Câu hỏi: MAS291 - Chương 6: Thống kê mô tả

Đáp án đúng: "14". Khoảng biến thiên mẫu (sample range) bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất. Bảng gồm 20 số theo bốn hàng: 5, 7, 2, 9, 4; 9, 7, 10, 4, 7; 5, 6, 4, 0, 7; 6, 3, 4, 14, 6. Giá trị lớn nhất là 14 (ô thứ tư hàng cuối), nhỏ nhất là 0 (ô thứ tư hàng ba), nên range = 14 − 0 = 14. "Approximately 3.08" sai vì đó là độ lệch chuẩn mẫu s ≈ 3.086 (chia n − 1 = 19), đo độ phân tán quanh trung bình chứ không phải hiệu cực trị. "5.95" sai vì đó là trung bình mẫu x̄ = 119/20. "1" sai vì range chỉ bằng 1 khi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hơn kém nhau đúng 1 đơn vị, trong khi dữ liệu trải từ 0 tới 14. "None of the other choices is correct" sai vì 14 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "2 and 2.4". Sắp xếp 15 giá trị tăng dần: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6. Với n = 15 lẻ, trung vị (median) là giá trị thứ (15 + 1)/2 = 8, tức là 2. Trung bình (mean) là tổng chia n: tổng = 36, nên x̄ = 36/15 = 2.4. "0 and 2.4" lấy 0 làm trung vị, có lẽ là giá trị đầu dãy chưa sắp xếp hoặc giá trị nhỏ nhất, không phải giá trị đứng giữa. "2 and 2.6" có trung vị đúng nhưng trung bình 2.6 ứng với tổng 39, cộng sai dữ liệu. "0 and 2.6" sai cả hai số. Vì cặp 2 và 2.4 đã có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "69". Biểu đồ thân–lá (stem-and-leaf) ghép thân với từng lá để ra giá trị: thân 23 với các lá 4, 6, 7, 0 cho 234, 236, 237, 230; thân 24 với các lá 9, 3, 7 cho 249, 243, 247; thân 29 với các lá 1, 9, 2 cho 291, 299, 292. Lá trong bảng không được sắp thứ tự nên phải đọc hết từng dòng: giá trị nhỏ nhất là 230 (lá 0 nằm cuối dòng đầu), lớn nhất là 299. Khoảng biến thiên (range) = max − min = 299 − 230 = 69. "96" là đảo hai chữ số của 69 và vượt quá mọi hiệu có thể có giữa hai giá trị trong bảng (lớn nhất chỉ là 69). "68" lệch một đơn vị, chỉ ra được nếu lấy nhầm min là 231 hoặc max là 298, đều không có trong dữ liệu. "87" cũng lớn hơn hiệu lớn nhất 69 nên không thể là khoảng biến thiên của bộ số này. Đã tính được 69 nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "(i)". Bảng cho 50 số liệu xếp thành 5 hàng, 10 cột. Tần số (frequency) của một khoảng là số giá trị rơi vào khoảng đó, tính cả cận dưới và loại cận trên. Khoảng 10 ≤ x < 20 có ba giá trị: 13 ở đầu hàng thứ ba, 12 và 15 ở hàng thứ tư. Khoảng 60 ≤ x < 70 cũng có ba giá trị: 63 ở hàng thứ nhất, 64 ở hàng thứ ba và 60 ở đầu hàng thứ tư; các giá trị 71, 72 không được tính vì cận trên 70 bị loại. Hai khoảng cùng có tần số 3, đúng với phát biểu (i). Phương án "(ii)" sai vì khoảng 10 ≤ x < 20 không có nhiều giá trị hơn, nó cũng chỉ có ba giá trị. Phương án "(iii)" sai vì khoảng 60 ≤ x < 70 không vượt trội, nó chỉ có ba giá trị như khoảng kia; ai đếm ra nhiều hơn thường đã gộp nhầm 71 và 72 vào.

Đáp án đúng: "3". Bảng có 20 số khách lái thử: hàng một 5, 7, 2, 9, 4; hàng hai 9, 7, 10, 4, 7; hàng ba 5, 6, 4, 0, 7; hàng bốn 6, 3, 4, 14, 6. Sắp xếp tăng dần được 0, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6 | 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 9, 10, 14. Khoảng tứ phân vị (interquartile range, IQR) là Q3 − Q1. Nửa dưới gồm 10 số đầu, trung vị của nó là trung bình số thứ 5 và thứ 6, tức (4 + 4)/2 = 4 = Q1; nửa trên gồm 10 số sau, trung vị là (7 + 7)/2 = 7 = Q3. Vậy IQR = 7 − 4 = 3. Giá trị "14" là khoảng biến thiên (range) max − min = 14 − 0, không phải IQR. Giá trị "7" chính là Q3, quên trừ Q1. Giá trị "10" là số lớn thứ hai trong dãy, hay khoảng biến thiên khi bỏ giá trị 14, cũng không đo độ trải của 50% số liệu ở giữa như IQR.

Đáp án đúng: "9". Trung vị (median) là giá trị đứng giữa khi dữ liệu đã sắp tăng dần, ở vị trí (n + 1)/2. Sắp lại bảy số: 3, 4, 8, 9, 14, 16, 16; vị trí (7 + 1)/2 = 4 là số 9, nên trung vị là 9 năm, nghĩa là một nửa số nhân viên làm ở công ty không quá 9 năm. "16" là giá trị lớn nhất và cũng là mốt (mode) vì xuất hiện hai lần, không phải giá trị ở giữa. "10" là trung bình cộng (4 + 14 + 3 + 16 + 9 + 8 + 16)/7 = 70/7 = 10; trung bình bị kéo lên bởi hai giá trị 16 nên khác trung vị. "21" vượt quá giá trị lớn nhất 16 của dữ liệu, mà trung vị luôn nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, nên không thể đúng. "None of the other choices is correct" sai vì 9 có mặt. Lưu ý lỗi thường gặp là lấy số thứ tư theo thứ tự in ban đầu (16) mà quên sắp xếp trước.

Đáp án đúng: "72". Mode (yếu vị) là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong dữ liệu. Đếm tần số mười điểm số: 67 xuất hiện 2 lần, 68 một lần, 71 một lần, 72 bốn lần, 73 một lần, 76 một lần, nên 72 có tần số cao nhất và là mode. Giá trị "73" chỉ xuất hiện một lần. Giá trị "76" là điểm lớn nhất, chỉ xuất hiện một lần, liên quan tới giá trị cực đại hay khoảng biến thiên chứ không phải mode. Giá trị "67" là điểm nhỏ nhất và xuất hiện hai lần, nhiều thứ hai nhưng vẫn ít hơn bốn lần của 72. Vì 72 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "Mean = 40.7, Median = 43". Biểu đồ thân và lá (stem-and-leaf) có thân 1 với lá 2, 4; thân 2 với lá 0, 2, 5; thân 4 với lá 1, 3, 3, 7; thân 6 với lá 0, 2, 9; thân 7 với lá 1. Dữ liệu là 12, 14, 20, 22, 25, 41, 43, 43, 47, 60, 62, 69, 71, gồm n = 13 giá trị, tổng 529, nên trung bình x̄ = 529/13 ≈ 40.7. Với n lẻ, trung vị (median) là giá trị thứ (13 + 1)/2 = 7 theo thứ tự tăng, tức 43. Cặp "Mean = 40.7, Median = 43.5" đúng trung bình nhưng lấy trung vị theo kiểu trung bình hai giá trị giữa, chỉ áp dụng khi n chẵn. Cặp "Mean = 43.6, Median = 40" sai cả hai, trung bình 43.6 lớn hơn tổng 529 chia 13. Cặp "Mean = 43.6, Median = 40.5" cũng sai trung bình, còn 40.5 không phải giá trị dữ liệu nào và không phải trung bình của hai giá trị kề nhau ở giữa.

Đáp án đúng: "3". Mốt (mode) là giá trị của biến xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Bảng tần số cho: nhà 1 phòng ngủ có tần số 1, 2 phòng có 18, 3 phòng có 140, 4 phòng có 57, 5 phòng có 11. Tần số lớn nhất là 140, ứng với số phòng ngủ bằng 3, nên mốt là 3. "140" là tần số của mốt chứ không phải mốt; mốt phải là một giá trị của biến (số phòng ngủ), không phải số lần đếm. "4" là giá trị có tần số lớn thứ hai (57 nhà), không phải giá trị phổ biến nhất. "57" là tần số của nhóm 4 phòng, vừa nhầm giá trị với tần số vừa sai nhóm. "None of the other choices is correct" sai vì 3 có trong danh sách.

Đáp án đúng: "0". Biểu đồ hộp cho năm số: nhỏ nhất 10, tứ phân vị dưới Q1 = 15, trung vị 18, tứ phân vị trên Q3 = 20, lớn nhất 22. Phát biểu i) sai vì khoảng 25% dữ liệu nằm dưới Q1 = 15, nên phần nằm trên 15 là khoảng 75%. Phát biểu ii) sai vì trung vị không nhất thiết là một giá trị của dữ liệu: với số quan sát chẵn, trung vị là trung bình hai giá trị giữa, ví dụ 17 và 19 cho 18. Phát biểu iii) sai vì Q3 cũng có thể là giá trị nội suy hoặc trung bình của hai quan sát kề nhau, nên 20 không bắt buộc có mặt. Chỉ hai đầu râu 10 và 22 là chắc chắn có trong dữ liệu. Vì không phát biểu nào đúng, "1" sai vì đòi hỏi ít nhất một trong ba phát biểu đúng chắc chắn; "2" sai vì cần hai phát biểu đúng, chẳng hạn coi trung vị và Q3 luôn là giá trị dữ liệu; "3" sai vì cả ba đều không đúng chắc chắn.

Đáp án đúng: "196.1". Trung vị (median) là giá trị đứng giữa sau khi sắp xếp. Sắp xếp 14 tốc độ tăng dần: 181.1, 190.1, 191.3, 192.2, 193.2, 194.5, 196.0, 196.2, 199.2, 201.2, 201.2, 201.4, 201.4, 202.2. Với n = 14 chẵn, trung vị là trung bình của giá trị thứ 7 và thứ 8: (196.0 + 196.2)/2 = 196.1. "201.2" là một mốt (xuất hiện hai lần, cùng với 201.4), không phải trung vị. "195.8" chính là trung bình cộng (mean) của dữ liệu, tổng 2741.2 chia 14, nhầm trung bình với trung vị. "196.7" là (192.2 + 201.2)/2, trung bình của giá trị thứ 7 và thứ 8 trong dãy CHƯA sắp xếp, tức quên sắp xếp trước khi lấy trung vị. Vì 196.1 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "None of the other choices is correct". Trung bình mẫu (mean) là x̄ = Σxᵢ/n = (4 + 14 + 3 + 16 + 9 + 8 + 16)/7 = 70/7 = 10 năm, giá trị không có trong các phương án số. "8.40" nhỏ hơn giá trị đúng 10 và cũng không phải trung vị: sắp xếp được 3, 4, 8, 9, 14, 16, 16 nên trung vị là phần tử thứ tư, bằng 9. "16" là mốt (mode), giá trị lặp nhiều nhất (hai lần), đồng thời là giá trị lớn nhất, không phải trung bình. "12" không khớp số đo trung tâm nào của dữ liệu: trung bình 10, trung vị 9, trung điểm khoảng (3 + 16)/2 = 9.5. Vì cả ba con số đều sai nên phương án phủ định là lựa chọn đúng.

Đáp án đúng: "31". Trong biểu đồ thân và lá (stem and leaf display), thân là chữ số hàng chục, mỗi lá là chữ số hàng đơn vị của một quan sát. Thân 3 có các lá 1, 1, 1, 4, 5 nên giá trị 31 xuất hiện ba lần; thân 4 có 44, 46, 47; thân 5 có 50, 50, 54, 55, 56, 56, 58, 59; thân 6 có 61, 63, 63, 66. Giá trị xuất hiện nhiều nhất (mode) là 31. Phương án "50" chỉ xuất hiện hai lần (hai lá 0 ở thân 5). Phương án "61" chỉ xuất hiện một lần. Phương án "63" xuất hiện hai lần, ít hơn 31. Phương án "None of the other choices is true" sai vì giá trị đúng 31 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "(i)". Đếm tần số trong bảng 50 số liệu (năm hàng, mỗi hàng mười số). Khoảng 20 ≤ x < 30 gồm các giá trị 26 ở hàng một, 26 ở hàng hai và 27 ở hàng bốn, tổng cộng 3 giá trị. Khoảng 50 ≤ x < 60 gồm 56 ở hàng một, 53 ở hàng hai, 58 và 57 ở hàng năm, tổng cộng 4 giá trị. Tần số (frequency) là số quan sát rơi vào khoảng, nên khoảng 50 ≤ x < 60 có tần số 4 lớn hơn tần số 3 của khoảng 20 ≤ x < 30, đúng như phát biểu thứ nhất. Phương án "(ii)" sai vì khoảng 20 ≤ x < 30 chỉ có 3 giá trị, ít hơn. Phương án "(iii)" sai vì hai tần số là 3 và 4, không bằng nhau; chú ý cận phải của khoảng không được tính, nên giá trị 60 ở hàng bốn thuộc khoảng 60 ≤ x < 70 chứ không thuộc khoảng 50 ≤ x < 60.

Đáp án đúng: "(iii)". Boxplot vẽ năm số tóm tắt: nhỏ nhất, Q₁, trung vị, Q₃, lớn nhất. Sắp dữ liệu: 122, 123, 143, 145, 150 (n = 5). Trung vị ở vị trí (n + 1)/2 = 3 là 143; Q₁ ở vị trí (n + 1)/4 = 1.5 nên lấy trung bình hai giá trị đầu (122 + 123)/2 = 122.5; Q₃ ở vị trí 3(n + 1)/4 = 4.5 nên lấy (145 + 150)/2 = 147.5. Hình có hộp từ 122.5 tới 147.5, vạch giữa tại 143 và râu từ 122 tới 150 chính là hình đúng. "(i)" có cùng nhỏ nhất, Q₁ và trung vị nhưng cạnh phải hộp ở 144.5 thay vì 147.5. "(ii)" đặt vạch giữa tại 145 nằm ngoài hộp kết thúc ở 144.5, tức trung vị lớn hơn Q₃, vô lý. "(iv)" dùng Q₁ = 123 và Q₃ = 145, kiểu tính gộp trung vị vào hai nửa; cách đó có trong vài tài liệu khác, nhưng theo quy ước vị trí (n + 1)/4 thì Q₁ = 122.5 và Q₃ = 147.5 nên hình này không khớp.

Đáp án đúng: "14.59". Phương sai mẫu s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Trung bình x̄ = (88.2 + 93.8 + 86.5)/3 = 268.5/3 = 89.5. Các độ lệch là −1.3, 4.3 và −3, bình phương lần lượt 1.69, 18.49 và 9, tổng 29.18. Chia cho n − 1 = 2 được s² = 14.59. Giá trị "3.82" là độ lệch chuẩn mẫu s = √14.59, không phải phương sai. Giá trị "18.34" lớn hơn phương sai thật và không khớp công thức: tổng bình phương độ lệch 29.18 chia cho 2 hay cho 3 đều không ra 18.34, và nó cũng khác bình phương độ lệch lớn nhất 4.3² = 18.49. Giá trị "4.26" cũng không khớp; ngay cả phương sai tổng thể chia cho n = 3 cũng chỉ ra 29.18/3 ≈ 9.73, còn phương sai mẫu thì phải chia cho 2 để bù cho việc dùng x̄ thay μ.

Đáp án đúng: "10". Trung bình mẫu (sample mean) x̄ = Σxᵢ/n. Tổng dữ liệu 25 + 11 + 6 + 4 + 2 + 17 + 9 + 6 = 80, có n = 8 giá trị, nên x̄ = 80/8 = 10. Giá trị "8" là số quan sát n, không phải trung bình. Giá trị "7" gần trung vị: sắp xếp được 2, 4, 6, 6, 9, 11, 17, 25, trung vị là (6 + 9)/2 = 7.5; trung vị nhỏ hơn trung bình ở đây vì giá trị 25 kéo trung bình lên (dữ liệu lệch phải). Giá trị "3" quá nhỏ so với tâm dữ liệu, chỉ có hai quan sát 2 và 4 nằm dưới mức này nên nó không thể là trung bình. Mốt (mode) của dữ liệu là 6, cũng khác 10. Đã có đáp số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "20". Đọc biểu đồ thân–lá (stem and leaf): thân 0 với các lá 5, 5, 6 cho các số 5, 5, 6; thân 1 với các lá 1, 4, 6, 2, 3 cho 11, 14, 16, 12, 13; thân 2 với các lá 0, 2, 1 cho 20, 22, 21. Sắp tăng dần 11 số: 5, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22. Tứ phân vị thứ ba nằm ở vị trí 0.75(n + 1) = 0.75·12 = 9, giá trị thứ 9 là 20; đó cũng là trung vị của nửa trên 14, 16, 20, 21, 22. "13" là trung vị Q₂ ở vị trí thứ 6. "6" là tứ phân vị thứ nhất Q₁ ở vị trí thứ 3. "14" là giá trị thứ 7, chưa tới vị trí 9. "15" là trung bình của 14 và 16, ứng với cách chia dãy sai. "22" là giá trị lớn nhất, không phải tứ phân vị.

Đáp án đúng: "12%". Tần suất tương đối (relative frequency) của một khoảng bằng số quan sát rơi vào khoảng đó chia cho tổng số quan sát. Bảng có 5 hàng × 10 cột = 50 giá trị; đếm các số từ 90 tới dưới 100: hàng một có 98 và 97, hàng hai có 96 và 97, hàng ba có 96, hàng bốn không có, hàng năm có 97, tổng cộng 6 giá trị. Vậy tần suất tương đối = 6/50 = 0.12 = 12%. "10%" sai vì ứng với 5/50, tức bỏ sót một trong sáu giá trị. "60%" sai vì lấy nhầm 6 chia cho 10 (số cột) thay vì chia cho 50 quan sát. "50%" sai vì nửa dữ liệu là 25 giá trị, trong khi khoảng này chỉ có 6. "None of the other choices" sai vì 12% có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "Both (i) and (ii)". Ba tứ phân vị (quartiles) chia dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau: Q1 là phân vị thứ 25, Q2 là phân vị thứ 50, Q3 là phân vị thứ 75. Tứ phân vị thứ hai Q2 có khoảng một nửa số quan sát nằm dưới nó, đúng định nghĩa của trung vị (median), nên điểm của người dự tuyển ở Q2 vừa là phân vị thứ 50 vừa là trung vị; cả (i) và (ii) đều đúng. "(i)" chỉ nêu một nửa sự thật, bỏ sót rằng Q2 cũng chính là trung vị. "(ii)" cũng chỉ nêu một nửa, bỏ sót rằng trung vị trùng với phân vị thứ 50. Vì có phương án gồm cả hai ý đúng nên "None of the other choices is correct" sai.