Câu hỏi: MAS291 Xác suất thống kê – Bộ ôn tập cuối kỳ số 2

Đáp án đúng: "a statistic.". Thống kê (statistic) là đại lượng tính từ dữ liệu của mẫu, còn tham số (parameter) là đại lượng mô tả toàn bộ tổng thể và thường chưa biết. Tỷ lệ sinh viên đến quán bar trong 250 người được chọn là con số tính từ mẫu, dùng để ước lượng tỷ lệ thật của cả trường, nên nó là một thống kê. "a parameter." sai vì tham số ở đây là tỷ lệ thật của toàn bộ sinh viên trường, đại lượng mà hiệu trưởng muốn biết nhưng không đo trực tiếp. "a population." sai vì tổng thể (population) là tập hợp toàn bộ sinh viên của trường, không phải một con số. "a sample." sai vì mẫu (sample) là chính 250 sinh viên được chọn, còn tỷ lệ là con số tính ra từ mẫu đó. "None of the other choices is true" sai vì "thống kê" mô tả đúng con số này.

Đáp án đúng: "experiments.". Trong thống kê kỹ thuật, nghiên cứu là thí nghiệm (designed experiment) khi người làm chủ động thay đổi một yếu tố rồi quan sát phản ứng; ở đây người quản lý tự quyết định cho phát nhạc nhanh một tháng rồi nhạc chậm tháng sau, rồi so doanh thu trung bình mỗi khách, nên yếu tố âm nhạc do người nghiên cứu điều khiển. Có thể băn khoăn vì không có ngẫu nhiên hoá và yếu tố thời gian (tháng) bị trộn với loại nhạc, nên đây là thí nghiệm thiết kế chưa tốt; nhưng tiêu chí phân loại là có can thiệp chủ động, nên vẫn là thí nghiệm. "observation." là nghiên cứu quan sát, chỉ ghi nhận dữ liệu đang xảy ra mà không can thiệp vào nhạc. "retrospective" là nghiên cứu hồi cứu, dùng dữ liệu lịch sử đã có sẵn, trong khi ở đây dữ liệu được tạo mới sau khi đổi nhạc. Vì thí nghiệm có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "32". Mỗi bit có hai trạng thái, bị méo (distorted) hoặc nhận đúng, và năm bit được truyền lần lượt, nên theo quy tắc nhân số kết quả trong không gian mẫu là 2·2·2·2·2 = 2⁵ = 32; mỗi kết quả là một dãy năm ký hiệu ghi trạng thái của từng bit theo thứ tự truyền. "10" là 2·5 hoặc 2 + 2 + 2 + 2 + 2, cộng số khả năng của từng bit thay vì nhân. "2" chỉ là số trạng thái của một bit riêng lẻ. "5" là số bit được truyền; ngay cả khi chỉ đếm số bit bị méo thì cũng có sáu giá trị từ 0 tới 5, còn không gian mẫu phân biệt cả vị trí của bit bị méo nên lớn hơn nhiều. Đã có 32 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "{RR, RW, RB, WR, WW, WB, BR, BW}". Không gian mẫu (sample space) là tập mọi kết cục có thể xảy ra. Rút lần lượt hai viên không hoàn lại và ghi màu theo thứ tự, mỗi kết cục là một cặp màu; hộp có hai viên đỏ, năm viên trắng nên RR và WW đều xảy ra được, nhưng chỉ có một viên xanh nên cặp BB không thể xảy ra. Vì vậy không gian mẫu có tám kết cục như trên. Phương án "{RR, RW, RB, WR, WW, WB, BR, BW, BB}" sai vì chứa BB, kết cục không thể xảy ra khi hộp chỉ có một viên xanh. Phương án "{R, W, B}" là không gian mẫu của phép rút một viên. Phương án "{RRR, WWW, BBB}" mô tả ba lần rút cùng màu, không phải phép rút hai viên. Phương án "{2, 5, 1}" chỉ là số viên của từng màu, không phải các kết cục.

Đáp án đúng: "1/792". Năm bài được phát là một tập con 5 bài lấy từ 12 bài, và vì "theo thứ tự bất kỳ" nên chỉ quan tâm tập hợp chứ không quan tâm thứ tự. Số tập con 5 bài là tổ hợp C(12,5) = 12!/(5!·7!) = 792, các tập con đồng khả năng, và chỉ có đúng một tập là 5 bài yêu thích, nên xác suất là 1/792. Giá trị "1/95040" dùng chỉnh hợp 12·11·10·9·8 = 95040, đó là xác suất để 5 bài yêu thích được phát theo đúng một thứ tự định trước, chặt hơn yêu cầu. Giá trị "1/3991680" ứng với 12!/5! = 3991680, không phải số cách chọn 5 bài trong 12. Giá trị "5/12" là xác suất một bài cụ thể nằm trong 5 bài được phát, không phải xác suất cả 5 bài được phát đều là bài yêu thích. Vì 1/792 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "0.08". Gọi A là sự kiện ăn tối gia đình từ năm lần mỗi tuần, M là sự kiện dùng cần sa. Quy tắc cộng P(A∪M) = P(A) + P(M) − P(A∩M) cho P(A∩M) = P(A) + P(M) − P(A∪M) = 0.59 + 0.13 − 0.64 = 0.08. Tức 8% thiếu niên vừa ăn tối gia đình thường xuyên vừa dùng cần sa; phần giao bị đếm hai lần khi cộng 0.59 với 0.13 nên phải trừ đi. "0.77" là 0.64 + 0.13, cộng hợp với một xác suất riêng lẻ, không có ý nghĩa xác suất giao. "0.18" là 0.64 − 0.59 + 0.13, đặt sai dấu trong quy tắc cộng. "0.64" chính là xác suất hợp "or" đã cho, không phải xác suất "and". "None of the other choices is correct" sai vì 0.08 có mặt. Có thể tự kiểm: xác suất giao không thể vượt xác suất nhỏ hơn trong hai sự kiện (0.13), nên 0.18, 0.64 và 0.77 đều bất khả.

Đáp án đúng: "0.69". Gọi I là biến cố thu nhập trên 25,000 đô la, T là biến cố có 2 xe. Số liệu cho P(T|I) = 0.80, P(I) = 0.60, P(T) = 0.70. Theo định lý Bayes, P(I|T) = P(T|I)·P(I)/P(T) = 0.80·0.60/0.70 = 0.48/0.70 ≈ 0.686, làm tròn 0.69. Giá trị "0.48" là P(I∩T), xác suất vừa thu nhập cao vừa có 2 xe, chưa chia cho P(T). Giá trị "0.42" là tích 0.60·0.70, chỉ đúng nếu hai biến cố độc lập, mà ở đây P(T|I) = 0.8 khác P(T) = 0.7 nên chúng không độc lập. Giá trị "0.50" không đến từ công thức nào phù hợp với số liệu; nó thấp hơn cả P(I) = 0.6, trong khi việc có 2 xe làm tăng khả năng thu nhập cao. Vì 0.69 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.033". Dùng công thức xác suất toàn phần (total probability): tỉ lệ 4:3 nghiêng về nữ nên P(nữ) = 4/7, P(nam) = 3/7. Khi đó P(cao trên 6 feet) = P(nam)·0.05 + P(nữ)·0.02 = (3/7)·0.05 + (4/7)·0.02 = (0.15 + 0.08)/7 = 0.23/7 ≈ 0.0329, làm tròn 0.033. Giá trị "0.026" ứng với trọng số nam chỉ 20% (0.2·0.05 + 0.8·0.02 = 0.026), không phải 3/7 như bài cho; nếu đảo ngược tỉ lệ, coi nam chiếm 4/7, thì lại ra 0.037. Giá trị "0.016" nhỏ hơn cả 0.02, mà xác suất toàn phần là trung bình có trọng số của 0.05 và 0.02 nên bắt buộc nằm giữa hai số này. Giá trị "0.675" quá lớn, vượt xa cả tỉ lệ 5% của nhóm cao hơn, không thể là kết quả hợp lệ. Đã tính được 0.033 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "0.6". Hai biến cố độc lập nên xác suất giao bằng tích hai xác suất: P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Suy ra P(B) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.08/0.2 = 0.4, và P(A) + P(B) = 0.2 + 0.4 = 0.6. Lưu ý tổng này khác P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.52, vì câu hỏi chỉ yêu cầu cộng hai xác suất. "0.4" chỉ là P(B), quên cộng thêm P(A) = 0.2. "0.16" bằng 2·P(A ∩ B), tức cộng nhầm xác suất giao thay vì cộng P(A) với P(B); nó cũng không phải P(A ∪ B). "None of the other choices is correct" sai vì 0.6 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.4583". Câu hỏi là xác suất có điều kiện P(trẻ em | thích hamburger) = P(trẻ em ∩ thích hamburger)/P(thích hamburger). Trong 200 người có 120 người thích hamburger, trong đó 55 là trẻ em, nên xác suất = (55/200)/(120/200) = 55/120 ≈ 0.4583; điều kiện "đã biết thích hamburger" thu hẹp không gian mẫu về 120 người đó. "0.8721" sai vì quá lớn: trong 120 người thích hamburger có tới 65 người lớn, nên tỷ lệ trẻ em không thể vượt một nửa nhiều như vậy. "0.1121" sai vì không khớp với tỷ số nào của bảng; ngay cả P(trẻ em ∩ thích hamburger) = 55/200 = 0.275 cũng lớn hơn. "0.3724" sai vì cũng không ra từ bảng, và gần với P(trẻ em) = 75/200 = 0.375, tức xác suất chưa có điều kiện. "None of the other choices is correct" sai vì 0.4583 có trong các lựa chọn. Cần tránh nhầm với chiều ngược P(thích hamburger | trẻ em) = 55/75 ≈ 0.7333.

Đáp án đúng: "The number of eggs that hens lay in a month". Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) có tập giá trị hữu hạn hoặc đếm được, thường là kết quả của phép đếm; số trứng gà đẻ trong tháng chỉ nhận các số nguyên 0, 1, 2, ..., nên là biến rời rạc. "The price of a product" được xem là biến liên tục vì giá đo trên thang số thực và có thể chia nhỏ tuỳ ý trong mô hình, dù thực tế làm tròn tới đơn vị tiền. "The average height of Vietnamese adults" là trung bình của chiều cao, một đại lượng đo lường trên khoảng số thực, nên liên tục. "The yield of wheat in a country" là sản lượng đo bằng khối lượng (tấn), cũng là phép đo trên thang liên tục, không phải phép đếm.

Đáp án đúng: "10,000". Biến ngẫu nhiên X đếm số người mang gene IFI202 trong nhóm 10,000 người được xét nghiệm, nên X là biến rời rạc (discrete) nhận các giá trị nguyên 0, 1, 2, …, 10,000. Giá trị lớn nhất xảy ra khi mọi người được xét nghiệm đều mang gene, tức X = 10,000; giá trị nhỏ nhất là 0 khi không ai mang gene. "10,001" sai vì không thể đếm được nhiều người mang gene hơn số người được xét nghiệm; 10,001 thực ra là số giá trị khác nhau X có thể nhận (tính cả 0), không phải giá trị lớn nhất. "9,999" sai vì bỏ sót trường hợp tất cả 10,000 người cùng mang gene, một trường hợp hiếm nhưng vẫn có thể xảy ra. Đã có giá trị đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "1/6". Một hàm khối xác suất hợp lệ phải có f(x) ≥ 0 và tổng mọi xác suất bằng 1. Với f(x) = kx tại x = 1, 2, 3: k·1 + k·2 + k·3 = 6k = 1, suy ra k = 1/6, khi đó f(1) = 1/6, f(2) = 2/6, f(3) = 3/6 đều không âm. Phương án "1" cho tổng 6, vượt 1. Phương án "3" cho tổng 18. Phương án "1/3" cho tổng 6/3 = 2, vẫn lớn hơn 1. Phương án "1/2" cho tổng 6/2 = 3; cả bốn giá trị này đều vi phạm điều kiện tổng xác suất bằng 1, chỉ k = 1/6 thoả.

Đáp án đúng: "Be decreasing function". Câu hỏi tìm phát biểu SAI về hàm phân phối tích luỹ (cumulative distribution function, CDF) F(x) = P(X ≤ x) của biến ngẫu nhiên rời rạc. CDF luôn không giảm (non-decreasing): khi x tăng thì biến cố X ≤ x chỉ mở rộng thêm nên xác suất không thể giảm, vì thế nói nó giảm là sai và đây là phát biểu cần chọn. Phát biểu "Range from 0 to 1" là đúng vì F(x) là một xác suất, tiến về 0 khi x → −∞ và về 1 khi x → +∞, nên không được chọn. Phát biểu "Be a discontinuous function" cũng đúng với biến rời rạc: CDF có dạng bậc thang, nhảy một bước bằng f(xᵢ) tại mỗi giá trị có xác suất dương nên gián đoạn tại các điểm đó, do đó không phải phát biểu sai. Vì đã có một phát biểu sai rõ ràng nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "1.55". Bảng cho phân phối xác suất của X với các giá trị 0, 1, 2, 3, 4 và xác suất tương ứng 0.19, 0.37, 0.16, 0.26, 0.02; tổng các xác suất bằng 1 nên bảng hợp lệ. Kỳ vọng E(X) = Σx·f(x) = 0·0.19 + 1·0.37 + 2·0.16 + 3·0.26 + 4·0.02 = 0 + 0.37 + 0.32 + 0.78 + 0.08 = 1.55. "1.74" lớn hơn 1.55 gần 0.2, tương đương như dồn thêm khối lượng xác suất vào giá trị 3 hoặc 4, điều bảng không cho. "1.64" lệch 0.09, không khớp tổng tích của năm cặp giá trị. "1.45" nhỏ hơn kết quả 0.10, như thể bỏ sót một phần đóng góp của giá trị 3. "None of the other choices is correct" sai vì 1.55 có mặt và đúng bằng tổng trên. Lưu ý đây là trung bình có trọng số theo xác suất, không phải trung bình cộng đơn giản (0 + 1 + 2 + 3 + 4)/5 = 2 của các giá trị.

Đáp án đúng: "0.2". Biến ngẫu nhiên rời rạc phân phối đều (discrete uniform) gán cùng một xác suất cho mỗi giá trị của nó; X có 5 giá trị 0, 1, 3, 5, 6, nên mỗi giá trị có xác suất 1/5 = 0.2, trong đó P(X = 5) = 0.2. Khoảng cách không đều giữa các giá trị không ảnh hưởng, vì phân phối đều rời rạc chỉ phụ thuộc vào số giá trị. Giá trị "0.25" là 1/4, ứng với bốn giá trị, như khi bỏ sót một giá trị. Giá trị "0.33" là 1/3, ứng với ba giá trị. Lựa chọn "No determined" sai vì tính chất đều đã đủ để xác định xác suất mỗi giá trị. Vì 0.2 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "0.0308". Số người đỗ X có phân phối nhị thức (binomial) với n = 11, p = 0.68, f(x) = C(11, x)·0.68ˣ·0.32^(11−x). Cần P(2 ≤ X ≤ 4) = f(2) + f(3) + f(4); tính lần lượt f(2) ≈ 0.00089, f(3) ≈ 0.00570, f(4) ≈ 0.02424, cộng lại ≈ 0.03084, làm tròn 0.0308. Xác suất nhỏ là hợp lý vì kỳ vọng np = 7.48, nên từ 2 tới 4 người đỗ là vùng đuôi trái. Giá trị "0.0299" chỉ là f(3) + f(4), bỏ mất số hạng x = 2 dù chữ "inclusive" yêu cầu tính cả hai đầu. Giá trị "0.0345" lớn hơn tổng đúng của ba số hạng, không ứng với cách cộng nào của các f(x) này. Giá trị "0.6164" quá lớn cho một vùng nằm xa kỳ vọng 7.48, chỉ hợp với một khoảng bao quanh tâm phân phối. Đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" bị loại.

Đáp án đúng: "1.43". Số phát bắn cần để có lần trúng đầu tiên theo phân phối hình học (geometric) với p = 0.7: P(X = x) = (1 − p)^(x−1)·p với x = 1, 2, …, và kỳ vọng E(X) = 1/p = 1/0.7 ≈ 1.43. Kết quả hợp lý vì xạ thủ trúng 70% số phát nên thường chỉ cần một tới hai phát. "3.33" là 1/0.3, lấy nghịch đảo của xác suất trượt, tức kỳ vọng số phát tới lần trượt đầu tiên. "7" là kiểu tính 10·0.7 của phân phối nhị thức, cho số phát trúng trung bình trong 10 phát, không phải số phát tới lần trúng đầu. "3" không ứng với công thức nào của phân phối hình học và quá lớn với tỉ lệ trúng 0.7. "None of the other choices is correct" sai vì 1.43 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0.60". Chọn ngẫu nhiên 4 trong 6 người không hoàn lại, trong đó 3 người thâm niên từ 5 năm, nên số người thâm niên X có phân phối siêu bội (hypergeometric): P(X = 2) = C(3,2)·C(3,2)/C(6,4) = 3·3/15 = 9/15 = 0.60. Ở đây X chỉ có thể là 1, 2 hoặc 3 vì chọn 4 người mà chỉ có 3 người thâm niên thấp. "0.20" sai vì đó là P(X = 1) = C(3,1)·C(3,3)/15 = 3/15, cũng bằng P(X = 3); ba xác suất 0.20, 0.60, 0.20 cộng lại đúng bằng 1. "0.30" sai vì không ra từ công thức siêu bội; nó gần xác suất nhị thức C(4,2)(0.5)⁴ = 0.375 khi coi nhầm là chọn có hoàn lại, nhưng cũng không bằng. "0.50" sai vì chỉ là đoán theo tỷ lệ 3/6 của nhóm thâm niên, không phải xác suất có đúng hai người. "None of the other choices is correct" sai vì 0.60 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "0.1710". Số máy bán trong tuần X có phân phối Poisson với λ = 1.9, nên P(X = x) = e^(−λ)λˣ/x!. Với x = 3: e^(−1.9) ≈ 0.1496, 1.9³ = 6.859, 3! = 6, nên P(X = 3) = 0.1496·6.859/6 ≈ 0.1710. "0.2137" không khớp công thức với λ = 1.9, x = 3 và lớn hơn kết quả đúng; đổi giai thừa cũng không ra số này, vì chia cho 2 thay vì 3! cho 0.5129. "0.3249" quá lớn so với xác suất tại một điểm của Poisson λ = 1.9 (giá trị lớn nhất, tại x = 1, chỉ khoảng 0.284), nên không thể là P(X = 3). "0.1881" cũng không khớp phép thay số: các xác suất P(X = 0) tới P(X = 4) lần lượt là 0.1496, 0.2842, 0.2700, 0.1710, 0.0812, không có giá trị nào bằng 0.1881. Vì 0.1710 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.