Câu hỏi: MAS291 - Chương 11: Hồi quy tuyến tính đơn và tương quan

Đáp án đúng: "0.0038 and 0.069". Ước lượng bình phương tối thiểu dùng β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Tính Sxx = Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n = 532000 − 2000²/10 = 132000 và Sxy = Σxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ/n = 2175.4 − 2000·8.35/10 = 505.4, nên β̂₁ = 505.4/132000 ≈ 0.003829. Với x̄ = 200, ȳ = 0.835 thì β̂₀ = 0.835 − 0.003829·200 ≈ 0.0692. Cặp "0.038 and 0.069" có độ dốc lớn gấp 10 lần, sai vị trí dấu thập phân. Cặp "0.0038 and 0.075" đúng độ dốc nhưng hệ số chặn lệch, có lẽ do làm tròn độ dốc về 0.0038 trước khi nhân 200 (0.835 − 0.76 = 0.075); nên giữ đủ chữ số tới bước cuối. Cặp "0.038 and 0.69" sai cả hai đúng gấp 10 lần. Có cặp đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "92.0326". Trong bảng ANOVA của hồi quy, tổng bình phương toàn phần tách thành SST = SSR + SSE. Cột SS cho hàng Regression là 335.0472 và hàng Total là 427.0798, còn ô SS của hàng Residual bị xoá, nên SSE = 427.0798 − 335.0472 = 92.0326. Kiểm tra chéo: bậc tự do Residual là 50 − 1 = 49, MSE = 92.0326/49 ≈ 1.8782, khớp ô MS của Residual, và Standard Error 1.3704 đúng bằng √1.8782. "1.8782" là MS Residual, tức SSE đã chia cho bậc tự do, không phải tổng bình phương. "427.0798" là SST ở hàng Total, gồm cả phần mô hình giải thích được. "335.0472" là SSR ở hàng Regression, phần biến thiên do mô hình giải thích. "None of the other choices is correct" sai vì 92.0326 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "−1.25". Kiểm định H₀: β₁ = 1 với H₁: β₁ < 1 dùng t₀ = (β̂₁ − 1)/se(β̂₁). Ở hàng X Variable 1 của bảng hệ số, cột Coefficients cho β̂₁ = 0.615384615 và cột Standard Error cho se(β̂₁) = 0.307050613, nên t₀ = (0.615384615 − 1)/0.307050613 = −0.384615385/0.307050613 ≈ −1.25. "2.00" sai vì đó là ô t Stat của chính hàng này, 0.615384615/0.307050613 ≈ 2.004, vốn dành cho H₀: β₁ = 0 chứ không phải β₁ = 1. "−0.81" sai vì đó là t Stat của hàng Intercept (0.805268042) đổi dấu, thuộc hệ số chặn. "2.67" sai vì không ra từ ô nào của hàng X Variable 1 với giá trị giả thuyết 1. "None of the other choices is true" sai vì −1.25 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "r = 0.802, positive correlation". Hệ số tương quan mẫu r = Sxy/√(Sxx·Syy). Cân nặng 60, 45, 58, 53 có trung bình 54; huyết áp 125, 100, 110, 100 có trung bình 108.75. Tính được Sxy = 190, Sxx = 134, Syy = 418.75, nên r = 190/√(134·418.75) ≈ 0.802. r dương nghĩa là cân nặng cao thường đi với huyết áp cao, tức tương quan dương. "r = −0.802, negative correlation" sai dấu vì Sxy dương. "r = 0.802, negative correlation" mâu thuẫn nội tại: dấu của r quyết định hướng tương quan, r dương không thể là tương quan âm. "r = −0.802, positive correlation" cũng mâu thuẫn theo chiều ngược lại và sai dấu. Vì phương án đúng có trong danh sách nên "None of the other choice is correct" sai.

Đáp án đúng: "the values of one variable tend to decrease as the values of the other variable increase.". Hai biến có liên hệ nghịch (negative association) khi một biến tăng thì biến kia có xu hướng giảm; trên biểu đồ phân tán các điểm đi xuống từ trái sang phải và hệ số tương quan âm. Phương án "the values of one variable tend to increase as the values of the other variable increase" mô tả liên hệ thuận (positive association). Phương án "tend to increase irregardless of how the values of the other variable change" mô tả trường hợp hai biến không liên hệ, một biến thay đổi độc lập với biến kia. Phương án "the values of both variables are always negative." nhầm dấu của giá trị với chiều của liên hệ; hai biến toàn số dương vẫn có thể liên hệ nghịch. Phương án "None of the other choices is correct." sai vì định nghĩa đúng đã có sẵn.

Đáp án đúng: "0.38". Từ bảng điểm 5 sinh viên, điểm Toán X là 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và điểm Tài chính Y là 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Trung bình x̄ = 34/5 = 6.8, nên Sₓₓ = Σ(xᵢ − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của hệ số góc là se(β̂₁) = √(σ²/Sₓₓ) = √(1.43²/13.8) = 1.43/3.715 ≈ 0.385, làm tròn 0.38. Giá trị "0.48" lớn hơn kết quả, ứng với Sₓₓ khoảng 8.9, không khớp với độ phân tán của điểm Toán. Giá trị "0.28" và "0.18" nhỏ hơn hẳn, ứng với Sₓₓ khoảng 26 và 63, gấp đôi tới gấp năm lần Sₓₓ thật nên không khớp số liệu. Chú ý se(β̂₁) chỉ phụ thuộc σ và độ trải của X, không phụ thuộc Y.

Đáp án đúng: "(iv)". Trong hồi quy tuyến tính đơn, kiểm định hệ số góc dùng t₀ = (β̂₁ − β₁,₀)/se(β̂₁) với se(β̂₁) = √(σ̂²/Sxx) và σ̂² = SSE/(n − 2). Bậc tự do là n − 2 vì đã ước lượng hai tham số β₀ và β₁ từ dữ liệu. Đối thuyết hai phía H₁: β₁ ≠ β₁,₀ nên bác H₀ khi t₀ rơi vào một trong hai đuôi, tức |t₀| > t(α/2, n−2), đúng biểu thức (iv). "(i)" đúng chiều so sánh nhưng dùng n − 1 bậc tự do, là bậc tự do của kiểm định trung bình một mẫu chứ không phải của hồi quy. "(ii)" dùng đúng n − 2 nhưng đảo chiều bất đẳng thức; |t₀| nhỏ hơn giá trị tới hạn là vùng không bác bỏ. "(iii)" sai cả hai mặt, vừa đảo chiều vừa dùng n − 1. "None of the other choices is correct" sai vì (iv) là quy tắc đúng.

Đáp án đúng: "Reject Ho". Kiểm định H₀ : ρ = 0 dùng thống kê t₀ = r√(n − 2)/√(1 − r²) với n − 2 = 25 bậc tự do. Thay số: t₀ = 0.85·√25/√(1 − 0.7225) = 4.25/0.5268 ≈ 8.07. Đây là kiểm định hai phía ở α = 0.05 nên so |t₀| với t(0.025, 25) = 2.060; vì 8.07 > 2.060 nên bác bỏ H₀, kết luận có tương quan tuyến tính khác 0 giữa x và y. Kết quả này cũng tương đương với kiểm định độ dốc β̂₁ = 0 trong hồi quy đơn. Kết luận "Do not reject Ho" chỉ đúng khi |t₀| ≤ 2.060, tức tương quan mẫu phải yếu hơn nhiều; với 27 cặp dữ liệu, chỉ cần |r| khoảng 0.38 trở lên đã đủ bác H₀, mà 0.85 vượt xa mức đó.

Đáp án đúng: "Error sum of squares". Phương pháp bình phương tối thiểu (least squares) chọn β̂₀, β̂₁ để cực tiểu tổng bình phương phần dư SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)², từ đó ra β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. "Total sum of squares" là SST = Σ(yᵢ − ȳ)², chỉ phụ thuộc dữ liệu y và không đổi khi thay đường thẳng, nên không có gì để cực tiểu. "Regression sum of squares" là SSR = SST − SSE; khi SSE nhỏ nhất thì SSR lại lớn nhất, nên nó bị cực đại chứ không bị cực tiểu. "All of the other choices are true" sai vì chỉ có SSE là đại lượng được cực tiểu, hai đại lượng kia thì không.

Đáp án đúng: "(iii)". Trong hồi quy tuyến tính đơn, phương sai của hệ số góc là V(β̂₁) = σ²/Sₓₓ; thay σ² bằng ước lượng σ̂² = SSE/(n − 2) rồi lấy căn được sai số chuẩn ước lượng se(β̂₁) = √(σ̂²/Sₓₓ), chính là đại lượng dùng trong t₀ = β̂₁/se(β̂₁). "(i)" sai vì gán cho β̂₁ công thức √(σ̂²[1/n + x̄²/Sₓₓ]) vốn là sai số chuẩn của hệ số chặn. "(ii)" sai vì σ̂²/Sₓₓ là phương sai ước lượng của β̂₁ (chưa lấy căn), lại còn ghi cho β̂₀. "(iv)" là công thức đúng nhưng của se(β̂₀), hệ số chặn, không phải hệ số góc mà câu hỏi hỏi. "None of the other choices is correct" sai vì công thức đúng có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.8". Bảng điểm của 5 sinh viên: Toán X là 7.5, 6.5, 6, 4.5, 9.5 và Lý Y là 6, 8.5, 5.5, 6, 9. Thống kê kiểm định cho hệ số chặn là T₀ = (β̂₀ − β₀,₀)/√(σ̂²(1/n + x̄²/Sₓₓ)), có n − 2 = 3 bậc tự do. Tính x̄ = 34/5 = 6.8; Sₓₓ = Σ(x − x̄)² = 0.49 + 0.09 + 0.64 + 5.29 + 7.29 = 13.8. Sai số chuẩn của β̂₀ là √(1.43²·(1/5 + 6.8²/13.8)) = 1.43·√(0.2 + 3.3507) ≈ 2.695. Do đó T₀ = (3.18 − 1)/2.695 ≈ 0.81, làm tròn 0.8. "2.5" khớp với việc dùng nhầm Σx² = 245 thay cho Sₓₓ (mẫu số còn 1.43·√(0.2 + 46.24/245) ≈ 0.89, T₀ ≈ 2.45), "1.8" khớp với việc dùng x̄ thay cho x̄² (mẫu số 1.43·√(0.2 + 6.8/13.8) ≈ 1.19, T₀ ≈ 1.83), còn "1.3" đòi mẫu số khoảng 1.68, không khớp cách thay số nào của công thức; khi x̄ = 6.8 xa 0, số hạng x̄²/Sₓₓ = 3.35 chiếm phần lớn biểu thức dưới căn nên hệ số chặn ước lượng kém chính xác. Giá trị 0.8 nhỏ so với t tới hạn nên không bác H₀: β₀ = 1.

Đáp án đúng: "0.948". Hệ số tương quan mẫu r = Sxy/√(Sxx·Syy). Với x̄ = 12/4 = 3 và ȳ = 288/4 = 72: độ lệch của x là −1, −1, 0, 2 nên Sxx = 6; độ lệch của y là −41, −36, 22, 55 nên Syy = 1681 + 1296 + 484 + 3025 = 6486; Sxy = 41 + 36 + 0 + 110 = 187. Do đó r = 187/√(6·6486) = 187/197.27 = 0.948, quan hệ tuyến tính dương rất mạnh giữa đường kính gốc và chiều cao cây. "0.899" là r² = 0.948² ≈ 0.899, hệ số xác định, không phải hệ số tương quan. "0.245" chỉ một quan hệ tuyến tính yếu, trái với dữ liệu y tăng mạnh và đều theo x. "0.764" thấp hơn rõ so với giá trị tính đúng từ Sxx, Syy, Sxy. Đã có 0.948 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.