Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 3

Đáp án đúng: "0.367879". Thời gian chờ X theo phân phối mũ (exponential) với trung bình 2.8 phút, nên tham số λ = 1/2.8 và hàm sống P(X > x) = e^(−λx). Với x bằng đúng trung bình: P(X > 2.8) = e^(−2.8/2.8) = e^(−1) ≈ 0.367879. Với phân phối mũ, tỉ lệ vượt quá trung bình luôn là khoảng 36.8%, dưới 50% vì phân phối lệch phải. "0.632121" bằng 1 − e^(−1), tức P(X ≤ 2.8), tỉ lệ người chờ không quá 2.8 phút, ngược chiều câu hỏi. "0.60810" ứng với λx ≈ 0.497, tức ngưỡng khoảng 1.39 phút, chừng nửa trung bình chứ không phải 2.8 phút. "0.503245" ứng với λx ≈ 0.687, tức ngưỡng khoảng 1.92 phút. "None of the other choices is correct" sai vì 0.367879 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.9655". P(x < X) là xác suất phần đuôi phải, tính bằng tích phân mật độ từ x tới 1: ∫ₓ¹ 1.5t² dt = 0.5t³ từ x tới 1 = 0.5(1 − x³). Đặt 0.5(1 − x³) = 0.05 được x³ = 0.9, nên x = ∛0.9 ≈ 0.9655; kết quả hợp lý vì chỉ 5% xác suất nằm bên phải nên x phải gần cận trên 1. "0.215" sai vì P(X > 0.215) = 0.5(1 − 0.00994) ≈ 0.495, gần một nửa chứ không phải 0.05. "−0.215" sai vì P(X > −0.215) = 0.5(1 + 0.00994) ≈ 0.505. "0.5" sai vì P(X > 0.5) = 0.5(1 − 0.125) = 0.4375, vẫn quá lớn so với 0.05.

Đáp án đúng: "0.805". Vì X liên tục nên P(X < x) = F(x) = 1 − e^(−2x). Giải 1 − e^(−2x) = 0.8: e^(−2x) = 0.2, nên −2x = ln 0.2, x = −ln(0.2)/2 = ln 5/2 ≈ 1.6094/2 ≈ 0.805. Đây là phân vị 80% của phân phối mũ tham số λ = 2. "0.112" là −ln(0.8)/2, nghiệm của e^(−2x) = 0.8, tức giải nhầm P(X > x) = 0.8 thay vì P(X < x) = 0.8. "0.402" bằng một nửa 0.805, ứng với chia ln 5 cho 4 hoặc dùng λ = 4. "0.936" không phải nghiệm của phương trình: với x = 0.936 thì F(x) = 1 − e^(−1.872) ≈ 0.846, khác 0.8.

Đáp án đúng: "0.25". Mật độ f(x) = 2e^(−2x) với x ≥ 0 là phân phối mũ (exponential) có tham số λ = 2, nên E(X) = 1/λ = 0.5 và V(X) = 1/λ² = 1/4 = 0.25. Tính trực tiếp cũng ra như vậy: E(X²) = ∫x²·2e^(−2x)dx = 2/λ² = 0.5, nên V(X) = E(X²) − [E(X)]² = 0.5 − 0.25 = 0.25. "0.5" là kỳ vọng E(X) = 1/λ (và cũng trùng E(X²)), không phải phương sai. "2" là chính tham số λ, tốc độ xảy ra, không phải số đo độ phân tán. "4" là λ², trong khi phương sai phải là nghịch đảo 1/λ². Với phân phối mũ, độ lệch chuẩn bằng kỳ vọng, ở đây cùng bằng 0.5.

Đáp án đúng: "0.50". Mật độ f(x) = 0.1 trên đoạn [20, 30] là phân phối đều liên tục (tổng diện tích 0.1·10 = 1). Tỉ lệ cần hơn 25 giây là P(X > 25) = ∫ từ 25 tới 30 của 0.1 dx = 0.1·(30 − 25) = 0.50; nói cách khác 25 là điểm giữa đoạn nên một nửa diện tích nằm bên phải. Phương án "0.47" nhỏ hơn 0.5, mâu thuẫn với tính đối xứng của phân phối đều quanh 25. Phương án "0.42" cũng không khớp diện tích hình chữ nhật cao 0.1, rộng 5. Phương án "0.16" quá nhỏ, không ứng với phép tính nào. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.50 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.1587". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (16.1 − 15.2)/0.9 = 1, nên P(X > 16.1) = P(Z > 1) = 1 − P(Z < 1) = 1 − 0.8413 = 0.1587. Giá trị "0.8413" là P(Z < 1), tức xác suất X nhỏ hơn 16.1, ngược chiều với yêu cầu lớn hơn. Giá trị "0.1357" và "0.1550" không ứng với Z = 1: chúng là diện tích đuôi phải tại khoảng z = 1.10 và z = 1.015, lệch khỏi 1 − 0.8413 = 0.1587; chia nhầm cho phương sai 0.81 thì z = 0.9/0.81 = 1.11 và đuôi phải chỉ khoảng 0.133, cũng không trùng hai giá trị này. Vì 0.1587 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "31.74%". Cách trung bình hơn một độ lệch chuẩn nghĩa là |Z| > 1, gồm hai đuôi Z < −1 và Z > 1. Với P(Z < 1) = 0.8413, đuôi phải P(Z > 1) = 1 − 0.8413 = 0.1587, đuôi trái bằng nhau do đối xứng, nên P(|Z| > 1) = 2·0.1587 = 0.3174, tức 31.74%. Kết quả này khớp quy tắc thực nghiệm: khoảng 68% dữ liệu nằm trong một độ lệch chuẩn, còn khoảng 32% nằm ngoài. "34.13%" là P(0 < Z < 1) = 0.8413 − 0.5, phần nằm giữa trung bình và một độ lệch chuẩn về một phía. "15.87%" chỉ là một đuôi P(Z > 1), quên đuôi đối xứng bên trái. "68.26%" là P(−1 < Z < 1), phần nằm trong một độ lệch chuẩn, tức ngược lại với câu hỏi. "None of the other choices is correct" sai vì 31.74% có mặt và đúng bằng hai lần đuôi.

Đáp án đúng: "approximately 0". Số người thắt dây an toàn X là nhị thức n = 700, p = 0.8, xấp xỉ chuẩn với μ = np = 560 và σ = √(np(1 − p)) = √112 ≈ 10.583. Có hiệu chỉnh liên tục, P(X ≤ 518) ≈ P(Z < (518.5 − 560)/10.583) = P(Z < −3.92). Số liệu cho P(Z > 3.92) = 0, theo tính đối xứng P(Z < −3.92) cũng bằng 0, nên xác suất xấp xỉ 0: 518 thấp hơn trung bình gần bốn độ lệch chuẩn. Giá trị "approximately 1" là xác suất phía ngược lại, P(X > 518). Giá trị "0.3" là P(Z < −0.52), chỉ đúng nếu thống kê chuẩn hoá bằng −0.52, tức chia độ lệch 41.5 cho một độ lệch chuẩn sai rất lớn. Giá trị "0.7" là 1 − 0.3, cũng dựa trên cùng z sai đó. Vì kết quả xấp xỉ 0 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "14". Phương sai mẫu (sample variance) s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Trung bình x̄ = (6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16)/6 = 66/6 = 11; độ lệch so với trung bình là −5, −3, −1, 1, 3, 5, bình phương tổng 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70. Chia cho n − 1 = 5 được s² = 14. Giá trị "11.67" là 70/6, chia cho n, tức phương sai của tổng thể khi coi sáu số là toàn bộ tổng thể, không phải phương sai mẫu. Giá trị "3.74" là √14, tức độ lệch chuẩn mẫu, đã khai căn nên không phải phương sai. Giá trị "13.25" không ứng với cách chia nào của tổng 70. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "92.3 and 31.99". Trung bình mẫu x̄ = (88.5 + 98.8 + 89.6)/3 = 276.9/3 = 92.3. Phương sai mẫu chia n − 1 = 2: các độ lệch là −3.8, 6.5, −2.7, bình phương được 14.44, 42.25, 7.29, tổng 63.98, chia 2 được s² = 31.99. Nếu chia n = 3 thì chỉ được 21.33, không khớp phương án nào. "92.1 and 18.2" lệch trung bình 0.2, còn phương sai 18.2 nhỏ hơn cả bản chia n. "87.22 and 8.59" có trung bình nhỏ hơn cả giá trị nhỏ nhất 88.5, vô lý với một trung bình. "93.22 and 5.426" lệch trung bình gần 1 và có phương sai quá nhỏ so với độ phân tán từ 88.5 tới 98.8. "None of the other choices is correct" sai vì cặp đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "5". Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1. Dữ liệu đã sắp có 13 giá trị, trung vị là giá trị thứ 7, bằng 4. Nửa dưới gồm 6 giá trị 1, 1, 2, 2, 3, 4 nên Q1 = (2 + 2)/2 = 2; nửa trên gồm 5, 6, 7, 7, 8, 9 nên Q3 = (7 + 7)/2 = 7. Dùng vị trí (n + 1)/4 = 3.5 và 3(n + 1)/4 = 10.5 cũng cho Q1 = 2, Q3 = 7. Vậy IQR = 7 − 2 = 5. "8" sai vì đó là khoảng biến thiên 9 − 1, dùng hai giá trị cực trị chứ không phải tứ phân vị. "2" sai vì đó chỉ là Q1. "7" sai vì đó chỉ là Q3. "4" sai vì đó là trung vị. "None of the other choices is correct" sai vì 5 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "21". Bảng tần suất tương đối cho bốn nhóm tuổi của 25 thành viên: 16-20 chiếm 20%, 21-30 chiếm 28%, 31-40 chiếm 36%, 41-50 chiếm 16%. "Tuổi không vượt quá 40" gồm ba nhóm đầu, tần suất tích luỹ 20% + 28% + 36% = 84%, nên số người là 0.84·25 = 21; cũng bằng 25 trừ số người nhóm 41-50 (0.16·25 = 4). "12" là 0.48·25, chỉ cộng hai nhóm 16-20 và 21-30 (5 + 7), tức tuổi không quá 30. "9" là 0.36·25, chỉ tính nhóm 31-40. "4" là 0.16·25, số người nhóm 41-50, tức đúng phần bị loại. Vì 21 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "2". Biểu đồ hộp (box plot) cho năm số: đầu râu trái 10 (giá trị nhỏ nhất), cạnh trái hộp Q1 = 15, vạch giữa hộp là trung vị 18, cạnh phải hộp Q3 = 20, đầu râu phải 22 (giá trị lớn nhất). Mệnh đề i) đúng: khoảng 50% dữ liệu nằm giữa Q1 = 15 và Q3 = 20, đó chính là phần hộp. Mệnh đề ii) đúng: đầu râu vẽ tới giá trị lớn nhất thực sự quan sát được (không có điểm ngoại lai nào được đánh dấu), nên 22 phải có trong dữ liệu. Mệnh đề iii) sai: khi cỡ mẫu chẵn, trung vị là trung bình của hai giá trị chính giữa, chẳng hạn 17 và 19 cho trung vị 18 mà không có số 18 nào. Vậy có đúng hai mệnh đề đúng. "0" bỏ qua cả hai mệnh đề đúng. "1" chỉ công nhận một trong hai mệnh đề i) và ii), bỏ sót mệnh đề kia. "3" coi cả mệnh đề iii) là đúng, tức nhầm trung vị luôn là một giá trị của dữ liệu.

Đáp án đúng: "Normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.07(degree F)". Khi tổng thể có phân phối chuẩn, trung bình mẫu X̄ có phân phối chuẩn đúng (không chỉ xấp xỉ) với mọi cỡ mẫu, kỳ vọng bằng μ = 98 và độ lệch chuẩn σ/√n = 0.5/√50 = 0.0707 ≈ 0.07. Phương án "Normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.01(degree F)" sai vì 0.01 là 0.5/50, chia cho n thay vì √n. Phương án "Approximately normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.07(degree F)" có số liệu đúng nhưng chữ xấp xỉ chỉ cần khi tổng thể không chuẩn và phải dựa vào định lý giới hạn trung tâm. Phương án "Approximately normal with a mean of 98(degree F) and a standard deviation of 0.01(degree F)" sai cả hai chỗ. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì mô tả đúng đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.0228". Tổng thể chuẩn nên x̄ phân phối chuẩn với trung bình 3.2 và sai số chuẩn σ/√n = 0.8/√64 = 0.1. Chuẩn hoá Z = (3.4 − 3.2)/0.1 = 2, nên P(x̄ ≥ 3.4) = 1 − P(Z < 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228, cũng bằng P(Z < −2). Giá trị "0.9772" là P(Z < 2), xác suất trung bình mẫu nhỏ hơn 3.4, sai chiều. Giá trị "0.4013" là 1 − 0.5987, ra khi quên chia σ cho √n và tính Z = 0.2/0.8 = 0.25; đó là xác suất một con cá riêng lẻ nặng hơn 3.4 pound chứ không phải trung bình của 64 con. Giá trị "0.5987" là P(Z < 0.25), mắc cả lỗi quên √n lẫn sai chiều. Vì 0.0228 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.9938". Tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu x̄ có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ = 124 và sai số chuẩn σ/√n = 6.4/√64 = 6.4/8 = 0.8. Chuẩn hoá: Z = (126 − 124)/0.8 = 2.5, nên P(x̄ < 126) = P(Z < 2.5) = 0.9938, đúng giá trị dòng gợi ý cho. Trung bình của 64 người dao động ít hơn hẳn từng cá nhân, nên vượt 126 là chuyện rất hiếm. "0.0062" là 1 − 0.9938 = P(x̄ > 126), đuôi ngược với câu hỏi. "0.9762" không ứng với z = 2.5; nó gần P(Z < 2) = 0.9772 trong dòng gợi ý nhưng ngay cả z = 2 cũng không phải giá trị tính được với sai số chuẩn 0.8. "0.0238" là 1 − 0.9762, vừa sai z vừa lấy nhầm đuôi trên. "None of the other choices is correct" sai vì 0.9938 có mặt. Nếu quên chia cho √n, z chỉ là 2/6.4 = 0.31 và kết quả khoảng 0.62, xác suất của một người chứ không phải trung bình mẫu.

Đáp án đúng: "A population parameter is used to estimate a confidence interval.". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. Tham số tổng thể là đại lượng chưa biết; chính khoảng tin cậy được xây dựng từ thống kê mẫu (như x̄ ± sai số biên) để ước lượng tham số đó, nên nói dùng tham số để ước lượng khoảng tin cậy là đảo ngược quan hệ, đây là phát biểu sai cần chọn. Phát biểu "Other things being equal, as the confidence level for a confidence interval increases, the width of the interval increases." là đúng: độ tin cậy cao hơn đòi giá trị tới hạn z hay t lớn hơn, nên sai số biên và độ rộng tăng. Phát biểu "A point estimate consists of a single sample statistic that is used to estimate the true population parameter." cũng đúng: ước lượng điểm là một con số duy nhất tính từ mẫu, như x̄ ước lượng μ hay p̂ ước lượng p. Vì hai phát biểu này đúng nên không được chọn.

Đáp án đúng: "(513.17, 860.33)". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 15 nhỏ nên dùng khoảng t: x̄ ± t(α/2; n−1)·s/√n. Mức 98% nên α/2 = 0.01, dùng t(0.01, 14) = 2.624; s/√n = 256.20/√15 ≈ 66.15, biên sai số 2.624·66.15 ≈ 173.58. Khoảng là 686.75 ± 173.58 = (513.17, 860.33). Mọi khoảng tin cậy loại này phải có tâm đúng bằng x̄ = 686.75. Khoảng "(238.23, 326.41)" có tâm khoảng 282.3, không chứa cả trung bình mẫu. Khoảng "(487.31, 563.80)" có tâm khoảng 525.6 và quá hẹp, nằm trọn dưới 686.75. Khoảng "(326.21, 437.90)" có tâm khoảng 382.1, cũng không chứa x̄. Đã có khoảng đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "601". Chưa có ước lượng trước của p nên dùng giá trị bảo thủ p = 0.5, làm p(1 − p) = 0.25 lớn nhất. Cỡ mẫu n = (z(α/2)/E)²·p(1 − p) với độ tin cậy 95% dùng z₀.₀₂₅ = 1.96 và sai số cho phép E = 0.04: n = (1.96/0.04)²·0.25 = 600.25, làm tròn lên thành 601 để sai số không vượt 4%. "420" dùng z₀.₀₅ = 1.64 (ứng với độ tin cậy 90%): (1.64/0.04)²·0.25 = 420.25, lại còn làm tròn xuống. "105" trùng với kết quả dùng 1.64 cùng sai số 0.08, gấp đôi mức cho phép: (1.64/0.08)²·0.25 ≈ 105.06. "747" đòi p(1 − p) ≈ 0.311, vượt trần 0.25 nên không thể ra từ công thức này. "None of the other choices is correct" sai vì 601 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.7852". σ = 20 đã biết nên dùng Z₀ = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (170 − 175)/(20/√10) = −5/6.3246 ≈ −0.79. Với H₁: μ > 175 (một phía bên phải), P-value là xác suất thống kê lớn hơn hoặc bằng giá trị quan sát: P(Z > −0.79) = 1 − P(Z < −0.79) = 1 − 0.2148 = 0.7852. P-value lớn vì x̄ = 170 lệch về phía ngược với đối thuyết, nên dữ liệu hoàn toàn không ủng hộ μ > 175. "0.2148" sai vì đó là đuôi trái, chỉ là P-value khi đối thuyết là μ < 175. "0.4296" sai vì đó là 2·0.2148, P-value của kiểm định hai phía μ ≠ 175. "0.5702" sai vì không ra từ giá trị P(Z < −0.79) đã cho theo cách lấy đuôi nào.