Mathematics and Physics grades of 5 students are as below We want to do linear regression analysis on X and Y. Given the standard error of the regression σ̂ = 1.66, the estimated slope β̂₁ = 0.39. Calculate the test statistic for the hypotheses H₀: β₁ = 0 H₁: β₁ > 0 Given T₀ = (β̂₁ − β(1,0))/√(σ̂²/Sₓₓ)

Đáp án đúng: "0.9". Từ bảng điểm của 5 sinh viên, điểm Toán X là 5, 6.5, 8, 4, 8.5 và điểm Vật lý Y là 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Trung bình x̄ = 32/5 = 6.4, nên Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 1.96 + 0.01 + 2.56 + 5.76 + 4.41 = 14.7. Thống kê kiểm định cho H₀: β₁ = 0 là T₀ = (β̂₁ − 0)/√(σ̂²/Sₓₓ) = 0.39/√(1.66²/14.7) = 0.39/(1.66/3.834) = 0.39/0.433 ≈ 0.90. Giá trị "1.5" đòi hỏi sai số chuẩn của β̂₁ chỉ 0.26, tức Sₓₓ khoảng 40.8, gần gấp ba Sₓₓ thật. Giá trị "1.9" và "2.5" còn lớn hơn nữa, ứng với sai số chuẩn 0.205 và 0.156, không đúng với σ̂ = 1.66 và Sₓₓ = 14.7. Với T₀ ≈ 0.9 và 3 bậc tự do, thống kê này nhỏ nên không đủ bằng chứng bác H₀.