Câu hỏi: MAS291 - Chương 2: Xác suất

Đáp án đúng: "{RR, RW, RB, WR, WW, WB, BR, BW}". Không gian mẫu (sample space) là tập mọi kết cục có thể xảy ra. Rút lần lượt hai viên không hoàn lại và ghi màu theo thứ tự, mỗi kết cục là một cặp màu; hộp có hai viên đỏ, năm viên trắng nên RR và WW đều xảy ra được, nhưng chỉ có một viên xanh nên cặp BB không thể xảy ra. Vì vậy không gian mẫu có tám kết cục như trên. Phương án "{RR, RW, RB, WR, WW, WB, BR, BW, BB}" sai vì chứa BB, kết cục không thể xảy ra khi hộp chỉ có một viên xanh. Phương án "{R, W, B}" là không gian mẫu của phép rút một viên. Phương án "{RRR, WWW, BBB}" mô tả ba lần rút cùng màu, không phải phép rút hai viên. Phương án "{2, 5, 1}" chỉ là số viên của từng màu, không phải các kết cục.

Đáp án đúng: "1/792". Năm bài được phát là một tập con 5 bài lấy từ 12 bài, và vì "theo thứ tự bất kỳ" nên chỉ quan tâm tập hợp chứ không quan tâm thứ tự. Số tập con 5 bài là tổ hợp C(12,5) = 12!/(5!·7!) = 792, các tập con đồng khả năng, và chỉ có đúng một tập là 5 bài yêu thích, nên xác suất là 1/792. Giá trị "1/95040" dùng chỉnh hợp 12·11·10·9·8 = 95040, đó là xác suất để 5 bài yêu thích được phát theo đúng một thứ tự định trước, chặt hơn yêu cầu. Giá trị "1/3991680" ứng với 12!/5! = 3991680, không phải số cách chọn 5 bài trong 12. Giá trị "5/12" là xác suất một bài cụ thể nằm trong 5 bài được phát, không phải xác suất cả 5 bài được phát đều là bài yêu thích. Vì 1/792 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.08". Gọi A là sự kiện ăn tối gia đình từ năm lần mỗi tuần, M là sự kiện dùng cần sa. Quy tắc cộng P(A∪M) = P(A) + P(M) − P(A∩M) cho P(A∩M) = P(A) + P(M) − P(A∪M) = 0.59 + 0.13 − 0.64 = 0.08. Tức 8% thiếu niên vừa ăn tối gia đình thường xuyên vừa dùng cần sa; phần giao bị đếm hai lần khi cộng 0.59 với 0.13 nên phải trừ đi. "0.77" là 0.64 + 0.13, cộng hợp với một xác suất riêng lẻ, không có ý nghĩa xác suất giao. "0.18" là 0.64 − 0.59 + 0.13, đặt sai dấu trong quy tắc cộng. "0.64" chính là xác suất hợp "or" đã cho, không phải xác suất "and". "None of the other choices is correct" sai vì 0.08 có mặt. Có thể tự kiểm: xác suất giao không thể vượt xác suất nhỏ hơn trong hai sự kiện (0.13), nên 0.18, 0.64 và 0.77 đều bất khả.

Đáp án đúng: "0.69". Gọi I là biến cố thu nhập trên 25,000 đô la, T là biến cố có 2 xe. Số liệu cho P(T|I) = 0.80, P(I) = 0.60, P(T) = 0.70. Theo định lý Bayes, P(I|T) = P(T|I)·P(I)/P(T) = 0.80·0.60/0.70 = 0.48/0.70 ≈ 0.686, làm tròn 0.69. Giá trị "0.48" là P(I∩T), xác suất vừa thu nhập cao vừa có 2 xe, chưa chia cho P(T). Giá trị "0.42" là tích 0.60·0.70, chỉ đúng nếu hai biến cố độc lập, mà ở đây P(T|I) = 0.8 khác P(T) = 0.7 nên chúng không độc lập. Giá trị "0.50" không đến từ công thức nào phù hợp với số liệu; nó thấp hơn cả P(I) = 0.6, trong khi việc có 2 xe làm tăng khả năng thu nhập cao. Vì 0.69 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.033". Dùng công thức xác suất toàn phần (total probability): tỉ lệ 4:3 nghiêng về nữ nên P(nữ) = 4/7, P(nam) = 3/7. Khi đó P(cao trên 6 feet) = P(nam)·0.05 + P(nữ)·0.02 = (3/7)·0.05 + (4/7)·0.02 = (0.15 + 0.08)/7 = 0.23/7 ≈ 0.0329, làm tròn 0.033. Giá trị "0.026" ứng với trọng số nam chỉ 20% (0.2·0.05 + 0.8·0.02 = 0.026), không phải 3/7 như bài cho; nếu đảo ngược tỉ lệ, coi nam chiếm 4/7, thì lại ra 0.037. Giá trị "0.016" nhỏ hơn cả 0.02, mà xác suất toàn phần là trung bình có trọng số của 0.05 và 0.02 nên bắt buộc nằm giữa hai số này. Giá trị "0.675" quá lớn, vượt xa cả tỉ lệ 5% của nhóm cao hơn, không thể là kết quả hợp lệ. Đã tính được 0.033 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.6". Hai biến cố độc lập nên xác suất giao bằng tích hai xác suất: P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Suy ra P(B) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.08/0.2 = 0.4, và P(A) + P(B) = 0.2 + 0.4 = 0.6. Lưu ý tổng này khác P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.52, vì câu hỏi chỉ yêu cầu cộng hai xác suất. "0.4" chỉ là P(B), quên cộng thêm P(A) = 0.2. "0.16" bằng 2·P(A ∩ B), tức cộng nhầm xác suất giao thay vì cộng P(A) với P(B); nó cũng không phải P(A ∪ B). "None of the other choices is correct" sai vì 0.6 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.4583". Câu hỏi là xác suất có điều kiện P(trẻ em | thích hamburger) = P(trẻ em ∩ thích hamburger)/P(thích hamburger). Trong 200 người có 120 người thích hamburger, trong đó 55 là trẻ em, nên xác suất = (55/200)/(120/200) = 55/120 ≈ 0.4583; điều kiện "đã biết thích hamburger" thu hẹp không gian mẫu về 120 người đó. "0.8721" sai vì quá lớn: trong 120 người thích hamburger có tới 65 người lớn, nên tỷ lệ trẻ em không thể vượt một nửa nhiều như vậy. "0.1121" sai vì không khớp với tỷ số nào của bảng; ngay cả P(trẻ em ∩ thích hamburger) = 55/200 = 0.275 cũng lớn hơn. "0.3724" sai vì cũng không ra từ bảng, và gần với P(trẻ em) = 75/200 = 0.375, tức xác suất chưa có điều kiện. "None of the other choices is correct" sai vì 0.4583 có trong các lựa chọn. Cần tránh nhầm với chiều ngược P(thích hamburger | trẻ em) = 55/75 ≈ 0.7333.

Đáp án đúng: "The number of eggs that hens lay in a month". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) có tập giá trị hữu hạn hoặc đếm được, thường là kết quả của phép đếm; số trứng gà đẻ trong tháng chỉ nhận các số nguyên 0, 1, 2, ..., nên là biến rời rạc. "The price of a product" được xem là biến liên tục vì giá đo trên thang số thực và có thể chia nhỏ tuỳ ý trong mô hình, dù thực tế làm tròn tới đơn vị tiền. "The average height of Vietnamese adults" là trung bình của chiều cao, một đại lượng đo lường trên khoảng số thực, nên liên tục. "The yield of wheat in a country" là sản lượng đo bằng khối lượng (tấn), cũng là phép đo trên thang liên tục, không phải phép đếm.

Đáp án đúng: "the set of all possible outcomes of an activity or experiment". Không gian mẫu (sample space), ký hiệu S, là tập hợp mọi kết quả có thể của một phép thử; ví dụ tung một con xúc xắc thì S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mỗi tập con của S gọi là một biến cố. Mô tả "a repeatable process, or activity, with a number of possible outcomes" là định nghĩa của phép thử ngẫu nhiên (random experiment), tức chính hoạt động sinh ra kết quả, chứ không phải tập kết quả. Mô tả "a collection of one or more possible outcomes from an activity" là định nghĩa của biến cố (event), một tập con của không gian mẫu, ví dụ biến cố "ra số chẵn" = {2, 4, 6}. Ba khái niệm này đi liền nhau: phép thử sinh ra kết quả, toàn bộ kết quả tạo nên không gian mẫu, còn biến cố là một phần của không gian mẫu đó.

Đáp án đúng: "{BG, GB, GG}". Lấy lần lượt hai điện thoại nên mỗi kết quả là một cặp có thứ tự (máy thứ nhất, máy thứ hai), mỗi máy là G nếu hoạt động tốt, còn lại là máy hỏng; không gian mẫu gồm bốn kết quả GG, GB, BG, BB. Biến cố "ít nhất một máy hoạt động tốt" chứa mọi kết quả có ít nhất một chữ G, tức là tất cả trừ trường hợp cả hai máy đều hỏng, nên tập đúng gồm BG, GB và GG. "{GB}" chỉ là một kết quả (máy đầu tốt, máy sau hỏng), bỏ sót trường hợp máy đầu hỏng máy sau tốt và trường hợp cả hai tốt. "{GG}" là biến cố "cả hai máy đều tốt", hẹp hơn "ít nhất một máy tốt". "{BB}" là biến cố đối của biến cố cần tìm: cả hai máy đều hỏng, không có máy nào tốt.

Đáp án đúng: "0.75". Bốn kết quả đồng khả năng nên mỗi kết quả có xác suất 1/4. Hợp A ∪ B = {a, b, c} gồm 3 kết quả, nên P(A ∪ B) = 3/4 = 0.75; kiểm lại bằng quy tắc cộng P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.5 + 0.5 − 0.25 = 0.75, với A ∩ B = {a}. "1.0" sai vì đó là cộng thẳng 0.5 + 0.5 mà quên trừ phần giao {a}, tức đếm kết quả a hai lần. "0.6" sai vì với bốn kết quả đồng khả năng, xác suất mọi biến cố đều là bội của 0.25, nên không thể bằng 0.6. "0.016" sai vì A ∪ B chứa A nên xác suất của nó ít nhất bằng P(A) = 0.5. "None of the other choices is correct" sai vì 0.75 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.69". Bảng cho tỉ lệ theo hai biến: hàng có con đang học đại học gồm 0.35 (gánh nặng vay quá cao), 0.08 (vừa phải), 0.01 (quá ít); hàng không có con gồm 0.25, 0.2, 0.11. Dùng quy tắc cộng P(D ∪ A) = P(D) + P(A) − P(D ∩ A), với D là có con đang học đại học và A là cho rằng gánh nặng quá cao. P(D) = 0.35 + 0.08 + 0.01 = 0.44; P(A) = 0.35 + 0.25 = 0.60; P(D ∩ A) = 0.35; vậy P = 0.44 + 0.60 − 0.35 = 0.69, cũng bằng 1 trừ hai ô ngoài hợp (0.2 và 0.11). "0.44" chỉ là P(D), bỏ phần người không có con nhưng thấy quá cao. "0.6" chỉ là P(A), bỏ phần người có con nhưng không thấy quá cao. "0.56" là P(không có con) = 0.25 + 0.2 + 0.11, là biến cố khác hẳn.

Đáp án đúng: "0.195". Đây là xác suất có điều kiện khi rút không hoàn lại (without replacement): sau khi chip thứ nhất là chip hỏng, lô còn 149 chip trong đó 29 chip hỏng, nên P(chip thứ hai hỏng | chip thứ nhất hỏng) = 29/149 = 0.1946 ≈ 0.195. Cũng ra kết quả này từ định nghĩa P(H₂|H₁) = P(H₁∩H₂)/P(H₁) = (30/150·29/149)/(30/150). "0.2" là 30/150, xác suất chip thứ nhất hỏng, và cũng là đáp số nếu rút có hoàn lại; ở đây lô đã mất một chip hỏng nên tỉ lệ giảm. "0.039" là 30/150·29/149 = 0.0389, xác suất cả hai chip cùng hỏng, tức xác suất giao chứ không phải xác suất có điều kiện. "0.8" là 120/150, xác suất chip thứ nhất tốt, không liên quan tới câu hỏi.

Đáp án đúng: "0.70". Theo công thức xác suất toàn phần, P(nói thật) = P(nam)·P(nói thật | nam) + P(nữ)·P(nói thật | nữ) = 0.47·0.78 + 0.53·0.63 = 0.3666 + 0.3339 = 0.7005 ≈ 0.70. Đây là trung bình có trọng số của 0.78 và 0.63 nên phải nằm giữa hai số này. Phương án "0.78" chỉ là xác suất nói thật của nam, bỏ qua nhóm nữ chiếm 53%. Phương án "0.49" là tích 0.78·0.63 = 0.4914, coi nhầm như xác suất cả hai cùng nói thật; nó nhỏ hơn 0.63 nên không thể là trung bình có trọng số. Phương án "0.52" cũng nhỏ hơn 0.63, vì thế không thể là xác suất toàn phần của hai nhóm có tỉ lệ nói thật 0.63 và 0.78.

Đáp án đúng: "0.5". Với hai biến cố A, B độc lập thì P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Kết hợp với quy tắc cộng P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ta có 0.7 = 0.4 + P(B) − 0.4·P(B) = 0.4 + 0.6·P(B), suy ra P(B) = 0.3/0.6 = 0.5. Kiểm tra lại: 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7. Giá trị "0.3" là 0.7 − 0.4, đúng khi hai biến cố xung khắc (P(A ∩ B) = 0), trái với giả thiết độc lập vì hai biến cố có xác suất dương thì không thể vừa độc lập vừa xung khắc. Giá trị "0.6" là 1 − P(A), tức xác suất của biến cố đối của A, không liên quan đến B. Giá trị "0.55" cho 0.4 + 0.55 − 0.22 = 0.73, không khớp P(A U B) = 0.7.

Đáp án đúng: "0.4". Dùng định lý Bayes: chọn túi ngẫu nhiên nên P(A) = P(B) = 0.5, với P(W|A) = 15/25 = 0.6 và P(W|B) = 10/25 = 0.4. Xác suất toàn phần lấy được bi trắng là P(W) = 0.5·0.6 + 0.5·0.4 = 0.5. Do đó P(B|W) = P(W|B)·P(B)/P(W) = 0.5·0.4/0.5 = 0.4. Trực giác: túi A chứa nhiều bi trắng hơn, nên khi đã thấy bi trắng thì khả năng nó từ túi B giảm xuống dưới mức 0.5 ban đầu. "0.5" là xác suất tiên nghiệm chọn túi B, bỏ qua thông tin quả bóng là màu trắng. "0.6" là P(A|W), xác suất bi trắng đến từ túi A, tức đảo ngược túi được hỏi. "0.7" vượt cả tỉ lệ bi trắng trong túi A, không ứng với bước nào của Bayes. Lưu ý không nhầm P(B|W) với P(W|B): ở đây hai số tình cờ bằng nhau (0.4) vì P(B) = P(W) = 0.5, nhưng nói chung chúng khác nhau.

Đáp án đúng: "... has a countable infinite range.". Câu hỏi tìm phát biểu KHÔNG đúng về biến ngẫu nhiên liên tục. Biến liên tục nhận giá trị trên cả một khoảng số thực, và một khoảng như vậy là tập vô hạn không đếm được (uncountable); miền giá trị vô hạn đếm được như 0, 1, 2, … là đặc trưng của biến rời rạc như Poisson hay hình học, nên phát biểu này sai và là đáp án. Phát biểu "...takes an infinite number of possible values." đúng vì giữa hai giá trị bất kỳ luôn có vô số giá trị khác. Phát biểu "...is usually about measurement." đúng vì biến liên tục thường đến từ phép đo như chiều dài, thời gian, khối lượng, khác với biến rời rạc thường đến từ phép đếm. Phát biểu "... is quantitative data." đúng vì giá trị của nó là số có ý nghĩa đo lường, thuộc loại dữ liệu định lượng.

Đáp án đúng: "A': The temperature of the liquid is lower than or equal to 50°C". Biến cố bù A' gồm mọi kết cục trong không gian mẫu không thuộc A; A là nhiệt độ lớn hơn 50°C, nên phần còn lại là nhiệt độ nhỏ hơn hoặc bằng 50°C, và A cùng A' phủ kín mọi giá trị đo được mà không chồng lên nhau. Phương án "A': The temperature of the liquid is lower than 50°C" bỏ sót đúng giá trị 50°C, kết cục không thuộc A nên phải nằm trong biến cố bù. Phương án "A': The temperature of the liquid is higher than 50°C" chính là biến cố A, không phải phần bù. Phương án "A': The temperature of the liquid is equal to 50°C" chỉ là một phần nhỏ của biến cố bù, thiếu toàn bộ các nhiệt độ dưới 50°C.

Đáp án đúng: "{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}". Mỗi lần tung có 2 kết quả nên ba lần tung có 2³ = 8 kết quả, và không gian mẫu (sample space) phải liệt kê đủ 8 dãy, mỗi dãy đúng một lần. Tập "{HTT, THT, HTH, HHH, TTH, TTT}" chỉ có 6 phần tử, thiếu HHT và THH. Tập "{HHH, TTT, THT, HTH, HHT, TTH, HTH}" có 7 mục nhưng HTH bị viết hai lần, đồng thời thiếu HTT và THH. Tập "{HHH, HTT, HTH, TTT, HTT, THH, HHT, THT}" có 8 mục nhưng HTT lặp lại và thiếu TTH, nên vẫn chỉ có 7 kết quả khác nhau. Vì đã có tập liệt kê đầy đủ nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "All of the others". Mỗi người chọn ngẫu nhiên độc lập một số từ 1 tới 8, nên không gian mẫu gồm 8·8 = 64 cặp có thứ tự đồng khả năng, và xác suất mỗi sự kiện bằng số cặp thuận lợi chia 64. "P (both numbers match) = 8/64" đúng vì có 8 cặp trùng nhau (1,1), (2,2), …, (8,8). "P (you pick 5 and your friend picks 8) = 1/64" đúng vì chỉ có một cặp có thứ tự (5, 8); nếu không quan tâm thứ tự thì mới là 2/64. "P (sum of the two numbers picked is < 4) = 3/64" đúng vì tổng nhỏ hơn 4 chỉ gồm các cặp (1,1), (1,2), (2,1). Ba phát biểu đều đúng, nên chọn riêng bất kỳ một trong số đó là chưa đầy đủ; câu hỏi yêu cầu phát biểu TRUE bao quát nhất, và đó là phương án gộp tất cả. Lưu ý vì số của bạn viết trước, cặp (1,2) và (2,1) là hai kết quả khác nhau.