Câu hỏi: MAS291 - Chương 2: Xác suất

Đáp án đúng: "9". Theo quy tắc nhân (multiplication rule), Fred có 3 cách lấy kẹo (lemon drop, cherry drop, lollipop) và Ed cũng có 3 cách, độc lập với Fred vì mỗi người có túi riêng; cặp kẹo được ăn là cặp có thứ tự (kẹo của Fred, kẹo của Ed), nên số cặp là 3·3 = 9, gồm cả các cặp hai người ăn cùng loại. "27" là 3³, chỉ đúng khi có ba lượt chọn độc lập, trong khi ở đây chỉ có hai người mỗi người lấy một viên. "12" không ra từ phép đếm đúng nào: quy tắc nhân cho hai lượt 3 khả năng chỉ có thể là 9. "6" là 3·2, ứng với tình huống hai người lấy hai viên khác nhau từ chung một túi, nhưng ở đây mỗi người có túi riêng nên Ed vẫn còn đủ 3 khả năng. Vì 9 đã có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "{1, 2, 3, 4, 5, 6}". Không gian mẫu (sample space) là tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử, liệt kê đủ và không thừa. Con xúc xắc chuẩn hình lập phương có sáu mặt mang từ 1 đến 6 chấm, mỗi lần gieo có đúng một mặt ngửa lên, nên S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} gồm sáu phần tử đồng khả năng. "{0, 1, 2, 3, 4, 5}" sai vì không có mặt nào mang số 0 và lại thiếu mặt 6 chấm. "{1, 2, 3, 4}" chỉ có bốn kết quả, giống xúc xắc tứ diện chứ không phải hình lập phương, bỏ sót hai mặt 5 và 6. "{1, 2, 3, 4, 6}" bỏ sót mặt 5 chấm nên không đầy đủ. "{1, 2, 3, 4, 5}" thiếu mặt 6 chấm. Một tập thiếu kết quả sẽ làm tổng xác suất các biến cố sơ cấp nhỏ hơn 1, nên chỉ tập sáu phần tử từ 1 đến 6 là không gian mẫu đúng.

Đáp án đúng: "1/4". Hộp có tất cả 7 + 5 + 4 = 16 quả bóng, rút ngẫu nhiên một quả nên mỗi quả có cùng khả năng được rút; theo định nghĩa xác suất cổ điển, P(bóng đen) = số kết cục thuận lợi / số kết cục có thể = 4/16 = 1/4. Phương án "1/3" sai vì nó coi ba màu là ba kết cục đồng khả năng, bỏ qua việc số bóng của mỗi màu khác nhau. Phương án "5/16" là xác suất rút được bóng trắng (5 quả trên 16), không phải bóng đen. Phương án "7/16" là xác suất rút được bóng đỏ (7 quả trên 16). Phương án "None of the other choices is correct" sai vì giá trị đúng 1/4 đã có sẵn trong các phương án.

Đáp án đúng: "0.63". Gọi M là biến cố sinh viên là nam, J là biến cố có việc làm ngoài trường; câu hỏi cần P(M ∪ J), dùng quy tắc cộng (addition rule) cho hai biến cố không xung khắc: P(M ∪ J) = P(M) + P(J) − P(M ∩ J) = 0.45 + 0.33 − 0.15 = 0.63. Phải trừ 0.15 vì những sinh viên vừa là nam vừa có việc làm đã bị đếm hai lần. Giá trị "0.93" là 0.45 + 0.33 + 0.15, cộng thêm phần giao thay vì trừ đi. Giá trị "0.37" là 1 − 0.63, tức xác suất sinh viên không phải nam và cũng không có việc làm ngoài trường, là phần bù chứ không phải hợp. Giá trị "0.47" không ứng với công thức nào đúng: nó lệch khỏi kết quả 0.45 + 0.33 − 0.15 = 0.63, và cũng không phải xác suất đúng một trong hai biến cố, vốn là 0.63 − 0.15 = 0.48. Vì đã tính ra đúng một con số có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "59.5%". Đây là xác suất có điều kiện P(B|A) = P(A∩B)/P(A), với A là sự kiện đậu bài thứ nhất và B là sự kiện đậu bài thứ hai: P(A∩B) = 0.25, P(A) = 0.42 nên P(B|A) = 0.25/0.42 = 0.5952, tức khoảng 59.5%. Điều kiện "given that he passed the first test" thu hẹp không gian mẫu về nhóm 42% đã đậu bài một, nên phải chia cho 0.42 chứ không chia cho cả lớp. "40.3%" nhỏ hơn hẳn kết quả và không suy ra được từ 0.25 với 0.42 theo công thức có điều kiện. "50.2%" gần như chỉ đoán một nửa, không dựa vào số liệu đã cho. "55.4%" lệch kết quả 0.5952 khoảng bốn điểm phần trăm, quá xa để là sai số làm tròn và không khớp phép chia 0.25/0.42. "None of the other choices is correct" sai vì giá trị 59.5% có mặt và trùng đúng phép tính. Lưu ý 0.42 − 0.25 = 0.17 lại là tỉ lệ đậu bài một nhưng trượt bài hai, không phải thứ câu hỏi cần.

Đáp án đúng: "0.0557". Đây là bài xác suất toàn phần (law of total probability): gọi M là biến cố chọn được nam, F là chọn được nữ, S là người đó hút xì gà; khi đó P(S) = P(M)·P(S|M) + P(F)·P(S|F) = 0.51·0.09 + 0.49·0.02 = 0.0459 + 0.0098 = 0.0557. Giá trị "0.00298" còn nhỏ hơn cả nhánh nữ P(F∩S) = 0.0098, trong khi P(S) là tổng của hai nhánh dương nên không thể nhỏ hơn từng nhánh. Giá trị "0.00367" nhỏ hơn nhánh nam P(M∩S) = 0.0459 hơn mười lần, nghĩa là đã bỏ mất phần lớn số người hút xì gà là nam. Giá trị "0.00287" chỉ bằng khoảng một phần hai mươi kết quả đúng và không khớp cách tính sai thường gặp nào: đổi nhầm phần trăm thành phần nghìn cho 0.51·0.009 + 0.49·0.002 = 0.00557, còn nhân hai tỉ lệ hút xì gà 0.09·0.02 chỉ ra 0.0018. Vì 0.0557 có mặt trong các lựa chọn nên "None of the other choices is correct." không đúng.

Đáp án đúng: "P(A) = P(B) = 1/2". Hai biến cố độc lập (independent) thì P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.25, còn công thức cộng cho P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) nên P(A) + P(B) = 0.75 + 0.25 = 1. Hai số có tổng 1 và tích 0.25 là nghiệm kép của t² − t + 0.25 = 0, tức t = 1/2, nên P(A) = P(B) = 0.5. Cặp "P(A) = 1/3, P(B) = 3/4" có tích đúng 0.25 nhưng tổng 13/12, cho P(A∪B) = 13/12 − 1/4 = 5/6 ≈ 0.833 chứ không phải 0.75. Cặp "P(A) = 3/5, P(B) = 5/12." cũng có tích 0.25 nhưng tổng 61/60, cho P(A∪B) ≈ 0.767, lệch giả thiết. Cặp "P(A) = 0.8, P(B) = 0.25" có tích chỉ 0.2, nên P(A∩B) ≠ 0.25, vi phạm ngay điều kiện độc lập. Vì đã có cặp nghiệm đúng nên "None of the other choices is correct." không được chọn.

Đáp án đúng: "0.191". Đây là bài toán Bayes với ba cách đi làm. Theo công thức xác suất toàn phần, P(đúng giờ) = 0.5·0.97 + 0.2·0.90 + 0.3·0.93 = 0.485 + 0.18 + 0.279 = 0.944. Khi đó P(đi bộ | đúng giờ) = P(đi bộ ∩ đúng giờ)/P(đúng giờ) = 0.18/0.944 ≈ 0.191. Điều kiện là "on time" nên phải dùng tỉ lệ đúng giờ 0.90, 0.97, 0.93 chứ không dùng thẳng 10%, 3%, 7%. "0.375" là P(đi xe buýt | trễ) = 0.021/0.056, vừa đổi điều kiện sang trễ vừa nhầm cách đi. "0.296" là P(đi xe buýt | đúng giờ) = 0.279/0.944, đúng điều kiện nhưng lấy nhầm tử số của xe buýt thay vì đi bộ. "0.625" bằng 1 − 0.375, tức xác suất không đi xe buýt khi đã trễ, không liên quan gì tới điều kiện đúng giờ.

Đáp án đúng: "Continuous". Biến ngẫu nhiên liên tục (continuous) nhận giá trị trên cả một khoảng số thực và thường sinh ra từ phép đo, còn biến rời rạc (discrete) chỉ nhận hữu hạn hoặc đếm được giá trị và thường sinh ra từ phép đếm. Thời gian giữa hai lần taxi đến là đại lượng đo được, có thể là 2.5 phút, 2.53 phút hay bất kỳ số dương nào trong khoảng (0, ∞), nên X là biến liên tục; trong mô hình chuẩn, thời gian chờ giữa các lần đến thường được mô tả bằng phân phối mũ. "Discrete" sai vì đó là kiểu của đại lượng đếm, chẳng hạn số taxi đến giao lộ trong một giờ (thường mô hình bằng Poisson); việc ghi thời gian làm tròn tới phút chỉ là cách ghi chép, không làm đổi bản chất liên tục của thời gian chờ.

Đáp án đúng: "X can take an infinite number of values {0, 1, 2, 3, ...}.". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. X đếm số lần tung đồng xu cho tới khi ra mặt ngửa đầu tiên, tính cả lần ra ngửa, nên ít nhất phải tung 1 lần; X = 0 là không thể, vì vậy tập giá trị {0, 1, 2, 3, ...} sai. Đây là biến ngẫu nhiên hình học (geometric) với P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p, x = 1, 2, 3, .... Phát biểu "X is a discrete random variable." đúng vì X chỉ nhận giá trị nguyên rời rạc. Phát biểu "X can take an infinite number of values {1, 2, 3, ...}." đúng vì về lý thuyết có thể ra sấp mãi trước khi ra ngửa, nên không có chặn trên. Phát biểu "X has a countable range of values." đúng vì tập {1, 2, 3, ...} vô hạn nhưng đếm được, đúng đặc trưng của biến rời rạc; ba phát biểu này đúng nên không được chọn.

Đáp án đúng: "4". Mỗi người được chọn chỉ có hai trạng thái là có laptop hoặc không có laptop, và hai người được chọn là hai vị trí phân biệt (người thứ nhất, người thứ hai), nên theo quy tắc nhân không gian mẫu có 2·2 = 4 kết quả: cả hai có, chỉ người thứ nhất có, chỉ người thứ hai có, cả hai không có. Giá trị "1" chỉ đếm một kết quả cụ thể. Giá trị "2" là số trạng thái của một người, chưa nhân cho người thứ hai. Giá trị "3" là số giá trị của biến đếm số người có laptop (0, 1 hoặc 2), gộp hai kết quả chỉ một người có thành một, nên đó là miền giá trị của biến ngẫu nhiên chứ không phải số kết quả của phép thử. Giá trị "5" vượt quá số tổ hợp có thể có của hai người, mỗi người hai trạng thái.

Đáp án đúng: "{copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, zinc}". Tính từng bước: phần bù B′ gồm các phần tử của S không thuộc B, tức {copper, uranium, oxygen, zinc}, nên A ∩ B′ = {copper, zinc}. Phần bù C′ là S bỏ oxygen, tức {copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, zinc}. Hợp (union) của {copper, zinc} với C′ vẫn là C′ vì copper và zinc đã có trong C′, nên kết quả gồm sáu phần tử, chỉ thiếu oxygen. Tập "{nitrogen, potassium, uranium, zinc}" thiếu copper và sodium, trong khi cả hai đều thuộc C′. Tập "{copper, sodium, potassium, uranium, zinc}" bỏ sót nitrogen, mà nitrogen không phải oxygen nên chắc chắn nằm trong C′. Tập "{copper, sodium, nitrogen, uranium, zinc}" bỏ sót potassium vì cùng lý do. Đã có tập đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.07". Bảng cho xác suất đồng thời: mỗi ô là tỉ lệ người có đồng thời một mức khấu trừ bảo hiểm thuê nhà (hàng Basic, Standard, Premium) và một mức khấu trừ bảo hiểm sức khoẻ (cột Minimal, Low, Medium, High). Biến cố "standard renter’s và high health deductible" là giao của hàng Standard với cột High, và ô đó ghi 0.07. "0.40" là tổng cả hàng Standard (0.08 + 0.10 + 0.15 + 0.07), tức xác suất biên của riêng mức Standard, bỏ qua điều kiện về bảo hiểm sức khoẻ. "0.25" là tổng cột Low (0.07 + 0.10 + 0.08), cũng là một xác suất biên nhưng của cột khác. "0.10" là ô Standard–Low (hay Basic–Medium), lệch cột so với yêu cầu. "0.03" là ô Premium–Minimal, sai cả hàng lẫn cột.

Đáp án đúng: "0.90". Gọi A là dùng thuốc hạ huyết áp, B là dùng thuốc hạ cholesterol; "either … or" là biến cố hợp A ∪ B, tính bằng quy tắc cộng P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.52 + 0.43 − 0.05 = 0.90. Phải trừ 0.05 một lần vì nhóm dùng cả hai loại đã được đếm trong cả 52% lẫn 43%. "0.85" sai vì đó là trừ phần giao hai lần (0.95 − 0.10), tức xác suất chỉ dùng đúng một loại thuốc, không phải xác suất dùng ít nhất một loại. "0.14" sai vì không khớp với phép cộng nào của dữ liệu và nhỏ hơn cả P(A) = 0.52, trong khi hợp luôn lớn hơn hoặc bằng từng biến cố. "1" sai vì chỉ đúng khi mọi người cao tuổi đều dùng ít nhất một loại thuốc; ở đây còn 10% không dùng loại nào. "None of the other choices is correct" sai vì 0.90 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.523". Bảng hai chiều cho số lá theo hai biến đổi: đổi màu có và biến đổi kết cấu có là 138, đổi màu có mà kết cấu không là 23, đổi màu không mà kết cấu có là 18, cả hai không là 21; tổng 200 lá. Đây là xác suất có điều kiện P(color | không textural) = P(color ∩ không textural)/P(không textural). Cột kết cấu "no" có 23 + 21 = 44 lá, trong đó 23 lá đổi màu, nên xác suất là 23/44 ≈ 0.523. "0.805" là 161/200, xác suất đổi màu không điều kiện (hàng đổi màu có: 138 + 23 = 161), bỏ qua điều kiện đã biết. "0.22" là 44/200, xác suất không hoàn thành biến đổi kết cấu, tức mẫu số của phép chia chứ chưa phải kết quả. "0.682" không ứng với tỉ số nào trong cột kết cấu "no" (cột này chỉ cho 23/44 và 21/44 ≈ 0.477), và cũng không bằng tỉ số nào giữa các ô và các tổng của bảng.

Đáp án đúng: "0.57". Dùng công thức xác suất toàn phần (total probability): gọi L là biến cố công ty triển khai dự án và I là biến cố giá cổ phiếu tăng, khi đó P(I) = P(I|L)·P(L) + P(I|L')·P(L') = 0.75·0.6 + 0.30·0.4 = 0.45 + 0.12 = 0.57. Hai nhánh triển khai và không triển khai là xung khắc và phủ kín mọi khả năng nên xác suất giá tăng là tổng của chúng. "0.45" chỉ là P(I∩L), phần giá tăng trong nhánh có triển khai, bỏ sót nhánh không triển khai. "0.12" chỉ là P(I∩L'), phần giá tăng khi không triển khai dự án. "0.33" là hiệu 0.45 − 0.12, trừ hai nhánh thay vì cộng, không có ý nghĩa xác suất nào ở đây. Từ kết quả này còn tính được xác suất hậu nghiệm, chẳng hạn P(L|I) = 0.45/0.57 ≈ 0.79 theo Bayes.

Đáp án đúng: "No". Hai biến cố độc lập khi và chỉ khi xác suất giao bằng tích hai xác suất: P(C and D) = P(C)·P(D). Ở đây P(C)·P(D) = 0.5·0.2 = 0.10, trong khi P(C and D) = 0.11 ≠ 0.10, nên C với D không độc lập; tương đương, P(C|D) = 0.11/0.2 = 0.55 khác P(C) = 0.5, tức biết D xảy ra làm thay đổi xác suất của C. Phương án "Yes" sai vì điều kiện tích không thoả, dù hai con số 0.11 và 0.10 khá gần nhau; độc lập đòi hỏi bằng nhau chính xác. Phương án "cannot be determined" sai vì đề đã cho đủ cả P(C), P(D) và xác suất giao, nên kiểm tra được trực tiếp; nó chỉ đúng khi thiếu xác suất giao.

Đáp án đúng: "0.32". Hai biến cố B, C xung khắc và bù nhau nên chúng tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, do đó dùng công thức xác suất toàn phần (law of total probability): P(A) = P(A | B)·P(B) + P(A | C)·P(C) = 0.2·0.6 + 0.5·0.4 = 0.12 + 0.20 = 0.32. Giá trị "0.10" là 0.2·0.5, nhân hai xác suất có điều kiện với nhau mà không gắn trọng số P(B), P(C). Giá trị "0.62" là 0.2·0.6 + 0.5, quên nhân P(A | C) với P(C) = 0.4. Giá trị "0.88" vượt xa mọi tổ hợp hợp lý, trong khi P(A) theo xác suất toàn phần phải nằm giữa 0.2 và 0.5 vì là trung bình có trọng số của hai xác suất có điều kiện. Vì tính ra đúng 0.32 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "The number of goals scored by a hockey team.". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) nhận một tập giá trị đếm được, thường là kết quả của phép đếm 0, 1, 2, …; biến liên tục (continuous) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực, thường là kết quả của phép đo. Số bàn thắng của một đội khúc côn cầu là phép đếm, không thể bằng 2.5 bàn, nên nó là biến rời rạc, tức phát biểu NOT continuous đúng với nó. "The amount of gasoline in a car." là lượng đo bằng lít, có thể là 23.47 lít hay bất kỳ số nào giữa 0 và dung tích bình, nên là biến liên tục. "The time it takes to commute to work." là thời gian đo được tới phần nhỏ của giây, cũng liên tục. "The lifetime of a AAA battery." là tuổi thọ tính bằng giờ, nhận mọi giá trị dương trong một khoảng, nên là biến liên tục. Ba biến đo lường này đều liên tục nên không đáp ứng yêu cầu tìm biến không liên tục.

Đáp án đúng: "32". Mỗi bit có hai trạng thái, bị méo (distorted) hoặc nhận đúng, và năm bit được truyền lần lượt, nên theo quy tắc nhân số kết quả trong không gian mẫu là 2·2·2·2·2 = 2⁵ = 32; mỗi kết quả là một dãy năm ký hiệu ghi trạng thái của từng bit theo thứ tự truyền. "10" là 2·5 hoặc 2 + 2 + 2 + 2 + 2, cộng số khả năng của từng bit thay vì nhân. "2" chỉ là số trạng thái của một bit riêng lẻ. "5" là số bit được truyền; ngay cả khi chỉ đếm số bit bị méo thì cũng có sáu giá trị từ 0 tới 5, còn không gian mẫu phân biệt cả vị trí của bit bị méo nên lớn hơn nhiều. Đã có 32 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.