc lập là mô hình bài yêu cầu dùng, và nó cho khoảng này. Khoảng "(0.044, 0.096)" có tâm 0.07 nhưng dùng 1.64, tức mức 90%. Khoảng "(0.023, 0.105)" có tâm 0.064, không đặt tại hiệu quan sát 0.07. Khoảng "(0.050, 0.088)" có tâm 0.069 và biên sai số chỉ 0.019, hẹp hơn mức 95%. Có khoảng đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "Error sum of squares". Phương pháp bình phương tối thiểu (least squares) chọn β̂₀, β̂₁ để cực tiểu tổng bình phương phần dư SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)², từ đó ra β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. "Total sum of squares" là SST = Σ(yᵢ − ȳ)², chỉ phụ thuộc dữ liệu y và không đổi khi thay đường thẳng, nên không có gì để cực tiểu. "Regression sum of squares" là SSR = SST − SSE; khi SSE nhỏ nhất thì SSR lại lớn nhất, nên nó bị cực đại chứ không bị cực tiểu. "All of the other choices are true" sai vì chỉ có SSE là đại lượng được cực tiểu, hai đại lượng kia thì không.

Đáp án đúng: "(iii)". Trong hồi quy tuyến tính đơn, phương sai của hệ số góc là V(β̂₁) = σ²/Sₓₓ; thay σ² bằng ước lượng σ̂² = SSE/(n − 2) rồi lấy căn được sai số chuẩn ước lượng se(β̂₁) = √(σ̂²/Sₓₓ), chính là đại lượng dùng trong t₀ = β̂₁/se(β̂₁). "(i)" sai vì gán cho β̂₁ công thức √(σ̂²[1/n + x̄²/Sₓₓ]) vốn là sai số chuẩn của hệ số chặn. "(ii)" sai vì σ̂²/Sₓₓ là phương sai ước lượng của β̂₁ (chưa lấy căn), lại còn ghi cho β̂₀. "(iv)" là công thức đúng nhưng của se(β̂₀), hệ số chặn, không phải hệ số góc mà câu hỏi hỏi. "None of the other choices is correct" sai vì công thức đúng có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.8". Bảng điểm của 5 sinh viên: Toán X là 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và Lý Y là 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Thống kê kiểm định cho hệ số chặn là T₀ = (β̂₀ − β₀,₀)/√(σ̂²(1/n + x̄²/Sₓₓ)), có n − 2 = 3 bậc tự do. Tính x̄ = 34/5 = 6.8; Sₓₓ = Σ(x − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của β̂₀ là √(1.43²·(1/5 + 6.8²/13.8)) = 1.43·√(0.2 + 3.3507) ≈ 2.695. Do đó T₀ = (3.18 − 1)/2.695 ≈ 0.81, làm tròn 0.8. "2.5" khớp với việc dùng nhầm Σx² = 245 thay cho Sₓₓ (mẫu số còn 1.43·√(0.2 + 46.24/245) ≈ 0.89, T₀ ≈ 2.45), "1.8" khớp với việc dùng x̄ thay cho x̄² (mẫu số 1.43·√(0.2 + 6.8/13.8) ≈ 1.19, T₀ ≈ 1.83), còn "1.3" đòi mẫu số khoảng 1.68, không khớp cách thay số nào của công thức; khi x̄ = 6.8 xa 0, số hạng x̄²/Sₓₓ = 3.35 chiếm phần lớn biểu thức dưới căn nên hệ số chặn ước lượng kém chính xác. Giá trị 0.8 nhỏ so với t tới hạn nên không bác H₀: β₀ = 1.

Đáp án đúng: "0.948". Hệ số tương quan mẫu r = Sxy/√(Sxx·Syy). Với x̄ = 12/4 = 3 và ȳ = 288/4 = 72: độ lệch của x là −1, −1, 0, 2 nên Sxx = 6; độ lệch của y là −41, −36, 22, 55 nên Syy = 1681 + 1296 + 484 + 3025 = 6486; Sxy = 41 + 36 + 0 + 110 = 187. Do đó r = 187/√(6·6486) = 187/197.27 = 0.948, quan hệ tuyến tính dương rất mạnh giữa đường kính gốc và chiều cao cây. "0.899" là r² = 0.948² ≈ 0.899, hệ số xác định, không phải hệ số tương quan. "0.245" chỉ một quan hệ tuyến tính yếu, trái với dữ liệu y tăng mạnh và đều theo x. "0.764" thấp hơn rõ so với giá trị tính đúng từ Sxx, Syy, Sxy. Đã có 0.948 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.