Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 3

Đáp án đúng: "parking times of the 130 students". Mẫu (sample) là tập con của tổng thể thực sự được quan sát và ghi số liệu; ở đây người quản lý chỉ theo dõi 130 sinh viên và ghi thời gian tìm chỗ đỗ của họ, nên mẫu là tập 130 thời gian đỗ xe đó, còn tổng thể là thời gian đỗ xe của toàn bộ sinh viên trường. "parking time of a student" là biến quan tâm (variable), tức đặc trưng đo trên mỗi cá thể, chưa phải tập dữ liệu đã thu. "type of car (import or domestic)" là một biến định tính khác mà nghiên cứu không ghi nhận và không liên quan tới thời gian đỗ trung bình. "location of the parking spot" cũng là một biến khác, không phải đối tượng của câu hỏi về thời gian đỗ xe.

Đáp án đúng: "Observation study". Nhà phân tích chỉ thu thập và so sánh giá cổ phiếu với thu nhập trên mỗi cổ phiếu (earnings per share) đang có trên thị trường, không can thiệp, không gán điều kiện hay thay đổi yếu tố nào của các công ty, nên đây là nghiên cứu quan sát (observational study): ghi nhận quan hệ giữa các biến như chúng vốn có. "Experiment" (thí nghiệm) đòi hỏi người nghiên cứu chủ động điều chỉnh một yếu tố, chẳng hạn ấn định mức thu nhập của công ty, rồi đo phản ứng của giá; điều đó vừa không khả thi vừa không được mô tả ở đây. "Retrospective study" (nghiên cứu hồi cứu) là dạng quan sát dựa trên hồ sơ lịch sử đã ghi chép trong quá khứ, thích hợp khi tình huống nhấn mạnh việc khai thác dữ liệu cũ; tình huống chỉ mô tả việc so sánh hai biến để chọn cổ phiếu, nên cách gọi chung và chính xác là nghiên cứu quan sát.

Đáp án đúng: "A': The temperature of the liquid is lower than or equal to 50°C". Biến cố bù A' gồm mọi kết cục trong không gian mẫu không thuộc A; A là nhiệt độ lớn hơn 50°C, nên phần còn lại là nhiệt độ nhỏ hơn hoặc bằng 50°C, và A cùng A' phủ kín mọi giá trị đo được mà không chồng lên nhau. Phương án "A': The temperature of the liquid is lower than 50°C" bỏ sót đúng giá trị 50°C, kết cục không thuộc A nên phải nằm trong biến cố bù. Phương án "A': The temperature of the liquid is higher than 50°C" chính là biến cố A, không phải phần bù. Phương án "A': The temperature of the liquid is equal to 50°C" chỉ là một phần nhỏ của biến cố bù, thiếu toàn bộ các nhiệt độ dưới 50°C.

Đáp án đúng: "{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}". Mỗi lần tung có 2 kết quả nên ba lần tung có 2³ = 8 kết quả, và không gian mẫu (sample space) phải liệt kê đủ 8 dãy, mỗi dãy đúng một lần. Tập "{HTT, THT, HTH, HHH, TTH, TTT}" chỉ có 6 phần tử, thiếu HHT và THH. Tập "{HHH, TTT, THT, HTH, HHT, TTH, HTH}" có 7 mục nhưng HTH bị viết hai lần, đồng thời thiếu HTT và THH. Tập "{HHH, HTT, HTH, TTT, HTT, THH, HHT, THT}" có 8 mục nhưng HTT lặp lại và thiếu TTH, nên vẫn chỉ có 7 kết quả khác nhau. Vì đã có tập liệt kê đầy đủ nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "All of the others". Mỗi người chọn ngẫu nhiên độc lập một số từ 1 tới 8, nên không gian mẫu gồm 8·8 = 64 cặp có thứ tự đồng khả năng, và xác suất mỗi sự kiện bằng số cặp thuận lợi chia 64. "P (both numbers match) = 8/64" đúng vì có 8 cặp trùng nhau (1,1), (2,2), …, (8,8). "P (you pick 5 and your friend picks 8) = 1/64" đúng vì chỉ có một cặp có thứ tự (5, 8); nếu không quan tâm thứ tự thì mới là 2/64. "P (sum of the two numbers picked is < 4) = 3/64" đúng vì tổng nhỏ hơn 4 chỉ gồm các cặp (1,1), (1,2), (2,1). Ba phát biểu đều đúng, nên chọn riêng bất kỳ một trong số đó là chưa đầy đủ; câu hỏi yêu cầu phát biểu TRUE bao quát nhất, và đó là phương án gộp tất cả. Lưu ý vì số của bạn viết trước, cặp (1,2) và (2,1) là hai kết quả khác nhau.

Đáp án đúng: "31/36". Biến cố đậu ít nhất một môn là hợp M ∪ E, và theo quy tắc cộng P(M ∪ E) = P(M) + P(E) − P(M ∩ E). Quy đồng mẫu 36: 2/3 = 24/36, 4/9 = 16/36, 1/4 = 9/36, nên P(M ∪ E) = 24/36 + 16/36 − 9/36 = 31/36. Phải trừ P(M ∩ E) vì phần đậu cả hai môn đã được đếm hai lần. Giá trị "17/36" không khớp với hợp hai biến cố; nó còn nhỏ hơn P(M) = 24/36, trong khi hợp luôn lớn hơn hoặc bằng từng biến cố. Giá trị "25/36" là 24/36 + 16/36 − 15/36, tức trừ đi một giao lớn hơn số liệu cho. Giá trị "23/36" cũng nhỏ hơn P(M) = 24/36 nên không thể là xác suất của hợp. Vì 31/36 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.92". Câu hỏi đã cho điều kiện "widget do máy mới sản xuất", nên chỉ cần xác suất có điều kiện P(không lỗi | máy mới) = 1 − P(lỗi | máy mới) = 1 − 0.08 = 0.92. Thông tin máy mới làm gấp 3 lần máy cũ và tỉ lệ lỗi 23% của máy cũ chỉ cần khi hỏi xác suất không có điều kiện hoặc khi dùng Bayes để suy ngược máy sản xuất. Giá trị "0.06" là P(máy mới ∩ lỗi) = 0.75·0.08, một xác suất giao chứ không phải xác suất có điều kiện. Giá trị "0.50" không ứng với đại lượng nào: P(máy mới) = 3/4 = 0.75 chứ không phải 0.5. Giá trị "0.94" không khớp: xác suất không lỗi chung của cả hai máy là 0.25·0.77 + 0.75·0.92 ≈ 0.8825, còn riêng máy mới là 0.92. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.792". Chọn 2 tờ khai không hoàn lại từ 55 tờ, trong đó 6 tờ có lỗi và 49 tờ không lỗi. Xác suất không chọn tờ lỗi nào theo phân phối siêu bội: P = C(49, 2)/C(55, 2) = 1176/1485 ≈ 0.792, hoặc tính tuần tự (49/55)·(48/54) ≈ 0.792. Phần bù là khả năng gặp ít nhất một tờ lỗi, chỉ khoảng 0.208, hợp lý vì mỗi lần rút chỉ có chừng 11% tờ lỗi. "0.712" ngầm cho khả năng gặp tờ lỗi tới 28.8%, quá cao so với tỉ lệ 6/55. "0.692" ngầm cho khả năng gặp tờ lỗi 30.8%, còn cao hơn. "0.612" ngầm cho khả năng gặp tờ lỗi 38.8%, gần gấp đôi giá trị đúng. "None of the other choices is correct" sai vì 0.792 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "disjoint but not independent.". Hai biến cố xung khắc (disjoint) khi P(A ∩ B) = 0, tức không thể cùng xảy ra; độc lập (independent) khi P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Ở đây P(A ∩ B) = 0 nên hai biến cố xung khắc, nhưng P(A)·P(B) = 0.4·0.3 = 0.12 ≠ 0 nên chúng không độc lập: biết A xảy ra thì B chắc chắn không xảy ra, nên thông tin về A làm đổi xác suất của B. "complementary." sai vì hai biến cố đối nhau còn cần P(A) + P(B) = 1, ở đây chỉ bằng 0.7. "both disjoint and independent." sai vì xung khắc mà độc lập chỉ xảy ra khi một trong hai biến cố có xác suất 0, trong khi cả 0.4 và 0.3 đều dương. "neither disjoint nor independent." sai vì P(A ∩ B) = 0 đã cho thấy chúng xung khắc.

Đáp án đúng: "0.43". Gọi C là dùng phiếu giảm giá (coupon), D là trả bằng thẻ ghi nợ (debit card). Đề cho P(D | C) = 0.5, P(C) = 0.3, P(D) = 0.35 và hỏi P(C | D). Theo công thức Bayes, P(C | D) = P(D | C)·P(C)/P(D) = 0.5·0.3/0.35 = 0.15/0.35 ≈ 0.43. "0.22" chỉ bằng khoảng một nửa 0.15/0.35 nên không phải P(C | D). "0.73" quá lớn: nó không bằng 0.15/0.35, cũng không bằng phần bù 1 − 0.43 = 0.57 (xác suất không dùng phiếu khi đã trả bằng thẻ) hay tỉ số đảo 0.35/0.15 ≈ 2.33. "0.52" cũng không khớp với 0.15/0.35. Điểm mấu chốt là phải đảo chiều điều kiện: biết P(D | C) nhưng cần P(C | D), nên cần nhân với P(C) và chia cho P(D). Vì 0.43 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "Discrete". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) nhận các giá trị đếm được, thường là số nguyên tách rời nhau, còn biến liên tục (continuous) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực và thường đến từ phép đo như thời gian, chiều dài, khối lượng. X là số bệnh nhân bác sĩ khám trong một ngày, kết quả của một phép đếm nên chỉ nhận 0, 1, 2, 3, …; không thể có 2.5 bệnh nhân, giữa hai giá trị liên tiếp không có giá trị nào khác. Vì vậy X là biến rời rạc, và mô hình hợp lý cho nó là các phân phối rời rạc như Poisson. "Continuous" sai vì X không phải đại lượng đo trên thang liên tục; nếu câu hỏi đổi thành tổng thời gian bác sĩ khám bệnh trong ngày thì mới là biến liên tục.

Đáp án đúng: "{0, 1, 2, ..., 20}". Miền giá trị (range) của một biến ngẫu nhiên là tập mọi giá trị nó có thể nhận. X đếm số đường dây đang được dùng trong hệ có 20 đường, nên có thể không đường nào bận (X = 0), có thể mọi đường đều bận (X = 20), và mọi số nguyên ở giữa đều có thể xảy ra. Phương án "{1, 2, 3, ..., 20}" bỏ sót trường hợp X = 0, lúc không đường nào đang dùng. Phương án "{1, 3, 5, ..., 19}" chỉ gồm số lẻ, không có lý do gì để số đường bận phải lẻ. Phương án "{2, 4, 6, ..., 20}" chỉ gồm số chẵn, cũng vô căn cứ. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì tập đúng đã có sẵn.

Đáp án đúng: "All of them". Thay x = 0, 1, 2, 3, 4 vào f(x) = (2x + 1)/25 được lần lượt 1/25, 3/25, 5/25, 7/25, 9/25, tổng là 25/25 = 1 nên đây là hàm xác suất hợp lệ. Phát biểu thứ nhất P(X = 4) = (2·4 + 1)/25 = 9/25 là đúng. Phát biểu thứ hai P(2 ≤ X < 4) = f(2) + f(3) = 5/25 + 7/25 = 12/25 là đúng, chú ý X < 4 nên không lấy f(4). Phát biểu thứ ba P(X ≤ 1) = f(0) + f(1) = 1/25 + 3/25 = 4/25 cũng đúng. Do cả ba đều đúng, chọn riêng "(i)" là thiếu vì bỏ hai phát biểu đúng còn lại. Chọn riêng "(ii)" cũng thiếu vì phát biểu về P(X = 4) và P(X ≤ 1) đều đúng. Chọn riêng "(iii)" cũng chưa đủ vì phát biểu về P(X = 4) và P(2 ≤ X < 4) đều đúng.

Đáp án đúng: "0.96". Hàm phân phối tích luỹ F(x) = P(X ≤ x) = Σf(t) với t ≤ x. Với X nhận 0, 1, 2, …, F(1) = f(0) + f(1) = (4/5)(1/5)⁰ + (4/5)(1/5)¹ = 0.8 + 0.16 = 0.96. Đây là phân phối hình học bắt đầu từ 0 với p = 4/5, nên còn có thể viết F(x) = 1 − (1/5)^(x+1), cho F(1) = 1 − 1/25 = 0.96, khớp phép cộng. "0.86" thiếu 0.1 so với kết quả, không ứng với tổng nào của các f(t); F(0) = 0.8 và F(1) = 0.96. "0.76" nhỏ hơn cả F(0) = 0.8, trong khi F là hàm không giảm nên F(1) ≥ F(0). "0.66" cũng nhỏ hơn F(0), sai cùng lý do. "None of the other choices is correct" sai vì 0.96 có mặt. Lưu ý không nhầm F(1) với f(1) = 0.16, là xác suất tại đúng điểm 1.

Đáp án đúng: "9.3". Kỳ vọng của biến rời rạc E(X) = Σx·f(x). Nhân từng cặp: 3·0.14 = 0.42, 6·0.11 = 0.66, 9·0.36 = 3.24, 12·0.29 = 3.48, 15·0.10 = 1.50; cộng lại 0.42 + 0.66 + 3.24 + 3.48 + 1.50 = 9.3. Các xác suất cộng đúng bằng 1 nên đây là phân phối hợp lệ. Giá trị "9" là trung bình cộng không trọng số của năm giá trị 3, 6, 9, 12, 15, bỏ qua việc 12 và 15 có xác suất khá lớn kéo kỳ vọng lên. Giá trị "6.63" không thể xảy ra: 75% xác suất nằm ở các giá trị từ 9 trở lên, nên kỳ vọng ít nhất là 0.25·3 + 0.75·9 = 7.5. Giá trị "8.22" thiếu 1.08 so với tổng đúng, mà không tích x·f(x) nào bằng 1.08, nên đó không phải do bỏ sót một số hạng và con số không khớp phép tính. Vì 9.3 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "52.5 and 32.27". Phân phối đều rời rạc (discrete uniform) trên các số nguyên từ a = 0 tới b = 15 có E(X) = (a + b)/2 = 7.5 và V(X) = [(b − a + 1)² − 1]/12 = (16² − 1)/12 = 21.25, nên σ_X ≈ 4.61. Với Y = 7X thì E(Y) = 7·7.5 = 52.5, V(Y) = 7²·21.25 = 1041.25 và σ_Y = 7·4.61 ≈ 32.27. Cặp "7.5 and 6.34" là trung bình của X chứ chưa nhân 7, còn 6.34 cũng không phải độ lệch chuẩn của X. Cặp "7.5 and 3.99" cũng dừng ở trung bình của X và độ lệch chuẩn 3.99 nhỏ hơn 4.61 thật. Cặp "52.5 and 195.51" đúng trung bình nhưng 195.51 không phải độ lệch chuẩn (32.27) cũng không phải phương sai (1041.25) của Y; lưu ý độ lệch chuẩn nhân với |7| còn phương sai nhân với 49.

Đáp án đúng: "0.0547". X ~ B(10, 0.5) có hàm khối P(X = x) = C(10, x)·0.5^x·0.5^(10−x) = C(10, x)/1024. Biến cố X ≤ 2 gồm ba giá trị 0, 1, 2 nên P(X ≤ 2) = (C(10,0) + C(10,1) + C(10,2))/1024 = (1 + 10 + 45)/1024 = 56/1024 ≈ 0.0547. Xác suất nhỏ là hợp lý vì với p = 0.5 kết quả tập trung quanh trung bình np = 5. "0.0107" bằng (1 + 10)/1024, tức P(X ≤ 1), bỏ sót X = 2. "0.2461" bằng 252/1024, là P(X = 5), xác suất tại đỉnh phân phối chứ không phải xác suất tích luỹ tới 2. "None of the other choices is correct" sai vì 0.0547 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "Approximately 0". Số máy hỏng trong một ngày có phân phối nhị thức với n = 8, p = 0.006, và các máy hỏng độc lập, nên xác suất cả tám máy cùng hỏng là C(8,8)·0.006⁸ = 0.006⁸ ≈ 1.68×10⁻¹⁸, thực tế bằng 0. "Approximately 1" sai vì đó là cỡ của biến cố gần như chắc chắn, trong khi mỗi máy chỉ hỏng với xác suất 0.006. "0.958" sai vì con số cỡ 0.95 là cỡ của xác suất không máy nào hỏng, 0.994⁸ ≈ 0.953, một biến cố khác hẳn. "0.042" sai vì cỡ 0.04 ứng với xác suất có ít nhất một máy hỏng, 1 − 0.994⁸ ≈ 0.047, chứ không phải xác suất cả tám máy cùng hỏng.

Đáp án đúng: "0.001". Lấy 3 thẻ không hoàn lại từ lô 40 thẻ có 5 thẻ lỗi, số thẻ lỗi X trong mẫu có phân phối siêu bội (hypergeometric): P(X = x) = C(5, x)·C(35, 3 − x)/C(40, 3). Với x = 3: C(5, 3) = 10, C(35, 0) = 1, C(40, 3) = 9880, nên P(X = 3) = 10/9880 ≈ 0.001; kiểm bằng nhân liên tiếp: (5/40)(4/39)(3/38) ≈ 0.00101. "0.999" là phần bù 1 − 0.001, xác suất KHÔNG phải cả ba đều lỗi. "0.122" và "0.978" không thể là xác suất cả ba thẻ lỗi: riêng hai lần rút đầu đều trúng thẻ lỗi đã chỉ có xác suất (5/40)(4/39) ≈ 0.0128, nên biến cố cả ba thẻ lỗi phải còn nhỏ hơn mức đó. Vì 0.001 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "If we sampled all days, the arithmetic average or expected number of tickets written would be 6.5 tickets per day.". Với phân phối Poisson, tham số λ = 6.5 chính là kỳ vọng E(X): nếu quan sát rất nhiều ngày, trung bình cộng số vé phạt mỗi ngày tiến tới 6.5. Kỳ vọng là trung bình dài hạn nên không cần trùng một giá trị nguyên X có thể nhận. "The number of tickets that is written most often is 6.5 tickets per day." sai vì đó là mốt (mode), và mốt phải là số nguyên; với Poisson λ = 6.5 mốt là 6. "Half of the days have less than 6.5 tickets written" mô tả trung vị (median), không phải trung bình; phân phối Poisson lệch phải nên trung vị (bằng 6 ở đây) không trùng kỳ vọng. "The mean has no interpretation since 0.5 tickets can never be written." sai vì trung bình của biến rời rạc vẫn có nghĩa dù không phải giá trị quan sát được, giống như trung bình 2.3 con mỗi gia đình. Mức 5 vé mỗi ngày trong tình huống chỉ là chỉ tiêu ngân sách, không phải tham số của phân phối.