Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 3

Đáp án đúng: "parameter". Tham số (parameter) là một con số mô tả một đặc trưng của toàn bộ tổng thể, chẳng hạn trung bình μ hay tỉ lệ p của cả tổng thể; nó thường không biết và là đích cần ước lượng. Từ "statistic" (thống kê) chỉ con số tính từ mẫu như x̄ hay p̂, mô tả mẫu chứ không mô tả tổng thể, dù được dùng để ước lượng tham số. Từ "sample" (mẫu) là một tập con các phần tử lấy ra từ tổng thể, là tập đối tượng chứ không phải con số mô tả đặc trưng. Từ "survey" (khảo sát) là một phương pháp thu thập dữ liệu bằng hỏi đáp, không phải đại lượng mô tả. Vì "parameter" đúng định nghĩa nên "None of the other choices is true" không đúng.

Đáp án đúng: "Retrospective study". Nghiên cứu hồi cứu (retrospective study) dùng dữ liệu lịch sử đã được ghi lại từ trước, có thể là toàn bộ hoặc một phần số liệu cũ. Jared lấy nhiệt độ bề mặt trung bình toàn cầu từ năm 1866 trên một trang Internet, tức dữ liệu do người khác ghi chép trong quá khứ, nên đó là phương pháp hồi cứu. Phương pháp "Observation" (nghiên cứu quan sát) là tự theo dõi và ghi lại quá trình trong thời gian nghiên cứu, không can thiệp; Jared không tự đo nên không thuộc loại này. Phương pháp "Experimentation" (thiết kế thí nghiệm) chủ động thay đổi các yếu tố đầu vào để xem ảnh hưởng, điều không thể làm với khí hậu từ thế kỷ trước. Phương pháp "Surveying" (khảo sát) là hỏi trực tiếp người trả lời bằng bảng hỏi, cũng không phải việc khai thác chuỗi số liệu nhiệt độ có sẵn.

Đáp án đúng: "WW, BW". Mỗi con chuột con nhận một gene từ bố và một gene từ mẹ; ghi kết quả theo thứ tự (gene từ bố, gene từ mẹ). Bố mang một gene trắng và một gene đen nên truyền W hoặc B, mẹ chỉ có gene trắng nên luôn truyền W, vì vậy chỉ có hai kết quả: WW (hai gene trắng) và BW (một gene đen từ bố, một gene trắng từ mẹ, và vì không gene nào trội nên đây là một kiểu riêng). "WW, BB" sai vì BB cần mẹ truyền gene đen, mà mẹ không có gene đen. "WB, BW" bỏ sót kết quả hai gene trắng, đồng thời WB theo thứ tự đã quy ước nghĩa là mẹ truyền gene đen, điều không xảy ra. "WW, WW" lặp lại một kết quả và bỏ sót trường hợp bố truyền gene đen. "None of the other choices is correct" sai vì danh sách đúng có mặt.

Đáp án đúng: "A = {T, HT, HHT, HHHT}". Thí nghiệm tung đồng xu cho tới lần đầu ra mặt sấp T, nên mỗi kết quả là một chuỗi gồm k lần ngửa H rồi kết thúc bằng một T, với k = 0, 1, 2, … Biến cố "tối đa 3 lần ngửa" ứng với k = 0, 1, 2, 3, nên gồm bốn kết quả T, HT, HHT, HHHT. "A = {HHHT}" sai vì chỉ là biến cố "đúng 3 lần ngửa", thiếu các trường hợp 0, 1, 2 lần ngửa. "A = {THHH}" sai vì thí nghiệm dừng ngay khi ra T đầu tiên, nên không có chuỗi nào có H đứng sau T. "A = {H, TH, TTH, TTTH}" sai vì đảo vai hai mặt: đó là biến cố tối đa 3 lần sấp khi tung tới lần đầu ra ngửa, không phải thí nghiệm đang xét.

Đáp án đúng: "0.85". A = {b, d, e} và B = {a, b, d}, nên hợp A U B = {a, b, d, e}, tức mọi kết quả trừ c. Cộng xác suất các kết quả rời nhau: 0.25 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.85, cũng bằng 1 − P(c) = 1 − 0.15. Kiểm bằng quy tắc cộng: P(A) = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6, P(B) = 0.25 + 0.3 + 0.2 = 0.75, giao gồm {b, d} có xác suất 0.5, nên P(A U B) = 0.6 + 0.75 − 0.5 = 0.85. "0.6" chỉ là P(A), bỏ phần chỉ thuộc B là kết quả a. "0.75" chỉ là P(B), bỏ phần chỉ thuộc A là kết quả e. "1.35" là P(A) + P(B) mà quên trừ phần giao, đếm b và d hai lần; một xác suất không thể vượt 1.

Đáp án đúng: "0.514". Biến cố chọn được 7 bé gái trở lên là X ≥ 7, gồm các giá trị rời rạc xung khắc 7, 8, 9, nên P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) = 0.209 + 0.183 + 0.122 = 0.514 theo bảng đã cho. "0.122" chỉ là P(X = 9), quên cộng hai giá trị 7 và 8. "0.061" là một nửa của 0.122, không ứng với tổng nào của các ô trong bảng. "0.001" quá nhỏ, cỡ xác suất của một giá trị cực biên như X = 0 (bảng ghi 0.000), trong khi biến cố hỏi gồm ba ô có xác suất lớn. Đã có 0.514 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Có thể kiểm tra chéo bằng phần bù: P(X ≤ 6) = 0.486 và 1 − 0.486 = 0.514.

Đáp án đúng: "10%". Câu hỏi là xác suất có điều kiện P(bị kết án | vô tội). Bồi thẩm ra quyết định đúng 90% số lần bất kể bị cáo có tội hay không, nên với người vô tội, quyết định đúng là tha bổng với xác suất 0.9, và bị kết án oan với xác suất 1 − 0.9 = 0.1, tức 10%. Tỉ lệ 80% bị cáo có tội không ảnh hưởng tới xác suất có điều kiện này vì điều kiện đã cố định là vô tội. Phương án "20%" là tỉ lệ người vô tội P(vô tội) = 1 − 0.8, không phải xác suất bị kết án khi vô tội. Phương án "15%" không ứng với đại lượng nào trong bài. Phương án "25%" cũng không khớp; ngay cả xác suất ngược P(vô tội | bị kết án) = 0.02/0.74 cũng chỉ khoảng 2.7%.

Đáp án đúng: "49/80". Chọn túi ngẫu nhiên nên mỗi túi có xác suất 1/2, rồi dùng công thức xác suất toàn phần: P(trắng) = (1/2)·(3/5) + (1/2)·(5/8) = 3/10 + 5/16 = 24/80 + 25/80 = 49/80. Giá trị "8/13" là (3 + 5)/(5 + 8), gộp hai túi làm một rồi rút, sai vì túi được chọn trước với xác suất ngang nhau nên mỗi viên bi trong túi ít bi có cơ hội được rút lớn hơn. Giá trị "3/8" là xác suất rút bi đen từ túi thứ hai, không phải bi trắng theo xác suất toàn phần. Giá trị "1/2" chỉ là xác suất chọn mỗi túi, chưa nhân với tỷ lệ bi trắng trong túi.

Đáp án đúng: "0.9995". Hình vẽ cho mạch có hai nhánh mắc song song giữa đầu trái và đầu phải: nhánh trên có một thiết bị hoạt động với xác suất 0.99, nhánh dưới có một thiết bị với xác suất 0.95. Mạch song song chỉ hỏng khi mọi nhánh cùng hỏng, nên với các thiết bị độc lập: P(mạch chạy) = 1 − (1 − 0.99)(1 − 0.95) = 1 − 0.01·0.05 = 1 − 0.0005 = 0.9995. Mắc song song làm độ tin cậy cao hơn từng thiết bị riêng. "0.9405" là 0.99·0.95, công thức của mạch nối tiếp, chỉ đúng khi cả hai thiết bị phải cùng chạy trên một đường duy nhất. "0.99" chỉ là xác suất của riêng thiết bị nhánh trên, bỏ qua đường dự phòng phía dưới. "0.95" chỉ là xác suất của thiết bị nhánh dưới. Kết quả song song luôn phải lớn hơn xác suất của thiết bị tốt nhất (0.99), và chỉ 0.9995 thoả điều đó.

Đáp án đúng: "0.375". Dùng xác suất toàn phần rồi Bayes. Xác suất đi muộn P(L) = 0.5·0.03 + 0.2·0.10 + 0.3·0.07 = 0.015 + 0.020 + 0.021 = 0.056. Khi đó P(xe buýt | muộn) = P(xe buýt)·P(L | xe buýt)/P(L) = 0.021/0.056 = 0.375. Giá trị "0.625" là phần bù 1 − 0.375, tức xác suất đi muộn mà không đi xe buýt. Giá trị "0.191" còn nhỏ hơn xác suất tiên nghiệm 0.3 của xe buýt, trong khi tỉ lệ muộn khi đi xe buýt (7%) cao hơn mức chung 5.6%, nên biết đã đi muộn phải làm xác suất xe buýt tăng chứ không giảm. Giá trị "0.296" không trùng với xác suất hậu nghiệm của nhánh nào: đi bộ là 0.020/0.056 ≈ 0.357, lái xe là 0.015/0.056 ≈ 0.268, xe buýt là 0.375.

Đáp án đúng: "a real number". Biến ngẫu nhiên (random variable) là một hàm X: S → ℝ, gán cho mỗi kết quả trong không gian mẫu một số thực; ví dụ tung hai đồng xu, X là số mặt ngửa thì kết quả (ngửa, sấp) được gán số 1. Nhờ giá trị là số nên mới tính được kỳ vọng, phương sai. Lựa chọn "a letter" sai vì nhãn chữ chỉ là tên gọi kết quả, không cho phép làm phép tính. Lựa chọn "an event" sai vì biến cố là tập con của không gian mẫu; ngược lại, mỗi giá trị của X xác định một biến cố {X = x} chứ X không gán biến cố. Lựa chọn "a probability" nhầm biến ngẫu nhiên với độ đo xác suất: chính hàm xác suất P mới gán số trong [0, 1] cho biến cố, còn X có thể nhận bất kỳ số thực nào, kể cả âm hay lớn hơn 1.

Đáp án đúng: "Temperature fluctuations in a day.". Biến ngẫu nhiên rời rạc nhận một tập giá trị đếm được, thường là kết quả của phép đếm; biến liên tục nhận mọi giá trị trong một khoảng, thường là kết quả của phép đo. Nhiệt độ trong ngày là đại lượng đo, thay đổi liên tục và có thể là 25.3 hay 25.31 độ, nên không biểu diễn được bằng biến rời rạc. Câu hỏi dùng chữ "CANNOT" nên đáp án là đại lượng duy nhất không rời rạc. "The number of customers arriving at a store in an hour." là phép đếm 0, 1, 2, … nên rời rạc (thường mô hình bằng Poisson). "Count of defective items in a production batch." đếm số sản phẩm lỗi, nhận giá trị nguyên từ 0 tới cỡ lô, rời rạc. "The number of emails received before 11:00 PM." cũng là số đếm nguyên không âm nên rời rạc.

Đáp án đúng: "(iv)". Câu hỏi tìm kết luận SAI. Với f(x) = (x + 5)/45 trên x = 0, …, 5 ta có các giá trị 5/45, 6/45, 7/45, 8/45, 9/45, 10/45, tổng đúng bằng 45/45 = 1. Kết luận (iv) sai vì P(X < 5) = 1 − f(5) = 1 − 10/45 = 35/45 = 7/9, không bằng 1 vì giá trị 5 vẫn có xác suất dương. "(i)" là kết luận đúng nên không được chọn: P(X = 0) = 5/45 = 1/9. "(ii)" cũng đúng: P(X ≤ 2) = (5 + 6 + 7)/45 = 18/45 = 2/5. "(iii)" cũng đúng: P(X ≥ 4) = (9 + 10)/45 = 19/45. Như vậy chỉ có một kết luận sai là P(X < 5) = 1.

Đáp án đúng: "Neither (i) nor (ii)". Hàm phân phối tích luỹ F(x) = P(X ≤ x) của biến rời rạc là hàm bậc thang liên tục bên phải; các bước nhảy cho P(X = 1) = 0.5, P(X = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.2. Ta có P(X ≤ 1) = F(1) = 0.5, không phải 0, vì tại x = 1 hàm đã nhảy lên 0.5; nhầm với giá trị 0 ở khoảng x < 1. Còn P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − F(giá trị ngay dưới 3) = 1 − 0.8 = 0.2, không phải 1; nhầm F(3) = 1 với xác suất phần đuôi. Vì cả hai phát biểu đều sai nên "Only (i)", "Only (ii)" và "Both (i) and (ii)" đều sai: "Only (i)" và "Both (i) and (ii)" khẳng định P(X ≤ 1) = 0, còn "Only (ii)" khẳng định P(X ≥ 3) = 1.

Đáp án đúng: "Both (i) and (ii)". Dùng tính chất của phương sai và kỳ vọng: V(aX + b) = a²V(X), hằng số cộng thêm không làm đổi độ phân tán; và V(X) = E(X²) − [E(X)]². Mệnh đề (i): V(2X − 1) = 2²·V(X) = 4·2 = 8, đúng. Mệnh đề (ii): E(X²) = V(X) + [E(X)]² = 2 + 1² = 3, đúng. Hai mệnh đề cùng đúng. "Only (i)" bỏ sót mệnh đề (ii), có lẽ do nhầm E(X²) với [E(X)]² = 1. "Only (ii)" bỏ sót mệnh đề (i), thường do áp nhầm V(2X − 1) = 2V(X) − 1 = 3, quên bình phương hệ số và giữ lại hằng số. "Neither (i) nor (ii)" sai vì cả hai phép tính đều cho đúng giá trị đã nêu.

Đáp án đúng: "2". Phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên a, a+1, ..., b có phương sai σ² = ((b − a + 1)² − 1)/12. Với a = 2, b = 8 có 7 giá trị: σ² = (7² − 1)/12 = 48/12 = 4, nên σ = 2; kiểm lại bằng định nghĩa: μ = 5, các độ lệch bình phương 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9 có trung bình 28/7 = 4. Phương án "1.7" là (8 − 2)/√12 = 1.732, độ lệch chuẩn của phân phối đều liên tục trên đoạn [2, 8], áp sai cho biến rời rạc. Phương án "1.8" không khớp công thức nào. Phương án "1.9" cũng không khớp. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 2 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.179". Mỗi sinh viên độc lập thuận tay trái với p = 0.11, đếm số người thuận tay trái trong n = 40 nên X tuân theo phân phối nhị thức: P(X = 5) = C(40,5)·0.11⁵·0.89³⁵. Với C(40,5) = 658008, 0.11⁵ ≈ 0.0000161, 0.89³⁵ ≈ 0.01693, tích bằng khoảng 0.1794, làm tròn 0.179. Giá trị "0.11" chỉ là xác suất một người thuận tay trái. Giá trị "0.125" là 5/40, tỷ lệ mẫu khi có đúng 5 người, không phải xác suất. Giá trị "0.000" là kết quả khi quên hệ số C(40,5), vì riêng 0.11⁵·0.89³⁵ chỉ khoảng 0.0000003. Vì 0.179 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.0096". Đếm số lần kiểm tra tới khi gặp sản phẩm lỗi đầu tiên là phân phối hình học (geometric) với p = 0.01: P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p. Sản phẩm thứ năm là lỗi đầu tiên nghĩa là bốn sản phẩm đầu tốt, cái thứ năm lỗi: P(X = 5) = 0.99⁴·0.01 = 0.96060·0.01 = 0.0096. "0.0099" là 0.99·0.01, ứng với trường hợp sản phẩm thứ hai là lỗi đầu tiên, không phải thứ năm. "0.8879" không khớp luỹ thừa nguyên nào của 0.99 (0.99¹¹ = 0.8953, 0.99¹² = 0.8864) và cũng thiếu thừa số 0.01 của lần gặp lỗi, nên không thể là xác suất gặp lỗi đúng ở lần thứ năm. "0.6879" quá lớn so với xác suất một sự kiện cần đúng một sản phẩm lỗi trong khi tỉ lệ lỗi chỉ 1%. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0096 có mặt. Lưu ý 0.99⁴ ≈ 0.9606 là xác suất bốn cái đầu đều tốt, phải nhân thêm 0.01.

Đáp án đúng: "0.59". Chọn 5 bản nhạc không lặp từ 20 bản (7 Mahler, 13 bản khác) nên số bản Mahler X có phân phối siêu bội (hypergeometric). Dùng phần bù: P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1). Tổng số cách C(20,5) = 15504; P(X = 0) = C(13,5)/C(20,5) = 1287/15504 ≈ 0.0830; P(X = 1) = C(7,1)·C(13,4)/C(20,5) = 7·715/15504 ≈ 0.3228. Vậy P(X ≥ 2) ≈ 1 − 0.0830 − 0.3228 = 0.5942, làm tròn 0.59. Giá trị "0.41" là P(X ≤ 1), xác suất có nhiều nhất một bản Mahler, tức phần bù chưa lấy 1 trừ đi. Giá trị "0.62" lớn hơn kết quả đúng 0.594 và không ứng với tổ hợp nào của các xác suất trên. Giá trị "0.44" không khớp; ngay cả mô hình nhị thức có hoàn lại với p = 0.35 cũng cho khoảng 0.57, còn ở đây bản nhạc không lặp nên dùng siêu bội. Vì 0.59 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.018". Số lần mất điện trong một ngày có phân phối Poisson với λ = 0.210, f(x) = e^(−λ)λˣ/x!. Với x = 2: f(2) = e^(−0.21)·0.21²/2! = 0.8106·0.0441/2 ≈ 0.01787, làm tròn 0.018. Giá trị "0.036" gấp đôi đáp số, đúng là kết quả khi quên chia cho 2! ở mẫu. Giá trị "0.085" bằng khoảng một nửa P(X = 1) = e^(−0.21)·0.21 ≈ 0.170, không phải xác suất của hai lần mất điện. Giá trị "0.027" không khớp với biểu thức Poisson nào của λ = 0.21 tại x = 2, nó lớn hơn f(2) gần 1.5 lần. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.