Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 2

Đáp án đúng: "(iv)". Đối thuyết H₁: μ ≠ 0.80 là kiểm định hai phía (two-tailed), nên mức ý nghĩa α = 0.05 chia đều hai đuôi, mỗi đuôi 0.025, và với x̄ xấp xỉ chuẩn thì miền bác bỏ là |z₀| > z₀.₀₂₅ = 1.96. Phương án "(i)" là z₀ < −1.645, miền bác bỏ của kiểm định đuôi trái H₁: μ < 0.80 ở α = 0.05, chỉ xét một phía. Phương án "(ii)" là z₀ > 1.96, chỉ có đuôi phải nên bỏ sót trường hợp x̄ nhỏ hơn hẳn 0.80, và mức ý nghĩa thực tế khi đó chỉ còn 0.025. Phương án "(iii)" là |z₀| > 1.645, có đủ hai phía nhưng dùng z₀.₀₅ ở mỗi đuôi nên tổng mức ý nghĩa là 0.10 chứ không phải 0.05. Vì đã có miền bác bỏ đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "−1.874". Đây là kiểm định t một mẫu vì tổng thể chuẩn, σ chưa biết và n = 15 nhỏ: H₀: μ = 29 với đối thuyết H₁: μ < 29 (công ty nói tăng ít nhất 29 kWh, kỹ thuật viên nghi thấp hơn). Thống kê t₀ = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (26 − 29)/(6.2/√15) = −3/1.6008 = −1.874, với n − 1 = 14 bậc tự do. "1.874" đúng độ lớn nhưng sai dấu; x̄ = 26 nhỏ hơn μ₀ = 29 nên tử số âm và t₀ phải âm. "1.240" vừa sai dấu vừa sai độ lớn; nó bằng 6.2/5, một phép chia không có trong công thức, chứ không phải chênh lệch chuẩn hoá. "−1.240" đúng dấu nhưng độ lớn cũng chỉ là con số 6.2/5 đó, không phải hiệu −3 chia cho sai số chuẩn 1.6008. Dấu của t₀ quan trọng vì với kiểm định một phía bên trái, ta so t₀ với −t(α; 14); giá trị dương sẽ không bao giờ nằm trong miền bác bỏ.

Đáp án đúng: "0.0594". Đây là kiểm định một tỉ lệ một phía trái: H₀ : p = 0.15, H₁ : p < 0.15. Thống kê kiểm định Z₀ = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) = (0.1222 − 0.15)/√(0.15·0.85/400) = −0.0278/0.01785 ≈ −1.56. Với đối thuyết phía trái, p-value = P(Z < −1.56) = 1 − P(Z < 1.56) = 1 − 0.9406 = 0.0594. Giá trị "0.1190" là P(Z < −1.18), ứng với một thống kê kiểm định khác, không phải −1.56 tính từ số liệu này. Giá trị "−1.56" là chính thống kê kiểm định Z₀; p-value là xác suất nên không thể âm. Giá trị "0.9406" là P(Z < 1.56), tức diện tích phía phải của −1.56, là p-value của đối thuyết p > 0.15 chứ không phải p < 0.15.

Đáp án đúng: "1.359". Biết σ₁, σ₂ nên dùng z; cận dưới tin cậy (lower confidence bound) một phía mức 98% là μ₁ − μ₂ ≥ (x̄₁ − x̄₂) − z₀.₀₂·√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Thay số: x̄₁ − x̄₂ = 4.3, √(16/20 + 25/20) = √2.05 ≈ 1.4318, nên cận dưới = 4.3 − 2.054·1.4318 ≈ 4.3 − 2.941 = 1.359. Một phía nên toàn bộ α = 0.02 dồn vào một đuôi, dùng z₀.₀₂ chứ không chia đôi. Giá trị "0.97" dùng z₀.₀₁ = 2.326, tức hệ số của khoảng hai phía 98%, áp sai cho cận một phía. Giá trị "0.822" dùng t(0.01, 38) = 2.429, vừa sai mức vừa dùng t khi σ đã biết. Giá trị "1.255" dùng t(0.02, 38) = 2.127, đúng mức một phía nhưng sai phân phối vì σ đã biết thì không cần t. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "(0.627, 1.613)". Hai tổng thể chuẩn có cùng phương sai nên dùng phương sai gộp s_p² = ((n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²)/(n₁ + n₂ − 2) = (11·0.4 + 9·0.5)/20 = 0.445, s_p ≈ 0.6671, với 20 bậc tự do. Khoảng 90% hai phía: (x̄₁ − x̄₂) ± t(0.05, 20)·s_p·√(1/n₁ + 1/n₂) = 1.12 ± 1.725·0.6671·√(1/12 + 1/10) = 1.12 ± 1.725·0.2856 ≈ 1.12 ± 0.493, tức (0.627, 1.613). "(0.742, 1.498)" dùng t(0.1, 20) = 1.325, cho bán kính 0.378, là khoảng 80% chứ không phải 90%. "(0.622, 1.618)" có bán kính 0.498, ứng với sai số chuẩn không gộp √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) ≈ 0.2887, trái giả thiết cùng phương sai. "(0.789, 1.449)" có bán kính chỉ 0.33, hẹp hơn mọi cách tính hợp lý với các phân vị đề cho. "None of the other choices is correct" sai vì khoảng đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "3.35". Kiểm định H₀: p₁ = p₂ dùng tỷ lệ gộp p̂ = (X₁ + X₂)/(n₁ + n₂) và Z₀ = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂)). Ở đây p̂₁ = 420/500 = 0.84, p̂₂ = 300/400 = 0.75, p̂ = 720/900 = 0.8; mẫu số = √(0.8·0.2·(0.002 + 0.0025)) = √0.00072 ≈ 0.026833, nên Z₀ = 0.09/0.026833 ≈ 3.35. Dùng tỷ lệ gộp vì dưới H₀ hai tỷ lệ bằng nhau. "1.68" sai vì chỉ bằng một nửa 3.35, kiểu nhân đôi mẫu số. "2.98" sai vì không ra từ công thức gộp, cũng không khớp với bản không gộp √(p̂₁(1 − p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 − p̂₂)/n₂), vốn cho khoảng 3.31. "3.02" sai vì cũng không khớp với cả hai cách tính sai số chuẩn. "None of the other choices is correct" sai vì 3.35 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "(i)". Đường hồi quy bình phương tối thiểu có β̂₁ = Sxy/Sxx và β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Với x = 3, 4, 5 và y = 28, 30, 23: x̄ = 4, ȳ = 27; Sxx = (−1)² + 0² + 1² = 2; Sxy = (−1)(1) + 0·3 + (1)(−4) = −5; nên β̂₁ = −5/2 = −2.5 và β̂₀ = 27 − (−2.5)·4 = 37, tức ŷ = 37 − 2.5x. Một cách kiểm nhanh là đường hồi quy luôn đi qua điểm (x̄, ȳ) = (4, 27). "(ii)" ŷ = 34 − 3.2x cho ŷ(4) = 21.2 ≠ 27. "(iii)" ŷ = 50 − 3.5x cho ŷ(4) = 36 ≠ 27. "(iv)" ŷ = 35 − 3.5x cho ŷ(4) = 21 ≠ 27, đồng thời độ dốc −3.5 khác −2.5. Vì (i) đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.1455". Tổng bình phương toàn phần SS(T), còn gọi là Syy, đo độ biến thiên của riêng biến phụ thuộc y: SS(T) = Σ(yᵢ − ȳ)² = Σyᵢ² − (Σyᵢ)²/n. Ở đây Σy = 9.81, ȳ = 1.962, Σy² = 19.3927, (Σy)²/5 = 96.2361/5 = 19.24722, nên SS(T) = 19.3927 − 19.24722 = 0.14548 ≈ 0.1455; tuổi x không tham gia vào SS(T). "0.1595" là hệ số góc β̂₁ = Sxy/Sxx = 0.909/5.7 = 0.1595. "1.6271" là hệ số chặn β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄ = 1.962 − 0.1595·2.1 = 1.6271. "0.9982" là hệ số tương quan r = Sxy/√(Sxx·Syy), không phải tổng bình phương. Đã tính được 0.1455 nên "None of the other choices is correct." không được chọn. Thêm: SSR = Sxy²/Sxx = 0.1450 nên SSE chỉ khoảng 0.0005, mô hình khớp rất sát.

Đáp án đúng: "13.3561". Muốn biết SALARY có phụ thuộc tuyến tính vào HOURS hay không là kiểm định t cho hệ số góc H₀: β₁ = 0, với thống kê t₀ = β̂₁/se(β̂₁) có n − 2 = 49 bậc tự do. Trong bảng hệ số, dòng Hours cho Coefficients 0.9795, Standard Error 0.0733 và cột t Stat 13.3561; kiểm lại 0.9795/0.0733 ≈ 13.36, và F = 178.3859 ≈ 13.3561². Có ý kiến chọn "0.9795", nhưng đó là hệ số góc ước lượng β̂₁ (lương tăng khoảng 0.98 nghìn đô mỗi giờ học), không phải thống kê kiểm định. Phương án "−4.7134" là t Stat của dòng Intercept, dùng để kiểm định hệ số chặn β₀ = 0. Phương án "−1.8940" là hệ số chặn ước lượng. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì t Stat 13.3561 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "strong negative linear correlation". Hệ số tương quan r luôn nằm trong [−1, 1]; dấu của r cho biết chiều quan hệ tuyến tính và trị tuyệt đối |r| cho biết mức độ chặt. Ở đây r = −0.97: dấu âm nghĩa là số năm làm việc tăng thì thu nhập có xu hướng giảm, và |r| = 0.97 rất gần 1 nên các điểm bám sát một đường thẳng dốc xuống, tức tương quan tuyến tính âm mạnh. Phương án "weak negative linear correlation" đúng chiều nhưng sai mức độ, chỉ phù hợp khi |r| nhỏ, chẳng hạn khoảng 0.2 đến 0.3. Phương án "strong positive linear correlation" đúng mức độ nhưng sai chiều, cần r gần +1. Phương án "weak positive linear correlation" sai cả chiều lẫn mức độ, ứng với r dương và nhỏ.