Câu hỏi: MAS291 - Chương 11: Hồi quy tuyến tính đơn và tương quan

Đáp án đúng: "x". Đường hồi quy bình phương tối thiểu có b = Sxy/Sxx và a = ȳ − b·x̄. Với x: 0, 1, 2, 1 và y: 0, 0, 2, 2 ta có x̄ = 1, ȳ = 1; Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = (−1)(−1) + 0 + (1)(1) + 0 = 2; Sxx = Σ(x − x̄)² = 1 + 0 + 1 + 0 = 2. Vậy b = 2/2 = 1 và a = 1 − 1·1 = 0, phương trình là ŷ = x. "2x − 1" sai vì hệ số góc 2 gấp đôi Sxy/Sxx, dù đường này vẫn đi qua điểm trung bình (1, 1). "0.2x + 0.5" sai vì tại x̄ = 1 cho ŷ = 0.7 ≠ ȳ = 1, trong khi đường hồi quy luôn đi qua (x̄, ȳ). "−x + 2.4" sai vì có hệ số góc âm, ngược với Sxy = 2 > 0, và tại x = 1 cho 1.4. "None of the other choices is correct" sai vì ŷ = x có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "The slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−1". Câu hỏi tìm phát biểu SAI. Trong hồi quy tuyến tính đơn, β̂₁ = Sxy/Sxx; phương sai sai số được ước lượng bằng σ̂² = SSE/(n − 2) vì đã mất hai bậc tự do cho β̂₀ và β̂₁, nên đại lượng chuẩn hoá T = (β̂₁ − β₁)/se(β̂₁) có phân phối t với n − 2 bậc tự do, không bao giờ là n − 1. Phát biểu "The slope of estimated regression line is an unbiased estimator for the slope of population regression line" đúng vì E(β̂₁) = β₁ dưới giả thiết sai số trung bình bằng 0. Phát biểu "The slope of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−2" nói hơi gọn: nói chặt thì bản thân β̂₁ có phân phối chuẩn khi sai số chuẩn, còn thống kê chuẩn hoá (β̂₁ − β₁)/se(β̂₁) mới có phân phối t(n − 2); tuy nhiên số bậc tự do n − 2 là đúng, nên đây không phải phát biểu sai cần tìm, còn phát biểu ghi n − 1 thì sai ngay ở bậc tự do.

Đáp án đúng: "1.45". Từ bảng điểm của 5 sinh viên, điểm Toán X = 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và điểm Lý Y = 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Ta có x̄ = 34/5 = 6.8 và Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của hệ số góc là se(β̂₁) = √(σ̂²/Sₓₓ) = 1.43/√13.8 = 1.43/3.7148 = 0.3849, nên T₀ = (β̂₁ − 0)/se(β̂₁) = 0.56/0.3849 = 1.4548 ≈ 1.45, so với phân phối t với n − 2 = 3 bậc tự do. "1.66" chỉ ra được nếu √Sₓₓ ≈ 4.24, tức Sₓₓ ≈ 18, lớn hơn tổng bình phương độ lệch thật 13.8. "1.86" đòi Sₓₓ ≈ 22.6, gần như gấp rưỡi giá trị đúng. "2.06" đòi Sₓₓ ≈ 27.7, gấp đôi giá trị đúng. Lưu ý Sₓₓ chỉ dùng cột X; cột Y chỉ cần cho việc ước lượng β̂₁ và σ̂, đã được cho sẵn.

Đáp án đúng: "−0.755". Hệ số tương quan mẫu là r = Sxy/√(Sxx·Syy), với n = 8: Sxx = Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n = 380 − 52²/8 = 42; Syy = Σyᵢ² − (Σyᵢ)²/n = 7007 − 225²/8 = 678.875; Sxy = Σxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ/n = 1335 − 52·225/8 = −127.5. Vậy r = −127.5/√(42·678.875) = −127.5/168.86 = −0.755: tuần tra càng nhiều thì số vụ phạm tội báo cáo càng có xu hướng giảm. Phương án "0.755" có đúng độ lớn nhưng sai dấu, trong khi Sxy âm buộc r âm. Phương án "0.486" vừa dương vừa không khớp độ lớn của phép tính. Phương án "−0.897" có dấu đúng nhưng độ lớn sai, |r| tính được là 0.755. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì −0.755 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "None of the other choices is correct". Hồi quy y theo x dùng β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Với n = 8: Sxx = 32894 − 492²/8 = 32894 − 30258 = 2636; Sxy = 21087 − 492·379/8 = 21087 − 23308.5 = −2221.5; β̂₁ = −2221.5/2636 = −0.8428. Trung bình x̄ = 61.5, ȳ = 47.375, nên β̂₀ = 47.375 + 0.8428·61.5 = 47.375 + 51.829 = 99.204. Vì β̂₁ âm và x̄ dương, tung độ gốc phải lớn hơn ȳ = 47.375. "15.439" nhỏ hơn 47.375 nên trái với dấu của hệ số góc. "21.146" cũng nhỏ hơn ȳ, sai cùng lý do. "63.647" chỉ đúng nếu hệ số góc là −0.2646, khác xa −0.8428 tính từ dữ liệu. "97.871" gần nhất nhưng ứng với hệ số góc −0.821 chứ không phải −0.8428, và lệch 99.204 hơn 1.3 đơn vị, không phải sai số làm tròn. Không giá trị số nào bằng 99.204 nên chọn phương án không có kết quả đúng.

Đáp án đúng: "0.406". Bảng cho điểm tiếng Anh X của năm sinh viên là 5, 6, 7, 4, 9 và điểm tiếng Trung Y là 6, 8, 5, 6, 9. Trung bình x̄ = 31/5 = 6.2, nên Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 1.44 + 0.04 + 0.64 + 4.84 + 7.84 = 14.8. Với σ = 1.56, se(β̂₁) = √(σ²/Sₓₓ) = √(2.4336/14.8) = √0.16443 ≈ 0.406. Giá trị "0.632" chỉ đạt được nếu Sₓₓ ≈ 6.09, giá trị "0.714" ứng với Sₓₓ ≈ 4.77, còn "0.831" ứng với Sₓₓ ≈ 3.52; cả ba đều nhỏ hơn nhiều so với tổng bình phương độ lệch thật 14.8 tính từ bảng, nên không khớp số liệu. Lưu ý chỉ dùng cột X để tính Sₓₓ; cột Y chỉ cần cho Sxy và độ dốc β̂₁ = 7.2/14.8 ≈ 0.486, không tham gia vào sai số chuẩn của độ dốc khi σ đã cho.

Đáp án đúng: "0.38". Kiểm định hệ số chặn (y-intercept) dùng t₀ = (β̂₀ − β₀,₀)/se(β̂₀). Trong bảng, hàng Intercept cho Coefficients = 7.895 và Standard Error = 3.66, còn giá trị giả thuyết là 6.5, nên t₀ = (7.895 − 6.5)/3.66 = 1.395/3.66 ≈ 0.38, so với phân phối t có n − 2 = 48 bậc tự do. Giá trị "2.13" không khớp hàng Intercept: ngay cả thống kê cho giả thuyết hệ số chặn bằng 0 cũng là 7.895/3.66 ≈ 2.16, còn với mốc 6.5 thì chỉ là 0.38. Giá trị "0.73" không suy ra được từ hàng Intercept: muốn ra số này thì sai số chuẩn phải vào khoảng 1.9, chỉ bằng khoảng một nửa con số 3.66 trong bảng. Giá trị "0.11" cũng không khớp, nó đòi hiệu số tử số chỉ khoảng 0.4 thay vì 1.395. Hàng X-Variable 1 với 0.957 và 0.21 là của độ dốc, không dùng ở đây. Có số đúng nên "None of the other choice is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "the change in Y which the model predicts for a unit change in X". Trong mô hình hồi quy tuyến tính đơn Y = β₀ + β₁X + ε, hệ số góc (slope) β₁ là lượng thay đổi của giá trị dự báo E(Y) khi X tăng thêm một đơn vị; ước lượng của nó là β̂₁ = Sxy/Sxx. "the change in X which the model predicts for a unit change in Y" đảo vai hai biến: mô hình hồi quy Y theo X không dự báo X, và hệ số của hồi quy ngược X theo Y nói chung khác 1/β̂₁. "the value of Y for any given value of X" là cả phương trình dự báo ŷ = β̂₀ + β̂₁x chứ không riêng hệ số góc. "the ratio Y/X" sai vì hệ số góc là tỉ số các độ thay đổi ΔY/ΔX; Y/X chỉ trùng với nó khi đường thẳng đi qua gốc toạ độ. "None of the other choices is correct" sai vì đã có mô tả đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Đường hồi quy bình phương tối thiểu có β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Với x = 3, 4, 5 và y = 28, 30, 23: x̄ = 4, ȳ = 27; Sxx = (−1)² + 0² + 1² = 2; Sxy = (−1)(1) + 0·3 + (1)(−4) = −5; nên β̂₁ = −5/2 = −2.5 và β̂₀ = 27 − (−2.5)·4 = 37, tức ŷ = 37 − 2.5x. Một cách kiểm nhanh là đường hồi quy luôn đi qua điểm (x̄, ȳ) = (4, 27). "(ii)" ŷ = 34 − 3.2x cho ŷ(4) = 21.2 ≠ 27. "(iii)" ŷ = 50 − 3.5x cho ŷ(4) = 36 ≠ 27. "(iv)" ŷ = 35 − 3.5x cho ŷ(4) = 21 ≠ 27, đồng thời độ dốc −3.5 khác −2.5. Vì (i) đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.1455". Tổng bình phương toàn phần SS(T), còn gọi là Syy, đo độ biến thiên của riêng biến phụ thuộc y: SS(T) = Σ(yᵢ − ȳ)² = Σyᵢ² − (Σyᵢ)²/n. Ở đây Σy = 9.81, ȳ = 1.962, Σy² = 19.3927, (Σy)²/5 = 96.2361/5 = 19.24722, nên SS(T) = 19.3927 − 19.24722 = 0.14548 ≈ 0.1455; tuổi x không tham gia vào SS(T). "0.1595" là hệ số góc β̂₁ = Sxy/Sxx = 0.909/5.7 = 0.1595. "1.6271" là hệ số chặn β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄ = 1.962 − 0.1595·2.1 = 1.6271. "0.9982" là hệ số tương quan r = Sxy/√(Sxx·Syy), không phải tổng bình phương. Đã tính được 0.1455 nên "None of the other choices is correct." không được chọn. Thêm: SSR = Sxy²/Sxx = 0.1450 nên SSE chỉ khoảng 0.0005, mô hình khớp rất sát.

Đáp án đúng: "13.3561". Muốn biết SALARY có phụ thuộc tuyến tính vào HOURS hay không là kiểm định t cho hệ số góc H₀: β₁ = 0, với thống kê t₀ = β̂₁/se(β̂₁) có n − 2 = 49 bậc tự do. Trong bảng hệ số, dòng Hours cho Coefficients 0.9795, Standard Error 0.0733 và cột t Stat 13.3561; kiểm lại 0.9795/0.0733 ≈ 13.36, và F = 178.3859 ≈ 13.3561². Có ý kiến chọn "0.9795", nhưng đó là hệ số góc ước lượng β̂₁ (lương tăng khoảng 0.98 nghìn đô mỗi giờ học), không phải thống kê kiểm định. Phương án "−4.7134" là t Stat của dòng Intercept, dùng để kiểm định hệ số chặn β₀ = 0. Phương án "−1.8940" là hệ số chặn ước lượng. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì t Stat 13.3561 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "strong negative linear correlation". Hệ số tương quan r luôn nằm trong [−1, 1]; dấu của r cho biết chiều quan hệ tuyến tính và trị tuyệt đối |r| cho biết mức độ chặt. Ở đây r = −0.97: dấu âm nghĩa là số năm làm việc tăng thì thu nhập có xu hướng giảm, và |r| = 0.97 rất gần 1 nên các điểm bám sát một đường thẳng dốc xuống, tức tương quan tuyến tính âm mạnh. Phương án "weak negative linear correlation" đúng chiều nhưng sai mức độ, chỉ phù hợp khi |r| nhỏ, chẳng hạn khoảng 0.2 đến 0.3. Phương án "strong positive linear correlation" đúng mức độ nhưng sai chiều, cần r gần +1. Phương án "weak positive linear correlation" sai cả chiều lẫn mức độ, ứng với r dương và nhỏ.

Đáp án đúng: "85.18 − 1.51x". Bình phương tối thiểu cho b = Sxy/Sxx và a = ȳ − b·x̄. Với x: 12, 15, 20, 25 và y: 69, 60, 55, 48 thì x̄ = 72/4 = 18, ȳ = 232/4 = 58, Sxx = Σx² − n·x̄² = 1394 − 4·324 = 98, Sxy = Σxy − n·x̄·ȳ = 4028 − 4·18·58 = −148. Do đó b = −148/98 ≈ −1.51 và a = 58 + 1.5102·18 ≈ 85.18, nên ŷ = 85.18 − 1.51x. Độ dốc âm hợp lý vì giá cao thì bán được ít bút. Biểu thức "85.18 + 1.51x" sai dấu độ dốc, cho ra quan hệ đồng biến trái với số liệu. Biểu thức "85.18x − 1.51" đổi chỗ hệ số chặn và độ dốc. Biểu thức "85.18x + 1.51" vừa đổi chỗ vừa sai dấu. Vì có mô hình đúng nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "2.700". Tổng bình phương sai số SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)². Thay x vào ŷ = 1.6 + 1.1x được các giá trị dự báo 1.6, 2.7, 3.8, 6.0, 7.1; phần dư (residual) tương ứng là 1 − 1.6 = −0.6, 3 − 2.7 = 0.3, 4 − 3.8 = 0.2, 7 − 6.0 = 1.0, 6 − 7.1 = −1.1. Bình phương lên được 0.36, 0.09, 0.04, 1.00, 1.21, cộng lại SSE = 2.70. Tổng phần dư bằng −0.6 + 0.3 + 0.2 + 1.0 − 1.1 = −0.2, gần 0 như mong đợi với đường bình phương tối thiểu đã làm tròn hệ số. Giá trị "3.018" lớn hơn tổng các bình phương phần dư thực tế, không khớp phép cộng trên. Giá trị "1.837" lại nhỏ hơn tổng đó, và cũng không phải ước lượng phương sai σ̂² = SSE/(n − 2) = 2.7/3 = 0.9. Giá trị "4.550" quá lớn so với các phần dư đều dưới 1.1 về độ lớn. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "1.18". Từ bảng, điểm Toán X của 5 sinh viên là 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5, nên n = 5, x̄ = 34/5 = 6.8 và Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Cột điểm Tài chính Y không cần dùng thêm vì β̂₀ = 3.18 và σ̂ = 1.43 đã cho. Sai số chuẩn của β̂₀ là √(σ̂²(1/n + x̄²/Sₓₓ)) = √(1.43²·(0.2 + 46.24/13.8)) = 1.43·√3.5507 ≈ 2.695. Với β₀,₀ = 0, T₀ = 3.18/2.695 ≈ 1.18. "1.38" ứng với mẫu số khoảng 2.30, tức sai số chuẩn bị tính nhỏ đi. "1.58" ứng với mẫu số khoảng 2.01, còn lệch xa hơn. "1.78" ứng với mẫu số khoảng 1.79, gần như chỉ còn σ̂ nhân một hệ số nhỏ, bỏ mất phần lớn của số hạng x̄²/Sₓₓ.

Đáp án đúng: "a strong linear relationship and as X increases, Y increases". Hệ số tương quan r đo mức độ và chiều của quan hệ tuyến tính: |r| càng gần 1 thì các điểm càng sát một đường thẳng, dấu của r cho chiều. r dương và gần 1 nghĩa là quan hệ tuyến tính mạnh và đồng biến: X tăng thì Y có xu hướng tăng. "a weak linear relationship and as X increases, Y decreases" sai cả hai mặt: r gần 1 là mạnh chứ không yếu, và r dương là đồng biến chứ không nghịch biến. "a weak linear relationship and as X increases, Y increases" đúng chiều nhưng sai mức độ, vì quan hệ yếu ứng với r gần 0. "a strong linear relationship and as X increases, Y decreases" đúng mức độ nhưng sai chiều; nó mô tả r âm và gần −1. "None of the other choices is correct" sai vì đã có mô tả đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Đường hồi quy ước lượng là ŷ = β̂₀ + β̂₁x với β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Từ dữ liệu, x̄ = 152/4 = 38, ȳ = 392/4 = 98; độ lệch của x là −2.5, 5, 2.5, −5 nên Sxx = 6.25 + 25 + 6.25 + 25 = 62.5; độ lệch của y là 12, 15, −23, −4 nên Sxy = −30 + 75 − 57.5 + 20 = 7.5. Do đó β̂₁ = 7.5/62.5 = 0.12 và β̂₀ = 98 − 0.12·38 = 93.44, được ŷ = 93.44 + 0.12x. "(ii)" đảo vai trò hệ số chặn và hệ số góc, đặt 0.12 làm hằng số và 93.44 làm hệ số của x. "(iii)" có hệ số chặn 0.12 và hệ số góc 0.93 không khớp công thức nào; với hệ số chặn nhỏ như vậy đường thẳng đi xa trung bình (38, 98). Đã có đường đúng nên "None of them." không được chọn.

Đáp án đúng: "The y-intercept of estimated regression line has Student’s t-distribution with degree of freedom n−1". Trong hồi quy tuyến tính đơn, hệ số chặn ước lượng β̂₀ có phân phối chuẩn với kỳ vọng β₀; khi thay σ bằng σ̂ với σ̂² = SSE/(n − 2), đại lượng chuẩn hoá (β̂₀ − β₀)/se(β̂₀) có phân phối t với n − 2 bậc tự do, vì mô hình đã ước lượng hai tham số. Vì vậy phát biểu dùng n − 1 bậc tự do là SAI, đó là bậc tự do của bài toán một trung bình. Phát biểu "is an unbiased estimator for the y-intercept of population regression line" là đúng vì E(β̂₀) = β₀ nên không được chọn. Phát biểu "has Student’s t-distribution with degree of freedom n−2" là đúng theo nghĩa đại lượng chuẩn hoá của hệ số chặn dùng t với n − 2 bậc tự do khi kiểm định và lập khoảng tin cậy, nên cũng không được chọn.

Đáp án đúng: "0.9". Từ bảng điểm của 5 sinh viên, điểm Toán X là 5, 6.5, 8, 4, 8.5 và điểm Vật lý Y là 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Trung bình x̄ = 32/5 = 6.4, nên Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 1.96 + 0.01 + 2.56 + 5.76 + 4.41 = 14.7. Thống kê kiểm định cho H₀: β₁ = 0 là T₀ = (β̂₁ − 0)/√(σ̂²/Sₓₓ) = 0.39/√(1.66²/14.7) = 0.39/(1.66/3.834) = 0.39/0.433 ≈ 0.90. Giá trị "1.5" đòi hỏi sai số chuẩn của β̂₁ chỉ 0.26, tức Sₓₓ khoảng 40.8, gần gấp ba Sₓₓ thật. Giá trị "1.9" và "2.5" còn lớn hơn nữa, ứng với sai số chuẩn 0.205 và 0.156, không đúng với σ̂ = 1.66 và Sₓₓ = 14.7. Với T₀ ≈ 0.9 và 3 bậc tự do, thống kê này nhỏ nên không đủ bằng chứng bác H₀.

Đáp án đúng: "positive linear correlation". Trong đường hồi quy ŷ = b₀ + b₁x, dấu của hệ số góc b₁ luôn cùng dấu với hệ số tương quan r, vì b₁ = r·(s_y/s_x) và độ lệch chuẩn luôn dương. Ở đây b₁ = 0.00014 > 0 nên tương quan tuyến tính dương: x tăng một đơn vị thì ŷ tăng trung bình 0.00014. Độ lớn rất nhỏ của 0.00014 không nói gì về độ mạnh của tương quan, vì hệ số góc phụ thuộc đơn vị đo của x và y; muốn biết mạnh hay yếu phải xem r hoặc r². Hệ số chặn 2.53 chỉ là giá trị dự đoán khi x = 0, không quyết định chiều quan hệ. "negative linear correlation" sai vì tương quan âm đòi hỏi hệ số góc âm, tức ŷ giảm khi x tăng, trong khi phương trình đã cho có hệ số góc dương.