Câu hỏi: MAS291 - Chương 2: Xác suất

Đáp án đúng: "2/27". Có hoàn lại viên bi sau lần rút đầu nên hai lần rút độc lập, xác suất mỗi lần giữ nguyên trên 9 viên: P(đỏ rồi xanh) = P(đỏ)·P(xanh) = 2/9·3/9 = 6/81 = 2/27. Nếu không hoàn lại thì sẽ là 2/9·3/8 = 1/12, không có trong lựa chọn. "2/9" sai vì đó chỉ là xác suất rút được bi đỏ ở lần đầu, chưa nhân với xác suất lần hai ra bi xanh. "3/9" sai vì đó chỉ là xác suất rút được bi xanh trong một lần, bỏ qua điều kiện lần đầu phải ra bi đỏ. "1/3" sai vì là cùng giá trị 3/9 viết rút gọn, vẫn chỉ là xác suất một lần ra bi xanh chứ không phải xác suất chuỗi hai lần.

Đáp án đúng: "Yes". Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi P(A and B) = P(A)·P(B), tương đương P(A | B) = P(A). Ở đây P(A)·P(B) = 0.8·0.4 = 0.32, đúng bằng P(A and B) = 0.32 đề cho, nên A độc lập với B; kiểm thêm P(A | B) = 0.32/0.4 = 0.8 = P(A), tức biết B xảy ra không làm thay đổi khả năng của A. "No" sai vì tích hai xác suất khớp chính xác với xác suất giao; chỉ khi P(A and B) khác 0.32 thì hai biến cố mới phụ thuộc. "Cannot be determined" sai vì đề đã cho đủ ba đại lượng P(A), P(B), P(A and B), đúng là những gì cần để kiểm điều kiện độc lập. Lưu ý độc lập khác xung khắc: hai biến cố này không xung khắc vì giao có xác suất dương.

Đáp án đúng: "0.375". Hai biến cố E, F xung khắc và bù nhau nên tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, áp dụng được công thức Bayes: P(E|A) = P(A|E)P(E)/[P(A|E)P(E) + P(A|F)P(F)]. Tử số P(A|E)P(E) = 0.2·0.6 = 0.12; mẫu số là xác suất toàn phần P(A) = 0.12 + 0.5·0.4 = 0.12 + 0.20 = 0.32; vậy P(E|A) = 0.12/0.32 = 0.375, và P(F|A) = 0.625 để hai hậu nghiệm cộng lại bằng 1. "0.228" ứng với P(A∩E) ≈ 0.228·0.32 = 0.073, nhỏ hơn giá trị thật 0.12. "0.419" ứng với P(A∩E) ≈ 0.134, lớn hơn 0.12. "0.330" gần với P(A) = 0.32, nhưng P(A) là xác suất toàn phần chứ không phải xác suất hậu nghiệm. Đã có 0.375 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "Discrete". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) nhận các giá trị đếm được, cách nhau, thường là số nguyên do đếm mà có; biến liên tục (continuous) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực, thường do đo đạc như thời gian, chiều dài. Số lượt xem một trang web là kết quả của phép đếm, chỉ nhận 0, 1, 2, ..., không thể là 2.5 lượt, nên X là biến rời rạc. Phương án "Continuous" sai vì giữa hai số lượt xem liên tiếp không có giá trị trung gian nào; nó chỉ đúng với các đại lượng đo như thời gian một người ở lại trang.

Đáp án đúng: "NNR NNN". Không gian mẫu (sample space) là tập mọi kết quả có thể của một lần thử. Theo mô tả, mỗi lứa chỉ có thể là ba con bình thường (NNN) hoặc hai con bình thường và một con còi (NNR), mỗi khả năng 50%, nên lứa thứ năm có không gian mẫu gồm đúng hai kết quả NNR và NNN; thứ tự sinh không được xét nên NNR và RNN chỉ là một kết quả. "NR NNR NNR" sai vì NR chỉ có hai con, không phải kết quả được mô tả, và NNR bị lặp. "NNN RNN NR" sai vì vẫn chứa NR, một lứa hai con không có trong mô tả. "N NN NR NNN NRN" sai vì đưa vào các lứa một con, hai con và tách NRN thành kết quả riêng. "None of the other choices is correct" sai vì đã có không gian mẫu đúng.

Đáp án đúng: "252". Năm máy được chọn ngẫu nhiên và không phân biệt thứ tự, nên một mẫu là một tổ hợp (combination) 5 phần tử từ 10: C(10, 5) = 10!/(5!·5!) = 252. Thông tin 7 máy mới và 3 máy tân trang không ảnh hưởng tới số mẫu, nó chỉ cần khi hỏi số mẫu có bao nhiêu máy mỗi loại. "30240" là chỉnh hợp P(10, 5) = 10·9·8·7·6, đếm cả thứ tự chọn, trong khi đây chọn không thứ tự. "21" là C(7, 5), số mẫu chỉ gồm máy mới, một trường hợp riêng chứ không phải tổng số mẫu. "42" là gấp đôi 21, cũng chỉ đếm một phần các mẫu có thể.

Đáp án đúng: "0.5". Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối, không gian mẫu có sáu kết quả đồng khả năng {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Biến cố A là ra mặt chẵn, gồm ba kết quả {2, 4, 6}; theo định nghĩa cổ điển P(A) = số kết quả thuận lợi/tổng số kết quả = 3/6 = 0.5. "0.25" ứng với tỉ lệ 1/4, chẳng hạn khi chỉ đếm hai mặt chẵn trên tám kết quả, không khớp xúc xắc sáu mặt. "0.1" quá nhỏ, nhỏ hơn cả xác suất của một mặt đơn lẻ 1/6 ≈ 0.167, trong khi biến cố gồm ba mặt. "0.75" ứng với tỉ lệ 3/4, như thể chia ba mặt chẵn cho bốn kết quả, nhưng xúc xắc có sáu mặt. Đã có 0.5 nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Biến cố ra mặt lẻ {1, 3, 5} cũng có xác suất 0.5, đúng là phần bù.

Đáp án đúng: "0.1111". Gieo hai con xúc xắc cân đối có 6·6 = 36 kết cục có thứ tự đồng khả năng. Tổng bằng 5 xảy ra ở bốn kết cục (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), nên xác suất là 4/36 = 1/9 = 0.1111. Phương án "0.1389" là 5/36, xác suất tổng bằng 6 hoặc 8, không phải 5. Phương án "0.0833" là 3/36, xác suất tổng bằng 4 hoặc 10. Phương án "0.0556" là 2/36, ra khi chỉ đếm hai cặp không thứ tự {1, 4} và {2, 3} mà quên rằng mỗi cặp ứng với hai kết cục có thứ tự.

Đáp án đúng: "5/9". Dùng định lý Bayes hay trực tiếp xác suất có điều kiện: P(senior | A) = P(senior ∩ A)/P(A). Lớp có 50 sinh viên, số người đạt A là 3 + 10 + 5 = 18, trong đó 10 người là senior, nên P(senior | A) = (10/50)/(18/50) = 10/18 = 5/9. Giá trị "2/9" = 4/18 không ứng với nhóm nào, vì số người đạt A ở các nhóm là 3, 10, 5. Giá trị "4/9" = 8/18 là phần bù 1 − 5/9, tức xác suất người đạt A không phải senior. Giá trị "7/9" = 14/18 cũng không khớp, nó lớn hơn tỷ lệ senior trong số người đạt A. Nhầm với tỷ lệ senior đạt A trong số senior là 10/30 = 1/3 cũng sai chiều điều kiện. Vì 5/9 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.353". Dùng công thức xác suất toàn phần: một tín hiệu 1 được nhận khi hoặc gửi 1 và nhận đúng, hoặc gửi 0 và bị lỗi thành 1. P(gửi 1) = 0.3, P(gửi 0) = 0.7; P(nhận 1 | gửi 1) = 0.92, P(nhận 1 | gửi 0) = 1 − 0.89 = 0.11. Vậy P(nhận 1) = 0.3·0.92 + 0.7·0.11 = 0.276 + 0.077 = 0.353. "0.272" còn nhỏ hơn riêng phần 0.3·0.92 = 0.276 vốn chắc chắn nằm trong kết quả, nên không thể đúng; bỏ quên đóng góp 0.077 của tín hiệu 0 bị đảo thành 1 cũng chỉ ra 0.276 chứ không ra 0.272. "0.436" quá lớn: kể cả khi mọi tín hiệu 1 đều được nhận đúng, P(nhận 1) cũng chỉ là 0.3 + 0.077 = 0.377. "0.168" quá nhỏ, chưa bằng phần gửi 1 nhận đúng 0.276 đã chắc chắn có trong kết quả. "None of the other choices is correct" sai vì 0.353 có mặt. Nếu hỏi tiếp xác suất đã gửi 1 khi nhận 1 thì dùng Bayes: 0.276/0.353 ≈ 0.782.

Đáp án đúng: "1/12". Tung đồng xu và gieo xúc xắc là hai phép thử độc lập, nên xác suất cả hai cùng xảy ra bằng tích: P(mặt ngửa và ra 3) = P(mặt ngửa)·P(ra 3) = 1/2·1/6 = 1/12. Đếm trực tiếp cũng vậy: không gian mẫu có 2·6 = 12 kết quả như nhau, chỉ một kết quả thoả mãn. Giá trị "1/3" ứng với 4 trên 12 kết quả, không khớp với biến cố chỉ có một kết quả. Giá trị "1/4" là xác suất kiểu tung hai đồng xu cùng ngửa, không phải đồng xu kết hợp xúc xắc. Giá trị "5/12" là 1/2 − 1/12, xác suất ra mặt ngửa nhưng xúc xắc không ra 3, ngược với biến cố cần tìm.

Đáp án đúng: "0.296". Dùng Bayes với biến cố "đúng giờ". Xác suất đúng giờ theo từng cách: lái xe 0.97, đi bộ 0.90, xe buýt 0.93. Xác suất toàn phần P(đúng giờ) = 0.5·0.97 + 0.2·0.90 + 0.3·0.93 = 0.485 + 0.18 + 0.279 = 0.944. Do đó P(xe buýt | đúng giờ) = 0.279/0.944 ≈ 0.2956, làm tròn 0.296. Giá trị "0.375" là P(xe buýt | trễ) = 0.3·0.07/0.056, dùng nhầm biến cố trễ thay vì đúng giờ. Giá trị "0.625" bằng 1 − 0.375, tức xác suất không đi xe buýt khi trễ, cũng sai biến cố điều kiện. Giá trị "0.191" là P(đi bộ | đúng giờ) = 0.18/0.944, đúng biến cố điều kiện nhưng sai phương tiện được hỏi.

Đáp án đúng: "The suit of a card randomly-selected from a 52-card deck.". Biến ngẫu nhiên là hàm gán cho mỗi kết quả của phép thử một số thực. Chất của lá bài (cơ, rô, chuồn, bích) là nhãn định tính, không phải số, nên tự nó không phải biến ngẫu nhiên trừ khi ta mã hoá thêm bằng số. Câu hỏi dùng chữ "not" nên chọn đại lượng không mang giá trị số. "The heights of randomly-selected students in FPT University." là số đo chiều cao, một biến ngẫu nhiên liên tục. "The number of children in randomly-selected kindergartens in Hanoi." là số đếm, biến ngẫu nhiên rời rạc. "The number of stocks in the Dow Jones Industrial Average that have share price increases on a given day." cũng là số đếm nguyên từ 0 tới 30 nên là biến ngẫu nhiên rời rạc.