Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 3

Đáp án đúng: "Z-test (using normal distribution) of a population mean". Giả thuyết H₀: μ = 675 là về trung bình doanh thu ngày, nên cần kiểm định trung bình, không phải tỉ lệ. Độ lệch chuẩn tổng thể σ = 75 được cho từ số liệu 5 năm và coi như đã biết, cỡ mẫu n = 46 lớn, nên dùng Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) với phân phối chuẩn; ở đây Z = (625 − 675)/(75/√46) ≈ −4.52. "t-test (using Student distribution) of population mean" dùng khi σ chưa biết và phải thay bằng s của mẫu; câu hỏi đã cho σ nên không cần t. "Z-test (using normal distribution) of a population proportion" sai vì dữ liệu là số tiền liên tục chứ không phải tỉ lệ thành công hay thất bại. "t-test (using Student distribution) of a population proportion" sai cả hai mặt: kiểm định tỉ lệ dùng Z với xấp xỉ chuẩn, không dùng t, và biến ở đây cũng không phải tỉ lệ.

Đáp án đúng: "3.64". Cỡ mẫu n = 100 lớn nên dùng thống kê kiểm định cho trung bình Z₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (60 − 52)/(22/√100) = 8/2.2 ≈ 3.64. Giá trị dương vì trung bình mẫu 60 lớn hơn giá trị giả thuyết 52; đem so với giá trị tới hạn 1.96 của kiểm định hai phía ở α = 0.05 thì |3.64| > 1.96 nên bác bỏ H₀. Giá trị "−3.64" sai dấu, như khi lấy μ₀ − x̄ thay vì x̄ − μ₀. Giá trị "1.96" là giá trị tới hạn z(0.025), dùng để so sánh với thống kê kiểm định chứ không phải chính thống kê kiểm định. Giá trị "−1.96" là giá trị tới hạn phía trái, cũng không tính từ số liệu mẫu. Vì 3.64 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.018". Thống kê kiểm định tỉ lệ là Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1−p₀)/n) với p̂ = 770/1000 = 0.77: Z₀ = (0.77 − 0.8)/√(0.8·0.2/1000) = −0.03/0.012649 ≈ −2.37. Đối thuyết H₁: p ≠ 0.8 là hai phía nên P-value = 2·P(Z > |Z₀|) = 2·P(Z > 2.37) = 2·0.009 = 0.018; vì 0.018 < 0.05 nên bác H₀. Giá trị "0.009" là xác suất một đuôi, chỉ đúng nếu đối thuyết là một phía. Giá trị "−2.37" là chính thống kê Z₀ chứ không phải P-value, vốn không thể âm. Giá trị "0.991" là P(Z < 2.37), tức phần lớn phân phối, ngược với ý nghĩa đuôi. Giá trị "0" là P(Z < −5.04), ứng với một mốc chuẩn hoá khác, không phải −2.37 của bài.

Đáp án đúng: "(−3.684, −2.116)". Đã biết phương sai hai tổng thể nên dùng khoảng z: (x̄₁ − x̄₂) ± z(α/2)·√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Ở đây x̄₁ − x̄₂ = 89.6 − 92.5 = −2.9, sai số chuẩn √(1.5/15 + 1.2/20) = √(0.1 + 0.06) = 0.4; với độ tin cậy 95% dùng z₀.₀₂₅ = 1.96 nên bán kính 1.96·0.4 = 0.784, khoảng là (−3.684, −2.116). Khoảng nằm hoàn toàn bên âm, cho thấy công thức 2 có chỉ số octane cao hơn. "(−3.556, −2.244)" dùng z₀.₀₅ = 1.64, bán kính 0.656, là khoảng 90% chứ không phải 95%. "(−4.002, −2.778)" có tâm −3.39, lệch khỏi hiệu x̄₁ − x̄₂ = −2.9. "(−2.897, −1.995)" có tâm −2.446, cũng không đối xứng quanh −2.9 nên không thể là khoảng của hiệu này. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "293.5". Khi giả định hai phương sai tổng thể bằng nhau, phương sai gộp (pooled variance) là s_p² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2), tức trung bình có trọng số theo bậc tự do. Thay số: s₁² = 18.75² = 351.5625, s₂² = 14.25² = 203.0625, nên s_p² = (14·351.5625 + 9·203.0625)/23 = (4921.875 + 1827.5625)/23 = 6749.4375/23 ≈ 293.45, làm tròn 293.5. "277.8" sai vì không khớp công thức gộp; ngay cả trung bình cộng không trọng số (351.5625 + 203.0625)/2 ≈ 277.3 cũng không bằng 277.8. "296.2" sai vì không khớp công thức gộp với n₁ + n₂ − 2 = 23 ở mẫu số. "280.6" sai vì cũng không ra từ trọng số 14 và 9, và nhỏ hơn kết quả đúng.

Đáp án đúng: "−0.102". Kiểm định H₀: p₁ = p₂ dùng tỉ lệ gộp p̂ = (x₁ + x₂)/(n₁ + n₂) và Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)). Với hộ có chó: p̂₁ = 13/111 ≈ 0.1171; hộ không có chó: p̂₂ = 23/190 ≈ 0.1211; p̂ = 36/301 ≈ 0.1196. Mẫu số √(0.1196·0.8804·(1/111 + 1/190)) ≈ 0.0388, tử số ≈ −0.0039, nên Z₀ ≈ −0.102; giá trị rất gần 0 cho thấy hai tỉ lệ gần như bằng nhau. "0.000" coi hai tỉ lệ bằng hệt nhau, nhưng 13/111 và 23/190 vẫn lệch nhau một chút. "−0.041" và "−0.173" không ra từ phép thay số đúng: tử số −0.0039 chia cho sai số chuẩn 0.0388 chỉ cho −0.102, và ngay cả khi không gộp tỉ lệ thì kết quả vẫn quanh −0.10. Vì −0.102 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "(i)". Đường hồi quy ước lượng là ŷ = β̂₀ + β̂₁x với β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Từ dữ liệu, x̄ = 152/4 = 38, ȳ = 392/4 = 98; độ lệch của x là −2.5, 5, 2.5, −5 nên Sxx = 6.25 + 25 + 6.25 + 25 = 62.5; độ lệch của y là 12, 15, −23, −4 nên Sxy = −30 + 75 − 57.5 + 20 = 7.5. Do đó β̂₁ = 7.5/62.5 = 0.12 và β̂₀ = 98 − 0.12·38 = 93.44, được ŷ = 93.44 + 0.12x. "(ii)" đảo vai trò hệ số chặn và hệ số góc, đặt 0.12 làm hằng số và 93.44 làm hệ số của x. "(iii)" có hệ số chặn 0.12 và hệ số góc 0.93 không khớp công thức nào; với hệ số chặn nhỏ như vậy đường thẳng đi xa trung bình (38, 98). Đã có đường đúng nên "None of them." không được chọn.

Đáp án đúng: "The y-intercept of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−1". Trong hồi quy tuyến tính đơn, hệ số chặn ước lượng β̂₀ có phân phối chuẩn với kỳ vọng β₀; khi thay σ bằng σ̂ với σ̂² = SSE/(n − 2), đại lượng chuẩn hoá (β̂₀ − β₀)/se(β̂₀) có phân phối t với n − 2 bậc tự do, vì mô hình đã ước lượng hai tham số. Vì vậy phát biểu dùng n − 1 bậc tự do là SAI, đó là bậc tự do của bài toán một trung bình. Phát biểu "is an unbiased estimator for the y-intercept of population regression line" là đúng vì E(β̂₀) = β₀ nên không được chọn. Phát biểu "has Student’s t-distribution with degree of freedom n−2" là đúng theo nghĩa đại lượng chuẩn hoá của hệ số chặn dùng t với n − 2 bậc tự do khi kiểm định và lập khoảng tin cậy, nên cũng không được chọn.

Đáp án đúng: "0.9". Từ bảng điểm của 5 sinh viên, điểm Toán X là 5, 6.5, 8, 4, 8.5 và điểm Vật lý Y là 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Trung bình x̄ = 32/5 = 6.4, nên Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 1.96 + 0.01 + 2.56 + 5.76 + 4.41 = 14.7. Thống kê kiểm định cho H₀: β₁ = 0 là T₀ = (β̂₁ − 0)/√(σ̂²/Sₓₓ) = 0.39/√(1.66²/14.7) = 0.39/(1.66/3.834) = 0.39/0.433 ≈ 0.90. Giá trị "1.5" đòi hỏi sai số chuẩn của β̂₁ chỉ 0.26, tức Sₓₓ khoảng 40.8, gần gấp ba Sₓₓ thật. Giá trị "1.9" và "2.5" còn lớn hơn nữa, ứng với sai số chuẩn 0.205 và 0.156, không đúng với σ̂ = 1.66 và Sₓₓ = 14.7. Với T₀ ≈ 0.9 và 3 bậc tự do, thống kê này nhỏ nên không đủ bằng chứng bác H₀.

Đáp án đúng: "positive linear correlation". Trong đường hồi quy ŷ = b₀ + b₁x, dấu của hệ số góc b₁ luôn cùng dấu với hệ số tương quan r, vì b₁ = r·(s_y/s_x) và độ lệch chuẩn luôn dương. Ở đây b₁ = 0.00014 > 0 nên tương quan tuyến tính dương: x tăng một đơn vị thì ŷ tăng trung bình 0.00014. Độ lớn rất nhỏ của 0.00014 không nói gì về độ mạnh của tương quan, vì hệ số góc phụ thuộc đơn vị đo của x và y; muốn biết mạnh hay yếu phải xem r hoặc r². Hệ số chặn 2.53 chỉ là giá trị dự đoán khi x = 0, không quyết định chiều quan hệ. "negative linear correlation" sai vì tương quan âm đòi hỏi hệ số góc âm, tức ŷ giảm khi x tăng, trong khi phương trình đã cho có hệ số góc dương.