Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập thi lại số 3

Đáp án đúng: "i". Muốn chứng minh (demonstrate) một khẳng định thì đặt khẳng định đó vào giả thuyết đối H₁, vì chỉ khi bác bỏ được H₀ ta mới có bằng chứng mạnh ủng hộ nó; còn H₀ luôn chứa dấu bằng. Khẳng định là lực kéo trung bình dưới 24 newton, nên H₀: μ = 24; H₁: μ < 24, kiểm định một phía bên trái. "ii" có H₁: μ > 24, kiểm tra điều ngược lại là lực lớn hơn 24. "iii" có H₁: μ ≠ 24, kiểm định hai phía chỉ cho biết khác 24 chứ không cho biết hướng dưới 24. "iv" đặt H₀: μ < 24 không chứa dấu bằng và đẩy khẳng định cần chứng minh vào H₀, trong khi H₁: μ ≥ 24 lại chứa dấu bằng, sai cả hai vai trò.

Đáp án đúng: "2.55". Tổng thể chuẩn, σ chưa biết và mẫu nhỏ n = 12 nên dùng kiểm định t một mẫu cho H₀: μ = 3,300 và H₁: μ ≠ 3,300. Trị thống kê t₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (3,690 − 3,300)/(530/√12) = 390/152.998 = 2.549 ≈ 2.55, so với t(0.025; 11) = 2.201 thì |t₀| lớn hơn nên bác H₀ ở mức 0.05. "−1.37" vừa sai dấu vừa sai độ lớn; trung bình mẫu 3,690 cao hơn 3,300 nên t₀ phải dương. "−2.16" mang dấu âm, chỉ xảy ra khi trung bình mẫu thấp hơn giá trị giả thuyết, trái với dữ liệu. "2.21" đúng dấu nhưng ứng với sai số chuẩn khoảng 176.7, tức chia 530 cho √9 thay vì √12; nó cũng dễ bị nhầm với giá trị tới hạn 2.201. "None of the other choices is true" không được chọn vì đã có 2.55.

Đáp án đúng: "1.96; −1.96". Giả thuyết đối p ≠ 0.325 là hai phía, nên miền bác bỏ chia đều α = 0.05 cho hai đuôi, mỗi đuôi 0.025, và giá trị tới hạn là ±z₀.₀₂₅ = ±1.96; ta bác H₀ khi |Z₀| > 1.96, với Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n). Giá trị tới hạn chỉ phụ thuộc α và chiều của H₁, không phụ thuộc n = 42 hay p̂ = 0.247. Phương án "1.645; −1.645" dùng z₀.₀₅, tức dồn cả α = 0.05 vào mỗi đuôi như kiểm định một phía. Phương án "2.33; −2.33" ứng với α = 0.02 cho kiểm định hai phía. Phương án "2.575; −2.575" ứng với α = 0.01 hai phía. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì ±1.96 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.894". Hai tổng thể chuẩn với độ lệch chuẩn đã biết nên khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂ là (x̄₁ − x̄₂) ± z₀.₀₂₅·√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Sai số chuẩn bằng √(0.576²/20 + 0.776²/17) = √(0.01659 + 0.03542) ≈ 0.2281, biên sai số là 1.96·0.2281 ≈ 0.447, và độ rộng khoảng bằng hai lần biên: 2·0.447 ≈ 0.894. Giá trị "0.789" chỉ đạt được khi dùng sai số chuẩn khoảng 0.201, nhỏ hơn giá trị đúng 0.2281, và không khớp công thức với số liệu đã cho; ngay cả dùng phương sai gộp hai nhóm thì độ rộng cũng là khoảng 0.873. Giá trị "0.687" nhỏ hơn cả độ rộng 90% là 2·1.65·0.2281 ≈ 0.753, nên không thể là độ rộng 95%. Giá trị "0.978" lớn hơn kết quả đúng, ứng với sai số chuẩn khoảng 0.249, không khớp số liệu.

Đáp án đúng: "4.27". Hai tổng thể chuẩn có cùng phương sai nên dùng kiểm định t gộp (pooled t): sp² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2) = (24·2.25 + 29·3.61)/53 = (54 + 104.69)/53 = 2.994, sp = 1.730. Thống kê t₀ = (x̄₁ − x̄₂)/(sp·√(1/n₁ + 1/n₂)) = (20 − 18)/(1.730·√(1/25 + 1/30)) = 2/(1.730·0.2708) = 2/0.4686 = 4.27, với 53 bậc tự do. "−4.27" đúng độ lớn nhưng sai dấu, vì x̄₁ = 20 lớn hơn x̄₂ = 18 nên hiệu dương. "1.63" quá nhỏ, như thể chia hiệu 2 cho một sai số chuẩn khoảng 1.23 thay vì 0.4686; ngay cả quên nhân sp với √(1/n₁ + 1/n₂) cũng chỉ cho 2/1.730 = 1.156, nên con số này không khớp công thức. "−1.63" vừa sai độ lớn vừa sai dấu. "None of the other choices is correct" sai vì 4.27 có mặt. Giá trị lớn như 4.27 cho thấy hai trung bình khác nhau rõ rệt.

Đáp án đúng: "1.87". Kiểm định hai tỉ lệ với H₀ : p₁ = p₂ dùng tỉ lệ gộp. Ở đây p̂₁ = 480/600 = 0.80, p̂₂ = 300/400 = 0.75, tỉ lệ gộp p̂ = (480 + 300)/(600 + 400) = 0.78. Thống kê Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)) = 0.05/√(0.78·0.22·(1/600 + 1/400)) = 0.05/0.02674 ≈ 1.87. Dấu dương vì Maricopa (mẫu thứ nhất) có tỉ lệ ủng hộ cao hơn Pima. Giá trị "−1.87" có cùng độ lớn nhưng ứng với việc lấy p̂₂ − p̂₁, đảo thứ tự hai mẫu so với cách đặt. Giá trị "1.64" là giá trị tới hạn z(0.05) của kiểm định một phía, dùng để so sánh chứ không phải thống kê tính từ dữ liệu. Giá trị "−1.64" là giá trị tới hạn phía trái, cũng không phải thống kê kiểm định.

Đáp án đúng: "0.0038 and 0.069". Ước lượng bình phương tối thiểu dùng β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Tính Sxx = Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n = 532000 − 2000²/10 = 132000 và Sxy = Σxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ/n = 2175.4 − 2000·8.35/10 = 505.4, nên β̂₁ = 505.4/132000 ≈ 0.003829. Với x̄ = 200, ȳ = 0.835 thì β̂₀ = 0.835 − 0.003829·200 ≈ 0.0692. Cặp "0.038 and 0.069" có độ dốc lớn gấp 10 lần, sai vị trí dấu thập phân. Cặp "0.0038 and 0.075" đúng độ dốc nhưng hệ số chặn lệch, có lẽ do làm tròn độ dốc về 0.0038 trước khi nhân 200 (0.835 − 0.76 = 0.075); nên giữ đủ chữ số tới bước cuối. Cặp "0.038 and 0.69" sai cả hai đúng gấp 10 lần. Có cặp đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "92.0326". Trong bảng ANOVA của hồi quy, tổng bình phương toàn phần tách thành SST = SSR + SSE. Cột SS cho hàng Regression là 335.0472 và hàng Total là 427.0798, còn ô SS của hàng Residual bị xoá, nên SSE = 427.0798 − 335.0472 = 92.0326. Kiểm tra chéo: bậc tự do Residual là 50 − 1 = 49, MSE = 92.0326/49 ≈ 1.8782, khớp ô MS của Residual, và Standard Error 1.3704 đúng bằng √1.8782. "1.8782" là MS Residual, tức SSE đã chia cho bậc tự do, không phải tổng bình phương. "427.0798" là SST ở hàng Total, gồm cả phần mô hình giải thích được. "335.0472" là SSR ở hàng Regression, phần biến thiên do mô hình giải thích. "None of the other choices is correct" sai vì 92.0326 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "−1.25". Kiểm định H₀: β₁ = 1 với H₁: β₁ < 1 dùng t₀ = (β̂₁ − 1)/se(β̂₁). Ở hàng X Variable 1 của bảng hệ số, cột Coefficients cho β̂₁ = 0.615384615 và cột Standard Error cho se(β̂₁) = 0.307050613, nên t₀ = (0.615384615 − 1)/0.307050613 = −0.384615385/0.307050613 ≈ −1.25. "2.00" sai vì đó là ô t Stat của chính hàng này, 0.615384615/0.307050613 ≈ 2.004, vốn dành cho H₀: β₁ = 0 chứ không phải β₁ = 1. "−0.81" sai vì đó là t Stat của hàng Intercept (0.805268042) đổi dấu, thuộc hệ số chặn. "2.67" sai vì không ra từ ô nào của hàng X Variable 1 với giá trị giả thuyết 1. "None of the other choices is true" sai vì −1.25 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "r = 0.802, positive correlation". Hệ số tương quan mẫu r = Sxy/√(Sxx·Syy). Cân nặng 60, 45, 58, 53 có trung bình 54; huyết áp 125, 100, 110, 100 có trung bình 108.75. Tính được Sxy = 190, Sxx = 134, Syy = 418.75, nên r = 190/√(134·418.75) ≈ 0.802. r dương nghĩa là cân nặng cao thường đi với huyết áp cao, tức tương quan dương. "r = −0.802, negative correlation" sai dấu vì Sxy dương. "r = 0.802, negative correlation" mâu thuẫn nội tại: dấu của r quyết định hướng tương quan, r dương không thể là tương quan âm. "r = −0.802, positive correlation" cũng mâu thuẫn theo chiều ngược lại và sai dấu. Vì phương án đúng có trong danh sách nên "None of the other choice is correct" sai.