Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 4

Đáp án đúng: "sample". Mẫu (sample) là một phần của tổng thể được chọn ra sao cho đại diện cho tổng thể đó, để từ số liệu của phần nhỏ suy luận về cả tổng thể. Từ "population" (tổng thể) là toàn bộ tập đối tượng nghiên cứu, chính là thứ mà mẫu được lấy ra, chứ không phải một phần của nó. Từ "parameter" (tham số) là một đại lượng số mô tả tổng thể, như μ hay p, không phải một nhóm phần tử. Từ "survey" (khảo sát) là một phương pháp thu thập dữ liệu, có thể tiến hành trên một mẫu, nhưng bản thân nó không phải là phần đại diện của tổng thể. Vì "sample" khớp đúng định nghĩa nên "None of the other choices is true" không được chọn.

Đáp án đúng: "uses historical data.". Nghiên cứu hồi cứu (retrospective study) dùng dữ liệu đã được ghi lại trong quá khứ, ví dụ hồ sơ vận hành của một nhà máy trong nhiều năm, rồi phân tích ngược để tìm mối liên hệ giữa các biến. Ưu điểm là nhanh và rẻ vì dữ liệu có sẵn; nhược điểm là dữ liệu có thể thiếu biến quan trọng hoặc ghi không chính xác, và không kiểm soát được điều kiện. "uses current data." mô tả việc thu thập dữ liệu mới ngay tại thời điểm nghiên cứu, gần với nghiên cứu quan sát (observational study) hơn. "uses future data." là đặc trưng của nghiên cứu tiến cứu, theo dõi đối tượng từ nay về sau. "None of them" sai vì đã có mô tả đúng về dữ liệu lịch sử.

Đáp án đúng: "NNR NNN". Không gian mẫu (sample space) là tập mọi kết quả có thể của một lần thử. Theo mô tả, mỗi lứa chỉ có thể là ba con bình thường (NNN) hoặc hai con bình thường và một con còi (NNR), mỗi khả năng 50%, nên lứa thứ năm có không gian mẫu gồm đúng hai kết quả NNR và NNN; thứ tự sinh không được xét nên NNR và RNN chỉ là một kết quả. "NR NNR NNR" sai vì NR chỉ có hai con, không phải kết quả được mô tả, và NNR bị lặp. "NNN RNN NR" sai vì vẫn chứa NR, một lứa hai con không có trong mô tả. "N NN NR NNN NRN" sai vì đưa vào các lứa một con, hai con và tách NRN thành kết quả riêng. "None of the other choices is correct" sai vì đã có không gian mẫu đúng.

Đáp án đúng: "252". Năm máy được chọn ngẫu nhiên và không phân biệt thứ tự, nên một mẫu là một tổ hợp (combination) 5 phần tử từ 10: C(10, 5) = 10!/(5!·5!) = 252. Thông tin 7 máy mới và 3 máy tân trang không ảnh hưởng tới số mẫu, nó chỉ cần khi hỏi số mẫu có bao nhiêu máy mỗi loại. "30240" là chỉnh hợp P(10, 5) = 10·9·8·7·6, đếm cả thứ tự chọn, trong khi đây chọn không thứ tự. "21" là C(7, 5), số mẫu chỉ gồm máy mới, một trường hợp riêng chứ không phải tổng số mẫu. "42" là gấp đôi 21, cũng chỉ đếm một phần các mẫu có thể.

Đáp án đúng: "0.5". Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối, không gian mẫu có sáu kết quả đồng khả năng {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Biến cố A là ra mặt chẵn, gồm ba kết quả {2, 4, 6}; theo định nghĩa cổ điển P(A) = số kết quả thuận lợi/tổng số kết quả = 3/6 = 0.5. "0.25" ứng với tỉ lệ 1/4, chẳng hạn khi chỉ đếm hai mặt chẵn trên tám kết quả, không khớp xúc xắc sáu mặt. "0.1" quá nhỏ, nhỏ hơn cả xác suất của một mặt đơn lẻ 1/6 ≈ 0.167, trong khi biến cố gồm ba mặt. "0.75" ứng với tỉ lệ 3/4, như thể chia ba mặt chẵn cho bốn kết quả, nhưng xúc xắc có sáu mặt. Đã có 0.5 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Biến cố ra mặt lẻ {1, 3, 5} cũng có xác suất 0.5, đúng là phần bù.

Đáp án đúng: "0.1111". Gieo hai con xúc xắc cân đối có 6·6 = 36 kết cục có thứ tự đồng khả năng. Tổng bằng 5 xảy ra ở bốn kết cục (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), nên xác suất là 4/36 = 1/9 = 0.1111. Phương án "0.1389" là 5/36, xác suất tổng bằng 6 hoặc 8, không phải 5. Phương án "0.0833" là 3/36, xác suất tổng bằng 4 hoặc 10. Phương án "0.0556" là 2/36, ra khi chỉ đếm hai cặp không thứ tự {1, 4} và {2, 3} mà quên rằng mỗi cặp ứng với hai kết cục có thứ tự.

Đáp án đúng: "5/9". Dùng định lý Bayes hay trực tiếp xác suất có điều kiện: P(senior | A) = P(senior ∩ A)/P(A). Lớp có 50 sinh viên, số người đạt A là 3 + 10 + 5 = 18, trong đó 10 người là senior, nên P(senior | A) = (10/50)/(18/50) = 10/18 = 5/9. Giá trị "2/9" = 4/18 không ứng với nhóm nào, vì số người đạt A ở các nhóm là 3, 10, 5. Giá trị "4/9" = 8/18 là phần bù 1 − 5/9, tức xác suất người đạt A không phải senior. Giá trị "7/9" = 14/18 cũng không khớp, nó lớn hơn tỷ lệ senior trong số người đạt A. Nhầm với tỷ lệ senior đạt A trong số senior là 10/30 = 1/3 cũng sai chiều điều kiện. Vì 5/9 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.353". Dùng công thức xác suất toàn phần: một tín hiệu 1 được nhận khi hoặc gửi 1 và nhận đúng, hoặc gửi 0 và bị lỗi thành 1. P(gửi 1) = 0.3, P(gửi 0) = 0.7; P(nhận 1 | gửi 1) = 0.92, P(nhận 1 | gửi 0) = 1 − 0.89 = 0.11. Vậy P(nhận 1) = 0.3·0.92 + 0.7·0.11 = 0.276 + 0.077 = 0.353. "0.272" còn nhỏ hơn riêng phần 0.3·0.92 = 0.276 vốn chắc chắn nằm trong kết quả, nên không thể đúng; bỏ quên đóng góp 0.077 của tín hiệu 0 bị đảo thành 1 cũng chỉ ra 0.276 chứ không ra 0.272. "0.436" quá lớn: kể cả khi mọi tín hiệu 1 đều được nhận đúng, P(nhận 1) cũng chỉ là 0.3 + 0.077 = 0.377. "0.168" quá nhỏ, chưa bằng phần gửi 1 nhận đúng 0.276 đã chắc chắn có trong kết quả. "None of the other choices is correct" sai vì 0.353 có mặt. Nếu hỏi tiếp xác suất đã gửi 1 khi nhận 1 thì dùng Bayes: 0.276/0.353 ≈ 0.782.

Đáp án đúng: "1/12". Tung đồng xu và gieo xúc xắc là hai phép thử độc lập, nên xác suất cả hai cùng xảy ra bằng tích: P(mặt ngửa và ra 3) = P(mặt ngửa)·P(ra 3) = 1/2·1/6 = 1/12. Đếm trực tiếp cũng vậy: không gian mẫu có 2·6 = 12 kết quả như nhau, chỉ một kết quả thoả mãn. Giá trị "1/3" ứng với 4 trên 12 kết quả, không khớp với biến cố chỉ có một kết quả. Giá trị "1/4" là xác suất kiểu tung hai đồng xu cùng ngửa, không phải đồng xu kết hợp xúc xắc. Giá trị "5/12" là 1/2 − 1/12, xác suất ra mặt ngửa nhưng xúc xắc không ra 3, ngược với biến cố cần tìm.

Đáp án đúng: "0.296". Dùng Bayes với biến cố "đúng giờ". Xác suất đúng giờ theo từng cách: lái xe 0.97, đi bộ 0.90, xe buýt 0.93. Xác suất toàn phần P(đúng giờ) = 0.5·0.97 + 0.2·0.90 + 0.3·0.93 = 0.485 + 0.18 + 0.279 = 0.944. Do đó P(xe buýt | đúng giờ) = 0.279/0.944 ≈ 0.2956, làm tròn 0.296. Giá trị "0.375" là P(xe buýt | trễ) = 0.3·0.07/0.056, dùng nhầm biến cố trễ thay vì đúng giờ. Giá trị "0.625" bằng 1 − 0.375, tức xác suất không đi xe buýt khi trễ, cũng sai biến cố điều kiện. Giá trị "0.191" là P(đi bộ | đúng giờ) = 0.18/0.944, đúng biến cố điều kiện nhưng sai phương tiện được hỏi.

Đáp án đúng: "The suit of a card randomly-selected from a 52-card deck.". Biến ngẫu nhiên là hàm gán cho mỗi kết quả của phép thử một số thực. Chất của lá bài (cơ, rô, chuồn, bích) là nhãn định tính, không phải số, nên tự nó không phải biến ngẫu nhiên trừ khi ta mã hoá thêm bằng số. Câu hỏi dùng chữ "not" nên chọn đại lượng không mang giá trị số. "The heights of randomly-selected students in FPT University." là số đo chiều cao, một biến ngẫu nhiên liên tục. "The number of children in randomly-selected kindergartens in Hanoi." là số đếm, biến ngẫu nhiên rời rạc. "The number of stocks in the Dow Jones Industrial Average that have share price increases on a given day." cũng là số đếm nguyên từ 0 tới 30 nên là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Đáp án đúng: "{0, 1, 2}". Rút 2 viên không hoàn lại từ 3 đỏ và 2 xanh, X đếm số bi đỏ nên X nằm từ 0 tới 2; cả ba giá trị đều xảy ra được: X = 0 khi rút cả hai viên xanh, P = C(2,2)/C(5,2) = 1/10; X = 1 với P = 3·2/10 = 6/10; X = 2 với P = C(3,2)/10 = 3/10, tổng bằng 1. "{0, 1, 2, 3}" sai vì chỉ rút 2 viên nên không thể có 3 bi đỏ dù trong hộp có 3 viên đỏ. "{1, 2}" sai vì bỏ sót X = 0: hộp có đủ 2 viên xanh nên rút được cả hai viên xanh. "{0, 2}" sai vì bỏ sót X = 1, trong khi đó lại là giá trị có xác suất lớn nhất 0.6.

Đáp án đúng: "1/98". Hàm khối xác suất (probability mass function) phải thoả f(x) ≥ 0 và tổng trên mọi giá trị bằng 1. Với X nhận 1, 2, 3: f(1) + f(2) + f(3) = c(1⁴ + 2⁴ + 3⁴) = c(1 + 16 + 81) = 98c = 1, suy ra c = 1/98; khi c > 0 thì mọi f(x) đều không âm. "98" là tổng 98 chứ không phải hằng số chuẩn hoá; với c = 98 thì tổng xác suất là 98·98, vượt xa 1. "1/3" là xác suất đều cho ba giá trị, áp dụng khi f(x) là hằng chứ không tỉ lệ với x⁴. "3" là số giá trị của X, không đảm bảo tổng bằng 1. Vì 1/98 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "P(X ≤ 1/4) = 0.9". Hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function) F(x) = P(X ≤ x) trong hình là hàm bậc thang: bằng 0 khi x < 1/8, bằng 0.2 khi 1/8 ≤ x < 1/4, bằng 0.9 khi 1/4 ≤ x < 3/8, và bằng 1 khi x ≥ 3/8. Tại x = 1/4 dòng thứ ba áp dụng (dấu ≤ nằm ở cận trái) nên P(X ≤ 1/4) = F(1/4) = 0.9. "P(X ≤ 1/4) = 0.7" nhầm F(1/4) với bước nhảy tại 1/4, tức P(X = 1/4) = 0.9 − 0.2 = 0.7. "P (X > 1/4) = 0.9" sai vì P(X > 1/4) = 1 − F(1/4) = 1 − 0.9 = 0.1, chính là xác suất độ dày bằng 3/8 inch. "P (X > 1/4) = 0.7" cũng sai vì cùng biến cố đó chỉ có xác suất 0.1. Đã có phát biểu đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Phân phối đầy đủ: P(X = 1/8) = 0.2, P(X = 1/4) = 0.7, P(X = 3/8) = 0.1.

Đáp án đúng: "1.32". X nhận 5 giá trị đồng khả năng nên mỗi giá trị có xác suất 1/5; đây là phân phối của biến ngẫu nhiên, nên phương sai chia cho 5: V(X) = E(X²) − [E(X)]². Ta có E(X) = (0.5 + 1.4 + 2.2 + 3.5 + 4.1)/5 = 2.34, E(X²) = (0.25 + 1.96 + 4.84 + 12.25 + 16.81)/5 = 7.222, nên V(X) = 7.222 − 2.34² = 1.7464 và σ = √1.7464 = 1.32. Phương án "1.75" là phương sai 1.7464 làm tròn, chưa lấy căn bậc hai. Phương án "1.68" không khớp; chia cho n − 1 như phương sai mẫu cũng chỉ ra độ lệch chuẩn 1.48. Phương án "1.30" gần nhưng không đúng kết quả làm tròn của 1.3215. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 1.32 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0". Phân phối đều rời rạc trên các số nguyên 10, 11, …, 20 gán xác suất 1/11 cho mỗi giá trị trong 11 giá trị đó và xác suất 0 cho mọi giá trị nằm ngoài. Số 7 không thuộc tập giá trị, nên P(X = 7) = 0. Giá trị "1/11" là xác suất của một số nguyên bất kỳ trong khoảng từ 10 đến 20, đúng với P(X = 15) chẳng hạn nhưng không đúng với 7. Giá trị "1/10" đếm sai số phần tử thành 20 − 10 = 10, quên tính cả hai đầu mút. Giá trị "1/20" coi như X đều trên 20 giá trị, không có cơ sở. Vì 0 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" không đúng.

Đáp án đúng: "0.2627". Số lần trúng hồng tâm trong 8 phát độc lập là biến nhị thức với n = 8, p = 0.55, f(x) = C(n,x)pˣ(1−p)ⁿ⁻ˣ. Với x = 4: C(8,4) = 70, 0.55⁴ = 0.09151, 0.45⁴ = 0.04101, nên P(X = 4) = 70·0.09151·0.04101 = 0.2627. "0.0038" là 0.55⁴·0.45⁴, quên nhân hệ số tổ hợp C(8,4) = 70, tức chỉ tính xác suất của một thứ tự cụ thể như trúng bốn phát đầu rồi trượt bốn phát sau. "0.0915" là 0.55⁴, chỉ xác suất trúng bốn phát mà bỏ qua bốn phát trượt và số cách sắp xếp. "0.1719" là P(X = 3) = C(8,3)·0.55³·0.45⁵ = 56·0.1664·0.01845, xác suất trúng đúng ba phát chứ không phải bốn. "None of the other choices is correct" sai vì 0.2627 có mặt.

Đáp án đúng: "0.0352". Với phân phối nhị thức âm (negative binomial), X là số lần thử cần để đạt lần thành công thứ r, nên P(X = x) = C(x − 1, r − 1)·pʳ(1 − p)ˣ⁻ʳ: lần thử thứ x phải là thành công thứ r, còn r − 1 thành công trước đó rải trong x − 1 lần thử đầu. Với p = 0.2, r = 4, x = 10: P(X = 10) = C(9,3)·0.2⁴·0.8⁶ = 84·0.0016·0.262144 ≈ 0.0352. Giá trị "0.9648" là phần bù 1 − 0.0352, xác suất X khác 10. Giá trị "0.0725" vượt quá xác suất lớn nhất mà phân phối này đạt được tại một giá trị (khoảng 0.050 quanh x = 15), và cũng không trùng với P(X ≤ 10) ≈ 0.121. Giá trị "0.9275" là phần bù của 0.0725, cũng không ứng với biến cố X = 10.

Đáp án đúng: "1.52". Số hạt nảy mầm X có phân phối nhị thức với n = 11, p = 0.7, nên phương sai V(X) = np(1 − p) = 11·0.7·0.3 = 2.31 và độ lệch chuẩn σ = √2.31 ≈ 1.5199, làm tròn 1.52. Kỳ vọng tương ứng là np = 7.7 hạt. Giá trị "1.502" gần nhưng không bằng √2.31; làm tròn đúng tới ba chữ số thập phân phải là 1.520. Giá trị "1.25" quá nhỏ, bình phương lên chỉ khoảng 1.56, không khớp phương sai 2.31. Giá trị "2.77" lớn hơn cả phương sai, không thể là căn bậc hai của 2.31 vốn phải nhỏ hơn 2.31 vì 2.31 > 1. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.1042". Số hạt X trong 1 mili giây theo phân phối Poisson với λ = 4, nên P(X = x) = e^(−λ)·λ^x/x!. Với x = 6: P(X = 6) = e^(−4)·4⁶/6! = 0.018316·4096/720 ≈ 0.1042. "0.207" lớn hơn cả xác suất cao nhất của Poisson(4) là P(X = 3) = P(X = 4) ≈ 0.1954, nên không thể là xác suất của một giá trị. "0.078" nằm giữa P(X = 7) ≈ 0.0595 và P(X = 6), không ứng với giá trị nào của phân phối này. "0.096" lệch khoảng 0.008 so với giá trị đúng, tương đương dùng e^(−4) ≈ 0.0169 thay vì 0.0183, tức lỗi tính số mũ. "None of the other choices is correct" sai vì 0.1042 có trong danh sách.