Câu hỏi: MAS291 - Chương 6: Thống kê mô tả

Đáp án đúng: "19 and 19". Sắp xếp mẫu tăng dần: 15, 16, 18, 18, 19, 19, 19, 21, 24 (n = 9). Mốt (mode) là giá trị xuất hiện nhiều nhất: 19 xuất hiện ba lần, 18 chỉ hai lần, nên mốt là 19. Trung vị (median) với n lẻ là phần tử ở vị trí (n + 1)/2 = 5 sau khi sắp xếp, cũng là 19. "19 and 18" có mốt đúng nhưng trung vị 18 là giá trị thứ năm khi đọc theo thứ tự ban đầu chưa sắp xếp (18, 19, 16, 21, 18…), một lỗi thường gặp. "18 and 19" nhầm mốt là 18, trong khi 18 lặp ít hơn 19. "18 and 18" sai cả hai số. Đã có cặp đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn. Trung bình mẫu là 169/9 ≈ 18.78, gần nhưng không trùng hai số đo này.

Đáp án đúng: "34/3". Phương sai mẫu là s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Với 12, 15, 17, 20: x̄ = 64/4 = 16, các độ lệch là −4, −1, 1, 4, tổng bình phương là 16 + 1 + 1 + 16 = 34, nên s² = 34/(4 − 1) = 34/3 ≈ 11.33. Chia cho n − 1 chứ không cho n vì đây là mẫu dùng để ước lượng phương sai tổng thể; chia cho 4 sẽ ra 8.5, cũng không có trong các phương án. Phương án "26/3" ứng với tổng bình phương độ lệch bằng 26, sai so với 34. Phương án "32/3" ứng với tổng 32, thường do bỏ sót hai độ lệch ±1. Phương án "28/3" ứng với tổng 28, cũng không khớp. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 34/3 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "93". Trong biểu đồ thân và lá (stem-and-leaf display), mỗi giá trị bằng thân là chữ số hàng chục ghép với lá là chữ số hàng đơn vị. Biểu đồ có thân 3 với lá 2, 6; thân 4 với lá 0, 3, 4, 7, 8, 9, 9, 9; thân 5 với lá 0 đến 5 trong đó 1 lặp hai lần; thân 6 với lá 1, 2, 5, 6, 6; thân 7 với lá 1, 7; thân 8 không có lá; thân 9 với lá 3. Giá trị lớn nhất nằm ở thân cao nhất có lá, tức 93. Giá trị "32" là điểm nhỏ nhất, ở thân 3 lá 2. Giá trị "49" là mốt (mode) vì lá 9 ở thân 4 xuất hiện ba lần, không phải lớn nhất. Giá trị "66" chỉ là một điểm xuất hiện hai lần ở thân 6. Vì 93 có trong danh sách nên "None of the other choices is true" không đúng.

Đáp án đúng: "(i)". Bảng phân phối tần số (frequency distribution) ghi số quan sát của từng giá trị, và trên đồ thị cột đó chính là chiều cao từng cột: tại x = 1 tới 8 lần lượt 1, 1, 8, 5, 7, 2, 3, 1, tổng 28 quan sát, khớp từng ô của bảng (i). "(ii)" có nhãn ≤ 1, ≤ 2, …, ≤ 8 và các số 1, 2, 10, 15, 22, 24, 27, 28; các số này cộng dồn đúng từ đồ thị (1, 1 + 1 = 2, 2 + 8 = 10, …, 27 + 1 = 28) nhưng đó là bảng tần số tích luỹ (cumulative frequency distribution), một bảng khác, chỉ là đáp án khi câu hỏi yêu cầu bảng tích luỹ. "(iii)" dùng nhãn ≤ k nhưng ghi tần số từng giá trị nên tự mâu thuẫn: số quan sát có giá trị ≤ 3 là 10 chứ không phải 8. "None of them." sai vì bảng (i) khớp đúng đồ thị.

Đáp án đúng: "3". Hộp đồ thị (box plot) cho giá trị nhỏ nhất 10 ở đầu râu trái, tứ phân vị thứ nhất Q1 = 15 ở cạnh trái hộp, trung vị 18 ở vạch giữa, Q3 = 20 ở cạnh phải hộp và giá trị lớn nhất 22 ở đầu râu phải. Phát biểu i) đúng vì 25% dữ liệu nằm dưới Q1 = 15, nên khoảng 75% nằm trên 15. Phát biểu ii) đúng vì IQR = Q3 − Q1 = 20 − 15 = 5. Phát biểu iii) đúng vì đầu râu trái không có điểm ngoại lai nào được đánh dấu riêng, nên 10 là giá trị nhỏ nhất thật sự của dữ liệu và phải có mặt trong tập dữ liệu. Ba phát biểu đều đúng. Giá trị "2" bỏ sót một phát biểu đúng, thường là iii), khi nghĩ đầu râu chỉ là giới hạn chứ không phải điểm dữ liệu. Giá trị "1" và "0" càng bỏ sót nhiều hơn, trong khi mỗi phát biểu đều đọc thẳng được từ hình.

Đáp án đúng: "14". Phương sai mẫu (sample variance) s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Trung bình x̄ = (6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16)/6 = 66/6 = 11; độ lệch so với trung bình là −5, −3, −1, 1, 3, 5, bình phương tổng 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70. Chia cho n − 1 = 5 được s² = 14. Giá trị "11.67" là 70/6, chia cho n, tức phương sai của tổng thể khi coi sáu số là toàn bộ tổng thể, không phải phương sai mẫu. Giá trị "3.74" là √14, tức độ lệch chuẩn mẫu, đã khai căn nên không phải phương sai. Giá trị "13.25" không ứng với cách chia nào của tổng 70. Có số đúng nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "92.3 and 31.99". Trung bình mẫu x̄ = (88.5 + 98.8 + 89.6)/3 = 276.9/3 = 92.3. Phương sai mẫu chia n − 1 = 2: các độ lệch là −3.8, 6.5, −2.7, bình phương được 14.44, 42.25, 7.29, tổng 63.98, chia 2 được s² = 31.99. Nếu chia n = 3 thì chỉ được 21.33, không khớp phương án nào. "92.1 and 18.2" lệch trung bình 0.2, còn phương sai 18.2 nhỏ hơn cả bản chia n. "87.22 and 8.59" có trung bình nhỏ hơn cả giá trị nhỏ nhất 88.5, vô lý với một trung bình. "93.22 and 5.426" lệch trung bình gần 1 và có phương sai quá nhỏ so với độ phân tán từ 88.5 tới 98.8. "None of the other choices is correct" sai vì cặp đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "5". Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1. Dữ liệu đã sắp có 13 giá trị, trung vị là giá trị thứ 7, bằng 4. Nửa dưới gồm 6 giá trị 1, 1, 2, 2, 3, 4 nên Q1 = (2 + 2)/2 = 2; nửa trên gồm 5, 6, 7, 7, 8, 9 nên Q3 = (7 + 7)/2 = 7. Dùng vị trí (n + 1)/4 = 3.5 và 3(n + 1)/4 = 10.5 cũng cho Q1 = 2, Q3 = 7. Vậy IQR = 7 − 2 = 5. "8" sai vì đó là khoảng biến thiên 9 − 1, dùng hai giá trị cực trị chứ không phải tứ phân vị. "2" sai vì đó chỉ là Q1. "7" sai vì đó chỉ là Q3. "4" sai vì đó là trung vị. "None of the other choices is correct" sai vì 5 có trong các lựa chọn.

Đáp án đúng: "21". Bảng tần suất tương đối cho bốn nhóm tuổi của 25 thành viên: 16-20 chiếm 20%, 21-30 chiếm 28%, 31-40 chiếm 36%, 41-50 chiếm 16%. "Tuổi không vượt quá 40" gồm ba nhóm đầu, tần suất tích luỹ 20% + 28% + 36% = 84%, nên số người là 0.84·25 = 21; cũng bằng 25 trừ số người nhóm 41-50 (0.16·25 = 4). "12" là 0.48·25, chỉ cộng hai nhóm 16-20 và 21-30 (5 + 7), tức tuổi không quá 30. "9" là 0.36·25, chỉ tính nhóm 31-40. "4" là 0.16·25, số người nhóm 41-50, tức đúng phần bị loại. Vì 21 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" sai.

Đáp án đúng: "2". Biểu đồ hộp (box plot) cho năm số: đầu râu trái 10 (giá trị nhỏ nhất), cạnh trái hộp Q1 = 15, vạch giữa hộp là trung vị 18, cạnh phải hộp Q3 = 20, đầu râu phải 22 (giá trị lớn nhất). Mệnh đề i) đúng: khoảng 50% dữ liệu nằm giữa Q1 = 15 và Q3 = 20, đó chính là phần hộp. Mệnh đề ii) đúng: đầu râu vẽ tới giá trị lớn nhất thực sự quan sát được (không có điểm ngoại lai nào được đánh dấu), nên 22 phải có trong dữ liệu. Mệnh đề iii) sai: khi cỡ mẫu chẵn, trung vị là trung bình của hai giá trị chính giữa, chẳng hạn 17 và 19 cho trung vị 18 mà không có số 18 nào. Vậy có đúng hai mệnh đề đúng. "0" bỏ qua cả hai mệnh đề đúng. "1" chỉ công nhận một trong hai mệnh đề i) và ii), bỏ sót mệnh đề kia. "3" coi cả mệnh đề iii) là đúng, tức nhầm trung vị luôn là một giá trị của dữ liệu.

Đáp án đúng: "16". Mode (yếu vị) là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong dữ liệu. Trong dãy 4, 14, 3, 16, 9, 8, 16 chỉ có 16 lặp lại (hai lần), các giá trị khác xuất hiện một lần, nên mode là 16. Phương án "10" là trung bình cộng (4 + 14 + 3 + 16 + 9 + 8 + 16)/7 = 70/7 = 10. Phương án "9" là trung vị: sắp xếp được 3, 4, 8, 9, 14, 16, 16 thì giá trị đứng giữa là 9. Phương án "2" là số lần xuất hiện của mode, không phải bản thân mode. Phương án "None of the other choices is correct" sai vì 16 đã có sẵn.

Đáp án đúng: "7". Khoảng biến thiên (range) bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất. Rà 20 chiều cao: lớn nhất là 74 inch, nhỏ nhất là 67 inch, nên range = 74 − 67 = 7. Giá trị "6" là kết quả khi bỏ sót một đầu mút, ví dụ lấy 73 − 67 hoặc 74 − 68. Giá trị "5" ứng với 73 − 68, bỏ sót cả hai đầu mút. Giá trị "6.5" không thể là range của dữ liệu toàn số nguyên, vì hiệu hai số nguyên luôn là số nguyên. Vì 7 có trong danh sách nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "17". Trong biểu đồ thân và lá (stem and leaf), thân là chữ số hàng chục và lá là chữ số hàng đơn vị: thân 0 có lá 5, 5, 6; thân 1 có lá 1, 4, 6, 2, 3; thân 2 có lá 0, 2, 1. Dữ liệu sắp lại: 5, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22, đủ 11 học sinh. Khoảng biến thiên (range) = lớn nhất − nhỏ nhất = 22 − 5 = 17. Lá không được in theo thứ tự nên phải sắp trước khi đọc giá trị lớn nhất. "12" chỉ là một giá trị trong dữ liệu (thân 1, lá 2). "13" là trung vị, giá trị thứ sáu của dãy đã sắp. "14" là khoảng tứ phân vị Q₃ − Q₁ = 20 − 6, một thước đo độ phân tán khác. "15" là 20 − 5, lấy nhầm lá đầu tiên của thân 2 làm giá trị lớn nhất. "16" là 21 − 5, lấy nhầm lá cuối của thân 2 (in là 1) làm giá trị lớn nhất, trong khi số lớn nhất là 22.

Đáp án đúng: "2". Đọc chiều cao các cột của histogram về khối lượng bí ngô: cột từ 0 tới 3 kg cao 4, từ 3 tới 6 kg cao 5, từ 6 tới 9 kg cao 8, từ 9 tới 12 kg cao 6 và từ 12 tới 15 kg cao 2. Khoảng 6 tới 9 kg có 8 quả, khoảng 9 tới 12 kg có 6 quả, nên chênh lệch là 8 − 6 = 2 quả. Giá trị "14" là tổng 8 + 6 của hai cột, không phải hiệu. Giá trị "8" chỉ là chiều cao cột 6 tới 9 kg, còn "6" chỉ là chiều cao cột 9 tới 12 kg; mỗi giá trị đọc riêng một cột mà chưa so sánh. Vì 2 có mặt nên "None of the other choices is correct" không đúng.

Đáp án đúng: "Franklin scored as high or higher than 80 percent of the people who took the test.". Bách phân vị thứ 80 (80th percentile) là giá trị mà khoảng 80% số quan sát nhỏ hơn hoặc bằng nó, nên đứng ở mức đó nghĩa là điểm của Franklin bằng hoặc cao hơn 80% người dự kiểm tra, và chỉ khoảng 20% có điểm cao hơn. Phát biểu "80 people who took the test scored below Franklin." nhầm phần trăm với số người; bách phân vị nói về tỉ lệ, còn số người cụ thể phụ thuộc tổng số người dự. Phát biểu "Franklin was in the bottom 20 percent of those that have taken the test." ngược hoàn toàn: ở bách phân vị 80 thì Franklin thuộc nhóm 20% điểm cao nhất chứ không phải thấp nhất. Đã có diễn giải đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "12.5 and 9". Trung bình bằng tổng chia số quan sát: (9 + 11 + 8 + 15 + 14 + 12 + 17 + 14)/8 = 100/8 = 12.5. Khoảng biến thiên (range) bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất: 17 − 8 = 9. "13 and 9" dùng 13, là trung vị (trung bình hai số giữa 12 và 14 của dãy sắp xếp 8, 9, 11, 12, 14, 14, 15, 17), không phải trung bình, dù range đúng. "13 and 8" vừa lấy trung vị thay cho trung bình vừa lấy giá trị nhỏ nhất 8 làm range. "12.5 and 8" đúng trung bình nhưng range 8 là giá trị nhỏ nhất chứ không phải hiệu 17 − 8. "None of the other choices is correct" sai vì cặp đúng có trong danh sách.

Đáp án đúng: "The mean is greater than the median". Trung bình (mean) là tổng chia số giá trị: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10)/10 = 54/10 = 5.4. Dữ liệu đã sắp có 10 giá trị nên trung vị (median) là trung bình hai giá trị giữa thứ 5 và 6: (5 + 5)/2 = 5. Yếu vị (mode) là giá trị xuất hiện nhiều nhất, bằng 5. Vậy 5.4 > 5 nên trung bình lớn hơn trung vị. "The median is greater than the mean" sai vì trung vị 5 nhỏ hơn trung bình 5.4. "The mean is less than the mode" sai vì trung bình 5.4 lớn hơn yếu vị 5. "The mode is greater than the median" sai vì yếu vị và trung vị cùng bằng 5, không cái nào lớn hơn.

Đáp án đúng: "13". Biểu đồ thân và lá (stem and leaf) có thân 0 với các lá 5, 5, 6; thân 1 với các lá 1, 4, 6, 2, 3; thân 2 với các lá 0, 2, 1. Ghép thân là hàng chục, lá là hàng đơn vị, sắp xếp tăng dần được 5, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22 (11 giá trị, lá trong hàng 1 và hàng 2 chưa xếp theo thứ tự nên phải sắp lại). Với n = 11 lẻ, trung vị là giá trị thứ 6, tức 13. "16" là giá trị thứ 6 nếu đọc theo thứ tự lá chưa sắp (5, 5, 6, 11, 14, 16, ...), lỗi không sắp xếp. "11" là giá trị nhỏ nhất của thân 1; "12" là giá trị thứ 5; "14" là giá trị thứ 7; "15" không có trong dữ liệu, có lẽ lấy trung điểm thân 1.

Đáp án đúng: "Both discrete and continuous". Bảng phân phối tần số (frequency distribution) ghi số lần quan sát rơi vào từng giá trị hoặc từng lớp. Với dữ liệu rời rạc, mỗi giá trị riêng (ví dụ số con trong gia đình 0, 1, 2, …) có thể là một dòng; với dữ liệu liên tục, ta chia trục thành các khoảng lớp (class interval) như 150–155 cm, 155–160 cm rồi đếm số quan sát trong mỗi khoảng, đó là cơ sở của histogram. Vì vậy cả hai loại đều lập được bảng tần số. "Continuous only" bỏ sót dữ liệu rời rạc, loại dễ lập bảng nhất. "Discrete only" bỏ sót dữ liệu liên tục, vốn chỉ cần thêm bước chia lớp. "Only numeric data" sai vì dữ liệu định tính (categorical) như màu sắc, nhóm máu cũng lập được bảng tần số theo từng hạng mục. Đã có phương án đúng nên "None of the other choices is correct" không được chọn.

Đáp án đúng: "(iii)". Boxplot cần năm số: nhỏ nhất, Q1, trung vị, Q3, lớn nhất. Dữ liệu 32 giá trị đã sắp xếp có nhỏ nhất 100, lớn nhất 130; trung vị là trung bình giá trị thứ 16 và 17, cả hai là 114; Q1 là trung vị nửa dưới 16 giá trị, trung bình giá trị thứ 8 và 9, cả hai là 108; Q3 là trung bình giá trị thứ 24 và 25, cả hai là 118. Hình (iii) có râu từ 100 tới 130, hộp từ 108 tới 118 và vạch giữa ở 114, khớp đủ năm số. Phương án "(i)" có hộp từ 107 tới 119, sai cả Q1 lẫn Q3. Phương án "(ii)" đặt trung vị ở 115 và râu phải ở 128, trong khi giá trị lớn nhất là 130. Phương án "(iv)" có Q1 là 106 và râu phải dừng ở 128, sai hai chỗ.