Câu hỏi: MAS291 - Chương 2: Xác suất

Đáp án đúng: "31/36". Biến cố đậu ít nhất một môn là hợp M ∪ E, và theo quy tắc cộng P(M ∪ E) = P(M) + P(E) − P(M ∩ E). Quy đồng mẫu 36: 2/3 = 24/36, 4/9 = 16/36, 1/4 = 9/36, nên P(M ∪ E) = 24/36 + 16/36 − 9/36 = 31/36. Phải trừ P(M ∩ E) vì phần đậu cả hai môn đã được đếm hai lần. Giá trị "17/36" không khớp với hợp hai biến cố; nó còn nhỏ hơn P(M) = 24/36, trong khi hợp luôn lớn hơn hoặc bằng từng biến cố. Giá trị "25/36" là 24/36 + 16/36 − 15/36, tức trừ đi một giao lớn hơn số liệu cho. Giá trị "23/36" cũng nhỏ hơn P(M) = 24/36 nên không thể là xác suất của hợp. Vì 31/36 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.92". Câu hỏi đã cho điều kiện "widget do máy mới sản xuất", nên chỉ cần xác suất có điều kiện P(không lỗi | máy mới) = 1 − P(lỗi | máy mới) = 1 − 0.08 = 0.92. Thông tin máy mới làm gấp 3 lần máy cũ và tỉ lệ lỗi 23% của máy cũ chỉ cần khi hỏi xác suất không có điều kiện hoặc khi dùng Bayes để suy ngược máy sản xuất. Giá trị "0.06" là P(máy mới ∩ lỗi) = 0.75·0.08, một xác suất giao chứ không phải xác suất có điều kiện. Giá trị "0.50" không ứng với đại lượng nào: P(máy mới) = 3/4 = 0.75 chứ không phải 0.5. Giá trị "0.94" không khớp: xác suất không lỗi chung của cả hai máy là 0.25·0.77 + 0.75·0.92 ≈ 0.8825, còn riêng máy mới là 0.92. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "0.792". Chọn 2 tờ khai không hoàn lại từ 55 tờ, trong đó 6 tờ có lỗi và 49 tờ không lỗi. Xác suất không chọn tờ lỗi nào theo phân phối siêu bội: P = C(49, 2)/C(55, 2) = 1176/1485 ≈ 0.792, hoặc tính tuần tự (49/55)·(48/54) ≈ 0.792. Phần bù là khả năng gặp ít nhất một tờ lỗi, chỉ khoảng 0.208, hợp lý vì mỗi lần rút chỉ có chừng 11% tờ lỗi. "0.712" ngầm cho khả năng gặp tờ lỗi tới 28.8%, quá cao so với tỉ lệ 6/55. "0.692" ngầm cho khả năng gặp tờ lỗi 30.8%, còn cao hơn. "0.612" ngầm cho khả năng gặp tờ lỗi 38.8%, gần gấp đôi giá trị đúng. "None of the other choices is correct" sai vì 0.792 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "disjoint but not independent.". Hai biến cố xung khắc (disjoint) khi P(A ∩ B) = 0, tức không thể cùng xảy ra; độc lập (independent) khi P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Ở đây P(A ∩ B) = 0 nên hai biến cố xung khắc, nhưng P(A)·P(B) = 0.4·0.3 = 0.12 ≠ 0 nên chúng không độc lập: biết A xảy ra thì B chắc chắn không xảy ra, nên thông tin về A làm đổi xác suất của B. "complementary." sai vì hai biến cố đối nhau còn cần P(A) + P(B) = 1, ở đây chỉ bằng 0.7. "both disjoint and independent." sai vì xung khắc mà độc lập chỉ xảy ra khi một trong hai biến cố có xác suất 0, trong khi cả 0.4 và 0.3 đều dương. "neither disjoint nor independent." sai vì P(A ∩ B) = 0 đã cho thấy chúng xung khắc.

Đáp án đúng: "0.43". Gọi C là dùng phiếu giảm giá (coupon), D là trả bằng thẻ ghi nợ (debit card). Đề cho P(D | C) = 0.5, P(C) = 0.3, P(D) = 0.35 và hỏi P(C | D). Theo công thức Bayes, P(C | D) = P(D | C)·P(C)/P(D) = 0.5·0.3/0.35 = 0.15/0.35 ≈ 0.43. "0.22" chỉ bằng khoảng một nửa 0.15/0.35 nên không phải P(C | D). "0.73" quá lớn: nó không bằng 0.15/0.35, cũng không bằng phần bù 1 − 0.43 = 0.57 (xác suất không dùng phiếu khi đã trả bằng thẻ) hay tỉ số đảo 0.35/0.15 ≈ 2.33. "0.52" cũng không khớp với 0.15/0.35. Điểm mấu chốt là phải đảo chiều điều kiện: biết P(D | C) nhưng cần P(C | D), nên cần nhân với P(C) và chia cho P(D). Vì 0.43 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "Discrete". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) nhận các giá trị đếm được, thường là số nguyên tách rời nhau, còn biến liên tục (continuous) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực và thường đến từ phép đo như thời gian, chiều dài, khối lượng. X là số bệnh nhân bác sĩ khám trong một ngày, kết quả của một phép đếm nên chỉ nhận 0, 1, 2, 3, …; không thể có 2.5 bệnh nhân, giữa hai giá trị liên tiếp không có giá trị nào khác. Vì vậy X là biến rời rạc, và mô hình hợp lý cho nó là các phân phối rời rạc như Poisson. "Continuous" sai vì X không phải đại lượng đo trên thang liên tục; nếu câu hỏi đổi thành tổng thời gian bác sĩ khám bệnh trong ngày thì mới là biến liên tục.

Đáp án đúng: "WW, BW". Mỗi con chuột con nhận một gene từ bố và một gene từ mẹ; ghi kết quả theo thứ tự (gene từ bố, gene từ mẹ). Bố mang một gene trắng và một gene đen nên truyền W hoặc B, mẹ chỉ có gene trắng nên luôn truyền W, vì vậy chỉ có hai kết quả: WW (hai gene trắng) và BW (một gene đen từ bố, một gene trắng từ mẹ, và vì không gene nào trội nên đây là một kiểu riêng). "WW, BB" sai vì BB cần mẹ truyền gene đen, mà mẹ không có gene đen. "WB, BW" bỏ sót kết quả hai gene trắng, đồng thời WB theo thứ tự đã quy ước nghĩa là mẹ truyền gene đen, điều không xảy ra. "WW, WW" lặp lại một kết quả và bỏ sót trường hợp bố truyền gene đen. "None of the other choices is correct" sai vì danh sách đúng có mặt.

Đáp án đúng: "A = {T, HT, HHT, HHHT}". Thí nghiệm tung đồng xu cho tới lần đầu ra mặt sấp T, nên mỗi kết quả là một chuỗi gồm k lần ngửa H rồi kết thúc bằng một T, với k = 0, 1, 2, … Biến cố "tối đa 3 lần ngửa" ứng với k = 0, 1, 2, 3, nên gồm bốn kết quả T, HT, HHT, HHHT. "A = {HHHT}" sai vì chỉ là biến cố "đúng 3 lần ngửa", thiếu các trường hợp 0, 1, 2 lần ngửa. "A = {THHH}" sai vì thí nghiệm dừng ngay khi ra T đầu tiên, nên không có chuỗi nào có H đứng sau T. "A = {H, TH, TTH, TTTH}" sai vì đảo vai hai mặt: đó là biến cố tối đa 3 lần sấp khi tung tới lần đầu ra ngửa, không phải thí nghiệm đang xét.

Đáp án đúng: "0.85". A = {b, d, e} và B = {a, b, d}, nên hợp A U B = {a, b, d, e}, tức mọi kết quả trừ c. Cộng xác suất các kết quả rời nhau: 0.25 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.85, cũng bằng 1 − P(c) = 1 − 0.15. Kiểm bằng quy tắc cộng: P(A) = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6, P(B) = 0.25 + 0.3 + 0.2 = 0.75, giao gồm {b, d} có xác suất 0.5, nên P(A U B) = 0.6 + 0.75 − 0.5 = 0.85. "0.6" chỉ là P(A), bỏ phần chỉ thuộc B là kết quả a. "0.75" chỉ là P(B), bỏ phần chỉ thuộc A là kết quả e. "1.35" là P(A) + P(B) mà quên trừ phần giao, đếm b và d hai lần; một xác suất không thể vượt 1.

Đáp án đúng: "10%". Câu hỏi là xác suất có điều kiện P(bị kết án | vô tội). Bồi thẩm ra quyết định đúng 90% số lần bất kể bị cáo có tội hay không, nên với người vô tội, quyết định đúng là tha bổng với xác suất 0.9, và bị kết án oan với xác suất 1 − 0.9 = 0.1, tức 10%. Tỉ lệ 80% bị cáo có tội không ảnh hưởng tới xác suất có điều kiện này vì điều kiện đã cố định là vô tội. Phương án "20%" là tỉ lệ người vô tội P(vô tội) = 1 − 0.8, không phải xác suất bị kết án khi vô tội. Phương án "15%" không ứng với đại lượng nào trong bài. Phương án "25%" cũng không khớp; ngay cả xác suất ngược P(vô tội | bị kết án) = 0.02/0.74 cũng chỉ khoảng 2.7%.

Đáp án đúng: "49/80". Chọn túi ngẫu nhiên nên mỗi túi có xác suất 1/2, rồi dùng công thức xác suất toàn phần: P(trắng) = (1/2)·(3/5) + (1/2)·(5/8) = 3/10 + 5/16 = 24/80 + 25/80 = 49/80. Giá trị "8/13" là (3 + 5)/(5 + 8), gộp hai túi làm một rồi rút, sai vì túi được chọn trước với xác suất ngang nhau nên mỗi viên bi trong túi ít bi có cơ hội được rút lớn hơn. Giá trị "3/8" là xác suất rút bi đen từ túi thứ hai, không phải bi trắng theo xác suất toàn phần. Giá trị "1/2" chỉ là xác suất chọn mỗi túi, chưa nhân với tỷ lệ bi trắng trong túi.

Đáp án đúng: "0.9995". Hình vẽ cho mạch có hai nhánh mắc song song giữa đầu trái và đầu phải: nhánh trên có một thiết bị hoạt động với xác suất 0.99, nhánh dưới có một thiết bị với xác suất 0.95. Mạch song song chỉ hỏng khi mọi nhánh cùng hỏng, nên với các thiết bị độc lập: P(mạch chạy) = 1 − (1 − 0.99)(1 − 0.95) = 1 − 0.01·0.05 = 1 − 0.0005 = 0.9995. Mắc song song làm độ tin cậy cao hơn từng thiết bị riêng. "0.9405" là 0.99·0.95, công thức của mạch nối tiếp, chỉ đúng khi cả hai thiết bị phải cùng chạy trên một đường duy nhất. "0.99" chỉ là xác suất của riêng thiết bị nhánh trên, bỏ qua đường dự phòng phía dưới. "0.95" chỉ là xác suất của thiết bị nhánh dưới. Kết quả song song luôn phải lớn hơn xác suất của thiết bị tốt nhất (0.99), và chỉ 0.9995 thoả điều đó.

Đáp án đúng: "0.375". Dùng xác suất toàn phần rồi Bayes. Xác suất đi muộn P(L) = 0.5·0.03 + 0.2·0.10 + 0.3·0.07 = 0.015 + 0.020 + 0.021 = 0.056. Khi đó P(xe buýt | muộn) = P(xe buýt)·P(L | xe buýt)/P(L) = 0.021/0.056 = 0.375. Giá trị "0.625" là phần bù 1 − 0.375, tức xác suất đi muộn mà không đi xe buýt. Giá trị "0.191" còn nhỏ hơn xác suất tiên nghiệm 0.3 của xe buýt, trong khi tỉ lệ muộn khi đi xe buýt (7%) cao hơn mức chung 5.6%, nên biết đã đi muộn phải làm xác suất xe buýt tăng chứ không giảm. Giá trị "0.296" không trùng với xác suất hậu nghiệm của nhánh nào: đi bộ là 0.020/0.056 ≈ 0.357, lái xe là 0.015/0.056 ≈ 0.268, xe buýt là 0.375.

Đáp án đúng: "a real number". Biến ngẫu nhiên (random variable) là một hàm X: S → ℝ, gán cho mỗi kết quả trong không gian mẫu một số thực; ví dụ tung hai đồng xu, X là số mặt ngửa thì kết quả (ngửa, sấp) được gán số 1. Nhờ giá trị là số nên mới tính được kỳ vọng, phương sai. Lựa chọn "a letter" sai vì nhãn chữ chỉ là tên gọi kết quả, không cho phép làm phép tính. Lựa chọn "an event" sai vì biến cố là tập con của không gian mẫu; ngược lại, mỗi giá trị của X xác định một biến cố {X = x} chứ X không gán biến cố. Lựa chọn "a probability" nhầm biến ngẫu nhiên với độ đo xác suất: chính hàm xác suất P mới gán số trong [0, 1] cho biến cố, còn X có thể nhận bất kỳ số thực nào, kể cả âm hay lớn hơn 1.

Đáp án đúng: "Temperature fluctuations in a day.". Biến ngẫu nhiên rời rạc nhận một tập giá trị đếm được, thường là kết quả của phép đếm; biến liên tục nhận mọi giá trị trong một khoảng, thường là kết quả của phép đo. Nhiệt độ trong ngày là đại lượng đo, thay đổi liên tục và có thể là 25.3 hay 25.31 độ, nên không biểu diễn được bằng biến rời rạc. Câu hỏi dùng chữ "CANNOT" nên đáp án là đại lượng duy nhất không rời rạc. "The number of customers arriving at a store in an hour." là phép đếm 0, 1, 2, … nên rời rạc (thường mô hình bằng Poisson). "Count of defective items in a production batch." đếm số sản phẩm lỗi, nhận giá trị nguyên từ 0 tới cỡ lô, rời rạc. "The number of emails received before 11:00 PM." cũng là số đếm nguyên không âm nên rời rạc.

Đáp án đúng: "{6,12}". Tổng hai lần tung nhận các giá trị từ 2 đến 12. Biến cố E là tổng chia hết cho 3, gồm 3, 6, 9, 12; biến cố F là tổng chẵn, gồm 2, 4, 6, 8, 10, 12. Giao E ∩ F gồm các tổng vừa chia hết cho 3 vừa chẵn, tức chia hết cho 6, nên là 6 và 12. Tập "{3,6,9,12}" chính là E, chưa đòi điều kiện chẵn. Tập "{2,4,6,8,10,12}" chính là F, chưa đòi điều kiện chia hết cho 3. Tập "{2,3,4,6,8,9,10,12}" là hợp E ∪ F, gồm các tổng thoả ít nhất một điều kiện, không phải giao.

Đáp án đúng: "52". Không gian mẫu (sample space) là tập mọi kết quả có thể của phép thử. Rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá thì mỗi lá là một kết quả, nên không gian mẫu có 4·13 = 52 phần tử, mỗi phần tử xác suất 1/52. Cách chia thành 4 chất chỉ là cách nhóm các phần tử, không làm thay đổi số kết quả. "13" là số lá trong một chất, tức kích thước của một sự kiện như rút được lá cơ, không phải toàn bộ không gian mẫu. "26" là số lá đỏ (cơ và rô) hoặc số lá đen, cũng chỉ là một sự kiện con. "39" là số lá không thuộc một chất nào đó, chẳng hạn không phải lá bích, lại là phần bù của một sự kiện. "65" vượt quá số lá có trong bộ bài, nên không thể là số kết quả của việc rút một lá. Phân biệt rõ: sự kiện là tập con của không gian mẫu, còn câu hỏi cần số phần tử của toàn bộ không gian.

Đáp án đúng: "¼". Mỗi loại có 6 cuốn, trong đó 3 cuốn cuối là bìa mềm. Việc chọn một cuốn trinh thám và một cuốn khoa học viễn tưởng là hai lần chọn độc lập, nên P(A) = P(trinh thám bìa mềm)·P(viễn tưởng bìa mềm) = 3/6·3/6 = 1/4. Đếm trực tiếp cũng vậy: không gian mẫu có 6·6 = 36 cặp như nhau, trong đó 3·3 = 9 cặp toàn bìa mềm, 9/36 = 1/4. Giá trị "½" chỉ là xác suất một cuốn là bìa mềm, chưa nhân cho cuốn thứ hai. Giá trị "1/6" là xác suất chọn đúng một cuốn cụ thể trong một loại. Giá trị "1/3" ứng với 12 trên 36 cặp, nhiều hơn 9 cặp thật sự toàn bìa mềm. Vì 1/4 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.1". Theo luật De Morgan, A′ ∩ B′ ∩ C′ = (A ∪ B ∪ C)′, tức không biến cố nào xảy ra. Ba biến cố xung khắc từng đôi (mutually exclusive) nên P(A ∪ B ∪ C) = 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9, không cần trừ phần giao vì mọi giao đều rỗng. Vậy P(A′ ∩ B′ ∩ C′) = 1 − 0.9 = 0.1. Giá trị "0.9" là P(A ∪ B ∪ C), tức xác suất có ít nhất một biến cố xảy ra, ngược với điều cần tìm. Giá trị "0.4" chỉ là P(C), không liên quan tới phần bù chung. Giá trị "0.2" chỉ là P(A), cũng là xác suất của riêng một biến cố. Nếu nhầm là ba biến cố độc lập và nhân 0.8·0.7·0.6 sẽ ra 0.336, nhưng giả thiết xung khắc thì không cho phép làm vậy.

Đáp án đúng: "0.22". Gọi T là biến cố có 2 xe và H là biến cố thu nhập trên $25,000. Dữ kiện cho P(T | H) = 0.8, P(H) = 0.6 và P(T) = 0.7. Theo quy tắc nhân, P(T ∩ H) = P(T | H)·P(H) = 0.8·0.6 = 0.48. Biến cố cần tìm là có 2 xe và thu nhập không quá $25,000, tức T giao phần bù của H, nên xác suất bằng P(T) − P(T ∩ H) = 0.7 − 0.48 = 0.22. "0.48" là P(T ∩ H), nhóm có 2 xe nhưng thu nhập trên $25,000, ngược điều kiện thu nhập. "0.12" bằng 0.6·(1 − 0.8), nhóm thu nhập cao nhưng không có 2 xe. "0.18" bằng 0.4 − 0.22, nhóm thu nhập thấp và không có 2 xe. "None of the other choices is correct" sai vì 0.22 có trong danh sách.