Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 3

Đáp án đúng: "0.556744". Phân phối mũ (exponential distribution) với trung bình 4 phút có tham số λ = 1/4, và P(X > x) = e^(−λx). Do đó P(2 < X < 12) = e^(−2/4) − e^(−12/4) = e^(−0.5) − e^(−3) = 0.606531 − 0.049787 = 0.556744. Phương án "0.049787" là e^(−3) = P(X > 12), chỉ là xác suất mất hơn 12 phút. Phương án "0.606531" là e^(−0.5) = P(X > 2), chưa trừ phần vượt quá 12 phút. Phương án "0.656318" là tổng 0.606531 + 0.049787, cộng nhầm thay vì trừ. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 0.556744 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.75". Hàm mật độ phải thoả ∫f(x)dx = 1 trên miền xác định. Tính ∫ từ 0 đến 2 của (2x − x²)dx = [x² − x³/3] từ 0 đến 2 = 4 − 8/3 = 4/3. Từ A·4/3 = 1 suy ra A = 3/4 = 0.75; ngoài ra 2x − x² ≥ 0 trên (0, 2) nên f không âm, đúng là hàm mật độ. Giá trị "4" làm tổng xác suất bằng 4·4/3 ≈ 5.33, vượt xa 1. Giá trị "2" cho tổng 2·4/3 ≈ 2.67, cũng không phải hàm mật độ. Giá trị "3.5" làm tổng xác suất bằng 3.5·4/3 ≈ 4.67, vượt 1. Vì 0.75 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Với biến liên tục, hàm mật độ là đạo hàm của hàm phân phối: f(x) = F′(x). Trên x ≤ 0, F(x) = 0 nên f(x) = 0; trên x > 0, F(x) = 1 − e⁻⁵ˣ nên f(x) = 5e⁻⁵ˣ. Đó đúng là biểu thức (i), phân phối mũ với tham số λ = 5; kiểm lại ∫5e⁻⁵ˣdx từ 0 tới vô cùng = 1. "(ii)" có f(x) = 1 trên x ≤ 0, đạo hàm của hằng số 0 phải là 0, và mật độ bằng 1 trên cả nửa trục âm làm tích phân vô hạn. "(iii)" lấy f(x) = 1 − 5e⁻⁵ˣ, không phải đạo hàm của F và còn âm gần 0 (tại x nhỏ nó gần 1 − 5 = −4), vi phạm điều kiện mật độ không âm. "(iv)" vừa có f(x) = 1 trên x ≤ 0 vừa có 1 + 5e⁻⁵ˣ trên x > 0, tích phân toàn trục vô hạn nên không là mật độ. "None of the other choices is correct" sai vì (i) đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Hàm mật độ f(x) = λe^(−λx) với x ≥ 0 là phân phối mũ (exponential). Kỳ vọng E(X) = ∫ từ 0 tới vô cùng của x·λe^(−λx) dx; tích phân từng phần cho E(X) = 1/λ, và đó là biểu thức (i). Ý nghĩa: λ là tốc độ xảy ra sự kiện, tốc độ càng lớn thì thời gian chờ trung bình càng ngắn. Biểu thức (iv) trong "(iv)" là λ², không đúng thứ nguyên, vì X đo thời gian còn λ đo nghịch đảo thời gian; còn 1/λ² chính là phương sai, không phải kỳ vọng. Biểu thức (ii) trong "(ii)" là 2/λ, gấp đôi kỳ vọng, đó là kỳ vọng của tổng hai thời gian chờ mũ độc lập chứ không phải của một X. Biểu thức (iii) trong "(iii)" là λ, nhầm tham số tốc độ với thời gian trung bình. Vì 1/λ có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.2". Biến ngẫu nhiên đều liên tục (continuous uniform) trên [30, 80] có mật độ f(x) = 1/(80 − 30) = 1/50 trên khoảng đó. Do đó P(X < 40) = (40 − 30)/50 = 10/50 = 0.2, tức tỉ lệ độ dài đoạn [30, 40] trên độ dài toàn khoảng. Giá trị "0.8" là P(X > 40) = 40/50, phần bù của biến cố cần tìm. Giá trị "1" chỉ đúng với biến cố X < 80 hoặc rộng hơn, không phải X < 40. Giá trị "0.7" không ứng với mốc 40: nó là xác suất của một đoạn dài 35 đơn vị, chẳng hạn X < 65. Có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "37.3". Cần tìm m sao cho P(X < m) = 0.10. Đề cho P(Z < −1.28) = 0.1, nên m ứng với z = −1.28; từ Z = (X − μ)/σ suy ra m = μ + z·σ = 45 − 1.28·6 = 37.32 ≈ 37.3. Kết quả hợp lý vì 10% khách ở ít thời gian nhất phải nằm dưới trung bình 45 phút, cách trung bình khoảng 1.28 độ lệch chuẩn. "47.3" nằm trên trung bình 45 nên xác suất ở dưới nó phải lớn hơn 0.5, không thể là 0.10. "27.3" cách trung bình 17.7 phút, khoảng 2.95 độ lệch chuẩn, ứng với xác suất đuôi chỉ cỡ 0.0016. "17.3" còn xa hơn, cách trung bình 27.7 phút, khoảng 4.6 độ lệch chuẩn, xác suất gần như bằng 0. "None of the other choices is correct" sai vì 37.3 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.6915". Chuẩn hoá Z = (X − μ)/σ = (48 − 45)/6 = 0.5, nên P(X < 48) = P(Z < 0.5) = 0.6915 theo dữ kiện đã cho. Giá trị P(Z < 0.6) = 0.6854 trong dữ kiện nhỏ hơn P(Z < 0.5), điều không thể với hàm phân phối tăng (bảng chuẩn cho khoảng 0.7257), nhưng không ảnh hưởng vì phép tính chỉ cần z = 0.5. "0.7512" sai vì đó là giá trị ứng với z = 0.7, tức khoảng 49.2 phút chứ không phải 48. "0.8756" sai vì ứng với z = 1.2, tức 52.2 phút, hoặc chia nhầm 3 cho 2.5 thay vì cho 6. "0.6954" sai vì không ứng với giá trị z nào trong dữ kiện, chỉ là một số gần 0.6915. "None of the other choices is correct" sai vì 0.6915 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.335". Số nam châm lỗi X có phân phối nhị thức n = 300, p = 0.08, nên μ = np = 24 và σ = √(np(1 − p)) = √22.08 ≈ 4.699. "Lớn hơn 24 và nhỏ hơn 30" nghĩa là X = 25, 26, 27, 28, 29; với hiệu chỉnh liên tục, P(25 ≤ X ≤ 29) ≈ P(24.5 < X < 29.5) = P(0.11 < Z < 1.17) vì (24.5 − 24)/4.699 ≈ 0.11 và (29.5 − 24)/4.699 ≈ 1.17. Dùng số liệu cho: 0.879 − 0.544 = 0.335. "0.311" là 0.855 − 0.544, dùng cận trên 29 không hiệu chỉnh (Z ≈ 1.06), lẫn lộn cách hiệu chỉnh hai đầu. "0.121" là 1 − 0.879, xác suất X vượt 29.5, không phải khoảng giữa. "0.145" là 1 − 0.855, cũng là phần đuôi phải. Vì 0.335 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "19 and 19". Sắp xếp mẫu tăng dần: 15, 16, 18, 18, 19, 19, 19, 21, 24 (n = 9). Mốt (mode) là giá trị xuất hiện nhiều nhất: 19 xuất hiện ba lần, 18 chỉ hai lần, nên mốt là 19. Trung vị (median) với n lẻ là phần tử ở vị trí (n + 1)/2 = 5 sau khi sắp xếp, cũng là 19. "19 and 18" có mốt đúng nhưng trung vị 18 là giá trị thứ năm khi đọc theo thứ tự ban đầu chưa sắp xếp (18, 19, 16, 21, 18…), một lỗi thường gặp. "18 and 19" nhầm mốt là 18, trong khi 18 lặp ít hơn 19. "18 and 18" sai cả hai số. Đã có cặp đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Trung bình mẫu là 169/9 ≈ 18.78, gần nhưng không trùng hai số đo này.

Đáp án đúng: "34/3". Phương sai mẫu là s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Với 12, 15, 17, 20: x̄ = 64/4 = 16, các độ lệch là −4, −1, 1, 4, tổng bình phương là 16 + 1 + 1 + 16 = 34, nên s² = 34/(4 − 1) = 34/3 ≈ 11.33. Chia cho n − 1 chứ không cho n vì đây là mẫu dùng để ước lượng phương sai tổng thể; chia cho 4 sẽ ra 8.5, cũng không có trong các phương án. Phương án "26/3" ứng với tổng bình phương độ lệch bằng 26, sai so với 34. Phương án "32/3" ứng với tổng 32, thường do bỏ sót hai độ lệch ±1. Phương án "28/3" ứng với tổng 28, cũng không khớp. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 34/3 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "93". Trong biểu đồ thân và lá (stem-and-leaf display), mỗi giá trị bằng thân là chữ số hàng chục ghép với lá là chữ số hàng đơn vị. Biểu đồ có thân 3 với lá 2, 6; thân 4 với lá 0, 3, 4, 7, 8, 9, 9, 9; thân 5 với lá 0 đến 5 trong đó 1 lặp hai lần; thân 6 với lá 1, 2, 5, 6, 6; thân 7 với lá 1, 7; thân 8 không có lá; thân 9 với lá 3. Giá trị lớn nhất nằm ở thân cao nhất có lá, tức 93. Giá trị "32" là điểm nhỏ nhất, ở thân 3 lá 2. Giá trị "49" là mốt (mode) vì lá 9 ở thân 4 xuất hiện ba lần, không phải lớn nhất. Giá trị "66" chỉ là một điểm xuất hiện hai lần ở thân 6. Vì 93 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" không đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Bảng phân phối tần số (frequency distribution) ghi số quan sát của từng giá trị, và trên đồ thị cột đó chính là chiều cao từng cột: tại x = 1 tới 8 lần lượt 1, 1, 8, 5, 7, 2, 3, 1, tổng 28 quan sát, khớp từng ô của bảng (i). "(ii)" có nhãn ≤ 1, ≤ 2, …, ≤ 8 và các số 1, 2, 10, 15, 22, 24, 27, 28; các số này cộng dồn đúng từ đồ thị (1, 1 + 1 = 2, 2 + 8 = 10, …, 27 + 1 = 28) nhưng đó là bảng tần số tích luỹ (cumulative frequency distribution), một bảng khác, chỉ là đáp án khi câu hỏi yêu cầu bảng tích luỹ. "(iii)" dùng nhãn ≤ k nhưng ghi tần số từng giá trị nên tự mâu thuẫn: số quan sát có giá trị ≤ 3 là 10 chứ không phải 8. "None of them." sai vì bảng (i) khớp đúng đồ thị.

Đáp án đúng: "3". Hộp đồ thị (box plot) cho giá trị nhỏ nhất 10 ở đầu râu trái, tứ phân vị thứ nhất Q1 = 15 ở cạnh trái hộp, trung vị 18 ở vạch giữa, Q3 = 20 ở cạnh phải hộp và giá trị lớn nhất 22 ở đầu râu phải. Phát biểu i) đúng vì 25% dữ liệu nằm dưới Q1 = 15, nên khoảng 75% nằm trên 15. Phát biểu ii) đúng vì IQR = Q3 − Q1 = 20 − 15 = 5. Phát biểu iii) đúng vì đầu râu trái không có điểm ngoại lai nào được đánh dấu riêng, nên 10 là giá trị nhỏ nhất thật sự của dữ liệu và phải có mặt trong tập dữ liệu. Ba phát biểu đều đúng. Giá trị "2" bỏ sót một phát biểu đúng, thường là iii), khi nghĩ đầu râu chỉ là giới hạn chứ không phải điểm dữ liệu. Giá trị "1" và "0" càng bỏ sót nhiều hơn, trong khi mỗi phát biểu đều đọc thẳng được từ hình.

Đáp án đúng: "normal with mean 40 and variance 5/16.". Lấy mẫu từ tổng thể chuẩn thì trung bình mẫu X̄ có phân phối chuẩn đúng (không cần định lý giới hạn trung tâm), với E(X̄) = μ = 40 và V(X̄) = σ²/n = 5/16. Lựa chọn "normal with mean 40 and standard deviation 5/16." gán 5/16 cho độ lệch chuẩn, trong khi độ lệch chuẩn đúng là √(5/16) = √5/4 ≈ 0.559. Lựa chọn "normal with mean 40 and variance 5/4" chia phương sai cho √n = 4 thay vì cho n = 16; chính độ lệch chuẩn mới chia cho √n. Lựa chọn "standard normal." đòi trung bình 0 và phương sai 1, chỉ đúng sau khi chuẩn hoá (X̄ − 40)/√(5/16). Có mô tả đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.8767". Trung bình mẫu X̄ của 16 xe lấy từ tổng thể chuẩn nên X̄ chuẩn với kỳ vọng 45 và độ lệch chuẩn σ/√n = 10/4 = 2.5. Chuẩn hoá: z₁ = (39 − 45)/2.5 = −2.4 và z₂ = (48 − 45)/2.5 = 1.2, nên P(39 < X̄ < 48) = P(Z < 1.2) − P(Z < −2.4) = 0.8849 − 0.0082 = 0.8767. "0.3376" nhỏ hơn nhiều so với giá trị đúng và không khớp cách tính nào: ngay cả khi quên chia cho √n (dùng σ = 10, z là −0.6 và 0.3) thì xác suất là 0.6179 − 0.2743 ≈ 0.3436, không phải 0.3376. "0.8151" thấp hơn giá trị đúng, như thể trừ đi một đuôi trái khoảng 0.07 thay vì 0.0082, tức cận 39 bị chuẩn hoá sai. "0.4572" còn nhỏ hơn riêng phần P(−2.4 < Z < 0) = 0.5 − 0.0082 = 0.4918, nên chắc chắn đã bỏ sót cả nửa bên phải. "None of the other choices is correct" sai vì 0.8767 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.6730". Tổng thể chuẩn nên trung bình mẫu x̄ cũng chuẩn với μ = 15 và σ_x̄ = σ/√n = 6/√4 = 3. Chuẩn hoá: z₁ = (12.6 − 15)/3 = −0.8 và z₂ = (18.6 − 15)/3 = 1.2, nên P(12.6 < x̄ < 18.6) = P(Z < 1.2) − P(Z < −0.8) = 0.8849 − 0.2119 = 0.6730. "0.3270" sai vì đó là 1 − 0.6730, xác suất trung bình rơi ra ngoài khoảng. "0.0968" sai vì đó là 0.2119 − 0.1151, tức P(−1.2 < Z < −0.8), lấy nhầm cặp giá trị z cùng nằm bên trái. "0.4032" sai vì không ra từ hiệu đúng cặp Φ(1.2) và Φ(−0.8); nếu quên chia σ cho √n thì z chỉ là −0.4 và 0.6, cũng không cho 0.4032. "None of the other choices is correct" sai vì 0.6730 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "(189.5, 194.5)". Độ lệch chuẩn tổng thể σ = 8 đã biết và tổng thể chuẩn, nên khoảng tin cậy cho μ dùng z: x̄ ± z(α/2)·σ/√n. Với 95%, z₀.₀₂₅ = 1.96; σ/√n = 8/√40 ≈ 1.265; nửa độ rộng 1.96·1.265 ≈ 2.48; khoảng là 192 ± 2.48 = (189.5, 194.5). Không dùng t vì σ đã biết; nếu dùng nhầm t(0.025, 39) = 2.02 thì ra khoảng (189.4, 194.6), cũng không có trong danh sách. "(188.5, 195.6)" có nửa độ rộng khoảng 3.5, lớn hơn 2.48 và không đối xứng chuẩn quanh 192. "(186.5, 197.5)" có nửa độ rộng 5.5, hơn gấp đôi 2.48, nên không khớp sai số chuẩn 8/√40 với hệ số tin cậy 95%. "(187.3, 196.1)" lệch tâm (192 − 187.3 = 4.7 còn 196.1 − 192 = 4.1), nên không thể là x̄ ± E. Vì khoảng đúng có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "2.797". Khi độ lệch chuẩn tổng thể σ chưa biết, chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s = 0.05 và cỡ mẫu nhỏ n = 25, khoảng tin cậy cho μ dùng phân phối t với n − 1 = 24 bậc tự do: x̄ ± t(α/2; n − 1)·s/√n. Độ tin cậy 99% hai phía cho α/2 = 0.005, nên điểm phần trăm (percentage point) là t(0.005, 24) = 2.797. "2.576" là z₀.₀₀₅, chỉ dùng khi σ đã biết (hoặc mẫu đủ lớn để xấp xỉ chuẩn). "2.326" là z₀.₀₁, ứng với khoảng một phía 99% khi σ đã biết. "2.492" là t(0.01, 24), đúng bậc tự do nhưng ứng với khoảng tin cậy một phía 99% hoặc hai phía 98%. Đã có giá trị đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "1101". Cỡ mẫu để ước lượng tỉ lệ với sai số không quá E ở độ tin cậy 1 − α là n = z²(α/2)·p̂(1 − p̂)/E², dùng p̂ = 0.24 từ nghiên cứu trước. Với 98% thì α/2 = 0.01, z₀.₀₁ = 2.33, E = 0.03: n = 2.33²·0.24·0.76/0.03² = 5.4289·0.1824/0.0009 = 1100.26, làm tròn lên 1101 vì cỡ mẫu phải đủ đảm bảo sai số. Phương án "779" là kết quả khi dùng z = 1.96 của độ tin cậy 95% (778.6 làm tròn lên). Phương án "1448" không khớp công thức với số liệu đã cho. Phương án "3" là con số vô lý vì với độ tin cậy 98% và sai số 0.03 cỡ mẫu phải hơn một nghìn; coi nhầm sai số 3% là 3 thì công thức chỉ cho 5.4289·0.1824/9 ≈ 0.11, cũng không ra 3. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 1101 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "a one-tailed test should be utilized.". Câu hỏi chỉ quan tâm thu nhập trung bình có vượt 25,000 đô hay không, nên cặp giả thuyết là H₀: μ ≤ 25,000 và H₁: μ > 25,000. Đối thuyết có hướng (một chiều lớn hơn) thì dùng kiểm định một phía (one-tailed), miền bác bỏ đặt toàn bộ ở đuôi phải. Phương án "a two-tailed test should be utilized." sai vì kiểm định hai phía dành cho đối thuyết μ ≠ 25,000, tức quan tâm sự khác biệt theo cả hai chiều. Phương án "either a one-tailed or two-tailed test could be used with equivalent results." sai vì cùng mức ý nghĩa, hai loại kiểm định có giá trị tới hạn khác nhau (ví dụ 1.645 so với 1.96 khi α = 0.05) nên có thể cho kết luận khác nhau. Vì đã có phát biểu đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.